数学理卷·2017届云南省师大附中高三适应性月考(三)(2016

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数学理卷·2017届云南省师大附中高三适应性月考(三)(2016

云南师大附中2017届月考卷(三)理数 第Ⅰ卷(选择题,共60分)‎ 一、 选择题(本大题有12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.设全集,集合,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知复数,是的共轭复数,则为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.下列说法正确的是 ( )‎ A.若命题,为真命题,则命题为真命题 ‎ B.“若,则”的否命题是“若,则”‎ C. 若命题:“”的否定:“”‎ D.若时定义在R上的函数,则“是是奇函数”的充要条件 ‎4.已知双曲线,曲线在点处的切线方程为,则该双曲线的渐近线方程为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.若正整数除以正整数后的余数为,则记为,例如.如图1所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》,执行该程序框图,则输出的 ( )‎ A. 16 B. 17 C. 19 D. 15‎ ‎6.已知公差不为0的等差数列满足成等比数列,为的前项和,则的值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知随机变量服从正态分布,则“”是“关于的二项式的展开式的常数项为3”的 ( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要 D. 充要条件 ‎8已知某随机变量的概率密度函数为,则随机变量落在区间(1,3)内的概率为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.某四棱锥的三视图如图2所示,则该四棱锥的外接球的表面积是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同学同时抢4个红包,每人最多抢一个红包,且红包全被抢光,4个红包中有两个2元,两个5元(红包中金额相同视为相同的红包),则甲、乙两人都抢到红包的情况有 ( )‎ A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 9种 ‎11.在锐角中,,若动点满足,则点的轨迹与直线所围成的封闭区域的面积为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.若二次函数的图像与曲线存在公共切线,则实数的取值范围为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)‎ 二、填空题(共4个小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.某校高三某班在一次语文周测中,每位同学的考试分数都在区间内,将该班所有同学的考试分数分为七组:,绘制出如图3所示的频率分布直方图.已知分数低于112分的有18人,则分数不低于120分的人数为 ‎14.已知倾斜角为的直线与直线垂直,则=‎ ‎15.记函数的导数为,的导数为,……,的导数为.若可进行次求导,则均可近似表示为:,若取,根据这个结论,则可近似估计 (用分数表示)‎ ‎16. 设数列为等差数列,且,若,记,则数列的前21项和为 三、解答题(共70分)‎ ‎17.在中,角所对的边分别为.向量,且.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小;‎ ‎(Ⅱ)若,求边的最小值.‎ ‎18.如图4甲,在直角梯形中,是的中点,是与的交点,将沿折起到的位置,如图乙.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)若平面,求与平面所成的角.‎ ‎19.2016年11月21日是附中建校76周年校庆日,为了了解在校同学们对附中的看法,学校进行了调查,从全校所有班级中任选三个班,统计同学们对附中的看法,情况如下表:‎ 对附中的看法 非常好,附中推行素质教育,身心得以全面发展 很好,我的高中生活很快乐很充实 A班人数比例 B班人数比例 C班人数比例 ‎(Ⅰ)从这三个班中各选一位同学,求恰好有2人认为附中“非常好”的概率(用比例作为相应概率);‎ ‎(Ⅱ)若在班按所持态度分层抽样,抽取9人,再从这9人中任意选取3人,记认为附中“非常好”的人数为,求的分布列和数学期望.‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)与抛物线相切于第一象限的直线,与椭圆交于两点,与轴交于点,线段的垂直平分线与轴交于点,求直线斜率的最小值.‎ ‎21.设函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的极大值;‎ ‎(Ⅱ)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)已知,试比较与的大小,并说明理由.‎ ‎22. 〖选修4—4:坐标系与参数方程〗‎ 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,它在点处的切线为直线.‎ ‎(Ⅰ)求直线的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)已知点为椭圆上一点,求点到直线的距离的取值范围.‎ ‎23.〖选修4-5:不等式选讲〗‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)当时,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)若的解集包含,求的取值范围.‎ 云南师大附中2017届高考适应性月考卷(三)‎ 理科数学参考答案 第Ⅰ卷(选择题,共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B C D B D A B C C A B ‎【解析】‎ ‎1.∵,∴,故选D.‎ ‎2.由,∴∴故选B.‎ ‎3.选项A中命题为假命题,选项B中命题的否命题应为“若则”,选项D中结论应为必要不充分条件,故选C.‎ ‎4.∵在点(0,2)处的切线方程为:∴,渐近线方程为,故选D.‎ ‎5.选项中被5和3除后的余数为2的数为17,故选B.‎ ‎6.由已知设公差为则故选D.‎ ‎7.由已知的展开式的常数项为故选A.‎ ‎8.由随机变量X的概率密度函数的意义得,故选B.‎ 图1‎ ‎9.由三视图知四棱锥为长方体的一部分,如图1,所以外接球的直径,所以,所以四棱锥的外接球的表面积是,故选C.‎ ‎10.甲、乙两人都抢到红包一共有三种情况:(1)都抢到2元的红包,有种;(2)都抢到5元的红包,有种;(3)一个抢到2元,一个抢到5元,有种,故总共有18种.故选C.‎ ‎11.取AB的中点D,则∴三点共线,P的轨迹为CD,∵∴由正弦定理:由B=(A+C)=故点的轨迹与直线所围成的封闭区域的面积为故选A.‎ ‎12.设公共切线与二次函数的图象切于点,与曲线切于点 ‎,则切线的斜率为得 ∴或又∵, ∴∴‎ ‎∴∴记求导,得在内递增,在内递减,,∴,故选B.‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎10‎ ‎21‎ ‎13.分数低于112分的人数对应的频率/组距为0.09,分数不低于120分的人数对应的频率/组距为0.05,故其人数为人.‎ ‎14.由已知.‎ ‎15.设则∴故当时,.‎ ‎16.由题意,易知关于中心对称,又数列为等差数列,故,且,故的前21项的和….‎ 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)由可得 由正弦定理得:‎ 即 ‎∵∴∴. ………………………(6分)‎ ‎(Ⅱ) ‎ 又 当且仅当时,取等号,‎ ‎∴. …………………………………………(12分)18.(本小题满分12分)‎ ‎(Ⅰ)证明:在图2甲中,∵AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,∠BAD=错误!未找到引用源。,‎ ‎∴BE⊥AC,即在图乙中,BE⊥OA1,BE⊥OC,又OA1∩OC=O,‎ 图2‎ ‎∴BE⊥平面A1OC,∵BC∥DE,BC=DE,‎ ‎∴是平行四边形,‎ ‎∴CD∥BE,∴CD⊥平面A1OC. …………………………………………(6分)‎ ‎(Ⅱ)解:由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,‎ 又由(Ⅰ)知,BE⊥OA1,BE⊥OC,‎ ‎∴平面BCDE,又OC平面BCDE,∴.‎ 如图乙,以O为原点,建立空间直角坐标系,‎ ‎∵A1B=A1E=BC=ED=1,BC∥ED,‎ ‎∴‎ 得,,.‎ 设BC与平面A1CD所成的角为θ,平面A1CD的一个法向量为, ‎ 得取,‎ 从而,‎ 即BC与平面A1CD所成的角为. ……………………………………(12分)19.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)记这3位同学恰好有2人认为附中“非常好”的事件为A,‎ 则. ………………(6分)‎ ‎(Ⅱ)在B班按照相应比例选取9人,‎ 则认为附中“非常好”的应选取6人,认为附中“很好”的应选取3人,则,‎ 且;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎. ………………………………(9分)‎ 则的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则的期望值为:. …………………(12分)‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)∵点与椭圆右焦点的连线垂直于轴,‎ ‎∴,将点坐标代入椭圆方程可得,‎ 又,联立可解得,,‎ 所以椭圆C的方程为. ………………………………(4分)‎ ‎(Ⅱ)设切点坐标为,则l:.‎ 整理,得l:‎ ‎∴设,‎ 联立直线方程和椭圆方程可得,‎ ‎∴‎ ‎∴的中点坐标为,‎ ‎∴的垂直平分线方程为令x=0,得 即∴.‎ ‎∵∴,‎ 当且仅当时取得等号. ‎ ‎∴直线MN的斜率的最小值为. ………………………………(12分)‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)∵,则,‎ 当,当,‎ ‎∴在上单调递增,在上单调递减,‎ ‎∴当时,函数取得极大值1. ………………………………(4分)‎ ‎(Ⅱ)解法一:.‎ 令,则.‎ ‎∵故当在上恒成立时,使得函数在上单调递增,‎ ‎∴在上恒成立,故.‎ 经验证,当时,函数在上恒成立;当时,不满足题意.‎ ‎∴. ……………………………………………………(9分)‎ 解法二:当时,;‎ 当时,不等式.‎ 令,则.‎ 令,则.‎ 函数在上单调递减,∴,即.‎ 所以函数在上单调递减,由洛必达法则,得,‎ ‎∴. …………………………………………(9分)‎ ‎(Ⅲ)令,则.‎ ‎∵,∴,∴,‎ 故单调递增,又,‎ ‎∴当,;‎ 当,;‎ 当,. …………………………………(12分)‎ ‎22.(本小题满分10分)【选修4−4:坐标系与参数方程】‎ 解:(Ⅰ)∵曲线的极坐标方程为,‎ ‎∴,∴曲线的直角坐标方程为,‎ ‎∴,又的直角坐标为(2,2),‎ ‎∴曲线在点 (2,2)处的切线方程为,‎ 即直线的直角坐标方程为. …………………………………(5分)‎ ‎(Ⅱ)为椭圆上一点,设,‎ 则到直线的距离,‎ 当时,有最小值0.‎ 当时,有最大值.‎ ‎∴到直线的距离的取值范围为. ……………………………(10分)‎ ‎23.(本小题满分10分)【选修4−5:不等式选讲】‎ 解:(Ⅰ)当时,‎ 不等式,即,‎ 当时,由,解得;‎ 当时,由,解得,故不等式无解;‎ 当时,由,解得.‎ 综上,的解集为. ………………………(5分)‎ ‎(Ⅱ)等价于.‎ 当时,等价于,即,‎ 若的解集包含,‎ 则 即.‎ 故满足条件的的取值范围为. ……………………………(10分)‎
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