专题12 空间平行与垂直-2017年高考数学(文)备考黄金易错点

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专题12 空间平行与垂直-2017年高考数学(文)备考黄金易错点

‎1.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:‎ ‎①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.‎ ‎②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.‎ ‎③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.‎ ‎④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.‎ 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)‎ 答案 ②③④‎ 解析 当m⊥n,m⊥α,n∥β时,两个平面的位置关系不确定,故①错误,经判断知②③④均正确,故正确答案为②③④.‎ ‎2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,点D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=________时,CF⊥平面B1DF.‎ 答案 a或2a ‎3.如图,正方形BCDE的边长为a,已知AB=BC,将△ABE沿边BE折起,折起后A点在平面BCDE上的射影为D点,对翻折后的几何体有如下描述:‎ ‎①AB与DE所成角的正切值是;‎ ‎②AB∥CE;‎ ‎③VB—ACE是a3;‎ ‎④平面ABC⊥平面ADC.‎ 其中正确的是________.(填写你认为正确的序号)‎ 答案 ①③④‎ 解析 作出折叠后的几何体的直观图如图所示:‎ ‎∴CE⊥AD,又BD∩AD=D,BD⊂平面ABD,‎ AD⊂平面ABD,‎ ‎4.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=a,∠ABC=60°,平面ACEF⊥平面ABCD,四边形ACEF是平行四边形,点M在线段EF上.‎ ‎(1)求证:BC⊥平面ACEF;‎ ‎(2)当FM为何值时,AM∥平面BDE?证明你的结论.‎ ‎(1)证明 ∵在等腰梯形ABCD中,‎ AB∥CD,AD=DC=a,∠ABC=60°,‎ ‎∴△ADC是等腰三角形,且∠BCD=∠ADC=120°,‎ ‎∴∠DCA=∠DAC=30°,∴∠ACB=90°,即BC⊥AC.‎ 又∵平面ACEF⊥平面ABCD,平面ACEF∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD,‎ ‎∴BC⊥平面ACEF.‎ ‎(2)解 当FM=a时,AM∥平面BDE.‎ 证明如下:‎ ‎5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.‎ 求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ 证明 (1)由已知,DE为△ABC的中位线,‎ ‎∴DE∥AC,又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1,‎ ‎∴DE∥A1C1,‎ 且DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,‎ ‎∴DE∥平面A1C1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,‎ ‎∴AA1⊥A1C1,‎ 又∵A1B1⊥A1C1,且A1B1∩AA1=A1,‎ ‎∴A1C1⊥平面ABB1A1,∵B1D⊂平面ABB1A1,‎ ‎∴A1C1⊥B1D,‎ 又∵A1F⊥B1D,且A1F∩A1C1=A1,‎ ‎∴B1D⊥平面A1C1F,又∵B1D⊂平面B1DE,‎ ‎∴平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ ‎6.如图1,在正△ABC中,E,F分别是AB,AC边上的点,且BE=AF=2CF.点P为边BC上的点,将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使平面A1EF⊥平面BEFC,连接A1B,A1P,EP,如图2所示.‎ ‎(1)求证:A1E⊥FP;‎ ‎(2)若BP=BE,点K为棱A1F的中点,则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行,若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.‎ ‎ (1)证明 在正△ABC中,取BE的中点D,连接DF,如图1.‎ 图1‎ 所以A1E⊥平面BEFC.‎ 因为FP⊂平面BEFC,所以A1E⊥FP.‎ ‎(2)解 在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行.‎ 理由如下:‎ 如图1,在正△ABC中,因为BP=BE,BE=AF,所以BP=AF,所以FP∥AB,‎ 所以FP∥BE.‎ 如图2,取A1P的中点M,连接MK,‎ 图2‎ 易错起源1、空间线面位置关系的判定 例1、(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是(  )‎ A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 ‎(2)关于空间两条直线a、b和平面α,下列命题正确的是(  )‎ A.若a∥b,b⊂α,则a∥α B.若a∥α,b⊂α,则a∥b C.若a∥α,b∥α,则a∥b D.若a⊥α,b⊥α,则a∥b 答案 (1)D (2)D 解析 (1)若l与l1,l2都不相交,则l∥l1,l∥l2,∴l1∥l2,这与l1和l2异面矛盾,∴l至少与l1,l2中的一条相交.‎ ‎(2)线面平行的判定定理中的条件要求a⊄α ‎,故A错;对于线面平行,这条直线与面内的直线的位置关系可以平行,也可以异面,故B错;平行于同一个平面的两条直线的位置关系:平行、相交、异面都有可能,故C错;垂直于同一个平面的两条直线是平行的,故D正确,故选D.‎ ‎【变式探究】设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题:‎ ‎①若m∥n,m⊥β,则n⊥β;②若m∥α,m∥β,则α∥β;‎ ‎③若m∥n,m∥β,则n∥β;④若m∥α,m⊥β,则α⊥β.‎ 其中真命题的个数为(  )‎ A.1B.2C.3D.4‎ 答案 B ‎【名师点睛】‎ 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ 空间线面位置关系判断的常用方法 ‎(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题;‎ ‎(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断.‎ 易错起源2、空间平行、垂直关系的证明 例2、如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.‎ ‎(1)证明:BC∥平面PDA;‎ ‎(2)证明:BC⊥PD;‎ ‎(3)求点C到平面PDA的距离.‎ ‎(1)证明 因为四边形ABCD是长方形,‎ 所以BC∥AD,因为BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,‎ 所以BC∥平面PDA.‎ ‎(2)证明 因为四边形ABCD是长方形,所以BC⊥CD,因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,‎ 所以BC⊥平面PDC,‎ 因为PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.‎ ‎(3)解 如图,取CD的中点E,连接AE和PE.‎ 因为PD=PC,所以PE⊥CD,‎ 在Rt△PED中,PE===.‎ 因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PDC,‎ 所以PE⊥平面ABCD.‎ 由(2)知:BC⊥平面PDC,‎ 由(1)知:BC∥AD,‎ 所以AD⊥平面PDC,‎ 因为PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.‎ 设点C到平面PDA的距离为h,‎ 因为V三棱锥C—PDA=V三棱锥P—ACD,‎ 所以S△PDA·h=S△ACD·PE,‎ 即h===,‎ 所以点C到平面PDA的距离是.‎ ‎【变式探究】如图,在四棱锥P—ABCD中,AD∥BC,且BC=2AD,AD⊥CD,PB⊥CD,点E在棱PD上,且PE=2ED.‎ ‎(1)求证:平面PCD⊥平面PBC;‎ ‎(2)求证:PB∥平面AEC.‎ 因为AD∥BC,所以△ADO∽△CBO,‎ 所以DO∶OB=AD∶BC=1∶2,又PE=2ED,‎ 所以OE∥PB,又OE⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,‎ 所以PB∥平面AEC.‎ ‎【名师点睛】‎ 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下:‎ ‎(1)证明线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利用平行四边形进行平行转换;三是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.‎ ‎(2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边中线即高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,l⊥α,a⊂α⇒l⊥a.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.‎ 易错起源3、平面图形的折叠问题 例3、如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别是边CD,CB的中点,AC∩EF=O,沿EF将△CEF翻折到△PEF,连接PA,PB,PD,得到如图的五棱锥P—ABFED,且PB=.‎ ‎(1)求证:BD⊥PA;‎ ‎(2)求四棱锥P—BFED的体积.‎ ‎(2)解 设AO∩BD=H.连接BO,∵∠DAB=60°,‎ ‎∴△ABD为等边三角形,‎ ‎∴BD=4,BH=2,HA=2,HO=PO=,‎ 在Rt△BHO中,BO==,‎ 在△PBO中,BO2+PO2=10=PB2,∴PO⊥BO.‎ ‎∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF⊂平面BFED,BO⊂平面BFED,‎ ‎∴PO⊥平面BFED,‎ 梯形BFED的面积S=(EF+BD)·HO=3,‎ ‎∴四棱锥P—BFED的体积 V=S·PO=×3×=3.‎ ‎【变式探究】如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD将△ABC折成60°的二面角B—AD—C,如图2.‎ ‎(1)证明:平面ABD⊥平面BCD;‎ ‎(2)设点E为BC的中点,BD=2,求异面直线AE和BD所成的角的大小.‎ 所以∠AEF为异面直线AE与BD所成的角.‎ 连接AF,DE,由BD=2,则EF=1,AD=2,CD=6,DF=3.‎ 在Rt△ADF中,AF==.‎ 在△BCD中,由题设∠BDC=60°,‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口;‎ ‎(2)存在探索性问题可先假设存在,然后在此前提下进行逻辑推理,得出矛盾或肯定结论.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ 平面图形经过翻折成为空间图形后,原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化,这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键.一般地,在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化,解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值,这是化解翻折问题的主要方法.‎ ‎1.l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则(  )‎ A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 C.p是q的充分必要条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 答案 A 解析 由l1,l2是异面直线,可得l1,l2不相交,所以p⇒q;由l1,l2不相交,可得l1,l2是异面直线或l1∥l2,所以q⇏p.所以p是q的充分条件,但不是q的必要条件.故选A.‎ ‎2.设a,b是平面α内两条不同的直线,l是平面α外的一条直线,则“l⊥a,l⊥b”是“l⊥α”的(  )‎ A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C ‎3.设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是(  )‎ A.若m⊂α,n∥α,则n∥m B.若m⊂α,m⊥β,则α⊥β C.若n⊥α,n⊥β,则α∥β D.若m⊂α,n⊥α,则m⊥n 答案 A 解析 A中,若m⊂α,n∥α,则n∥m或m,n异面.故不正确;B,C,D均正确.故选A.‎ ‎4.将正方体的纸盒展开如图,直线AB、CD在原正方体的位置关系是(  )‎ A.平行 B.垂直 C.相交成60°角 D.异面且成60°角 答案 D 解析 如图,直线AB,CD异面.因为CE∥AB,所以∠ECD即为直线AB,CD所成的角,因为△CDE为等边三角形,故∠ECD=60°.‎ ‎5.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是(  )‎ A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC 答案 D ‎6.如图,在空间四边形ABCD中,点M∈AB,点N∈AD,若=,则直线MN与平面BDC的位置关系是________.‎ 答案 平行 解析 由=,得MN∥BD.‎ 而BD⊂平面BDC,MN⊄平面BDC,‎ 所以MN∥平面BDC.‎ ‎7.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段B1D1上的一个动点,则下列结论中正确的是________.(填序号)‎ ‎①AC⊥BE;‎ ‎②B1E∥平面ABCD;‎ ‎③三棱锥E-ABC的体积为定值;‎ ‎④直线B1E⊥直线BC1.‎ 答案 ①②③‎ 解析 因AC⊥平面BDD1B1,故①正确;因B1D1∥平面ABCD,故②正确;记正方体的体积为V,则VE-ABC=V,为定值,故③正确;B1E与BC1不垂直,故④错误.‎ ‎8.下列四个正方体图形中,点A,B为正方体的两个顶点,点M,N,P 分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).‎ 答案 ①③‎ 解析 对于①,注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行,因此直线AB平行于平面 ‎9.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点M,N,P分别为棱AB,BC,C1D1的中点.‎ 求证:(1)AP∥平面C1MN;‎ ‎(2)平面B1BDD1⊥平面C1MN.‎ 证明 (1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,‎ 因为点M,P分别为棱AB,C1D1的中点,‎ 所以AM=PC1.‎ 又AM∥CD,PC1∥CD,故AM∥PC1,‎ 所以四边形AMC1P为平行四边形.‎ 从而AP∥C1M,‎ 又AP⊄平面C1MN,C1M⊂平面C1MN,‎ 所以AP∥平面C1MN. ‎ ‎(2)连接AC,在正方形ABCD中,AC⊥BD.‎ 又点M,N分别为棱AB,BC的中点,故MN∥AC.‎ 所以MN⊥平面B1BDD1,‎ 又MN⊂平面C1MN,‎ 所以平面B1BDD1⊥平面C1MN.‎ ‎10.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.‎ ‎(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);‎ ‎(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并证明你的结论;‎ ‎(3)证明:直线DF⊥平面BEG.‎ ‎(1)解 点F,G,H的位置如图所示.‎ 又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,‎ 所以BE∥平面ACH.‎ 同理BG∥平面ACH,‎ 又BE∩BG=B,‎ 所以平面BEG∥平面ACH.‎ ‎(3)证明 连接FH,BD.‎ 因为ABCD—EFGH为正方体,‎
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