2019届二轮复习（理）解三角形学案（全国通用）

2019届二轮复习（理）解三角形学案（全国通用）

‎【母题原题1】【2018新课标1，理17】在平面四边形中，，，，.‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）若，求.‎ ‎.‎ 所以.‎ 点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.‎ ‎【母题原题2】【2017新课标1，理17】‎ ‎△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.‎ ‎(1)求sin Bsin C;‎ ‎(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.‎ ‎【母题原题3】【2016新课标1，理17】‎ ‎△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.‎ ‎(Ⅰ)求C;‎ ‎(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.‎ ‎【解析】 (Ⅰ)由已知及正弦定理　得,‎ ‎2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,‎ 即2cos Csin(A+B)=sin C.‎ 故2sin Ccos C=sin C.‎ 可得cos C=,所以C=. ‎ ‎(Ⅱ)由已知,absin C=.‎ 又C=,所以ab=6.‎ 由已知及余弦定理　得,a2+b2-2abcos C=7.‎ 故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.‎ 所以△ABC的周长为5+.‎ ‎【命题意图剖析】三角函数解答题主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题,常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式,甚至三角函数的图象和性质等交汇命题,多以解答题的形式出现,属解答题中的低档题．预测今后的高考仍将以正弦定理、余弦定理,尤其是两个定理的综合应用为主要考点,可能与三角函数的图象和性质等交汇命题,重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．‎ ‎【应试技巧】‎ ‎1.余弦定理的重要应用 三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑,必须熟练掌握应用.为此,就其常见的几种变形形式,介绍如下.‎ ‎①联系完全平方式巧过渡:‎ 由则.‎ ‎②联系重要不等式求范围：‎ 由,则当且仅当等号成立.‎ ‎③联系数量积的定义式妙转化：‎ 在中,由.‎ ‎2.如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题 利用正弦定理解三角形时,可将正弦定理视为方程或方程组,利用方程思想处理已知量与未知量的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论,对于相关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和一角的对边,求其他边角；二是已知两边和一边对应的角,求其他边角,由于此时的三角形不能确定,应对它进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点（1）如果所给的等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式,可以利用正弦定理进行边角互换,这是高考中常见的形式；（2）根据所给条件构造（1）的形式,便于利用正弦定理进行边角互换,体现的是转化思想的灵活应用.‎ 余弦定理与平面几何知识、向量、三角函数有着密切的联系,常解决一下两类问题：一是已知两边和它们的夹角,求其他边角；二是已知三边求三角.由于这两种情形下三角形是唯一确定的,所以其解也是唯一.‎ ‎【解题经验分享】‎ ‎1．对三角形中的不等式,要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．‎ ‎2．在解实际问题时,需注意的两个问题 ‎(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词,并能准确地找出这些角；‎ ‎(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来,发现题目中的隐含条件,才能顺利解决．‎ ‎3.利用正弦定理与余弦定理解题时,经常用到转化思想一个是把边转化为角,另一个是把角转化为边 具体情况应根据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统一,也是我们利用正弦定理与余弦定理化简式子的最终目标,对于两个定理都能用的题目,应优先考虑利用正弦定理,会给计算带来相对的简便,根据已知条件中边的大小来确定角的大小,此时利用正弦定理去计算较小边所对的角,可避免分类讨论,利用余弦定理的推论,可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是有锐角还是钝角,但计算麻烦.‎ ‎1．【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】在中，角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求的面积最大值．‎ ‎]‎ 整理得：．‎ ‎（当且仅当取等号），‎ ‎，即，‎ ‎， 学 ]‎ 故面积的最大值为．‎ 点睛: 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎2．【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】已知函数.‎ ‎（1）求的对称轴所在直线方程及其对称中心；‎ ‎（2）在中，内角、、所对的边分别是、、，且，，求周长的取值范围． ]‎ 又，∴，∴‎ 点睛：第（2）周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得：‎ 解：∵，∴，∵，∴‎ ‎∴，∴‎ 由正弦定理得：‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∴的周长范围为 ‎ ‎3．【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，‎ ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求面积的最大值．‎ ‎，所以，当且仅当时取等号． ‎ 此时，其最大值为.‎ 点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.‎ ‎4．【山东省肥城市2018届高三适应性训练】的内角，，所对的边分别为， 且的面积.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若、、成等差数列，的面积为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 点睛：本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎5．【安徽省六安市第一中学2018届高三下学期适应性考试】已知函数 ‎.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）在中，内角，，所对的边分别为， 且角满足，若，边上的中线长为，求的面积.‎ 所以. ‎ 点睛：与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求三角形的面积．对于面积公式 ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．‎ ‎(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．‎ ‎6．【河南省安阳35中2018届高三核心押题卷】的内角,的对边分别为，且.‎ ‎（Ⅰ）求:‎ ‎(Ⅱ）若，求的面积. ]‎ 因为 ，所以。‎ ‎（2）因为， ，‎ 所以 。‎ 因为 所以 ‎ 在中，由正弦定理可得 。‎ 所以 ‎ 的面积为2.‎ 点睛：（1）有关求三角形面积或其最值的问题，应由三角形的面积公式求得面积；‎ ‎ （2）知的边和角，求其它的边和角，注意正弦定理、余弦定理的运用，知对角对边，可用余弦定理；若知边的平方关系，应想到余弦定理；‎ ‎7．【河南省2017-2018学年 高三最后一次模拟考试】已知的内角的对于边分别为,且 .‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若,线段的垂直平分线交于点,求的长.‎ 因为在中, ，所以 ，‎ 因为为线段的中垂线，‎ 所以.‎ 点睛：在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎8．【天津市第一中学2018届高三下学期第五次月考】的内角、、的对边分别为、、，已知 ‎.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）如图，为外一点，若在平面四边形中，，且，，，求的长.‎ 点睛：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用．对公式灵活运用与结合是解题关键.‎ ‎9．【山东省济南省2018届高三第二次模拟考试】在中, ,.‎ ‎(1)求的长;‎ ‎(2)设是平面内一动点,且满足，求的取值范围.‎ ‎【解析】分析：(1)先求出，再利用余弦定理求的长.(2)先求出的表达式，再求函数的取值范围得解.‎ 详解：（1）在中， .‎ 代入数据得: . ‎ ‎，.‎ 在中，由余弦定理知: ‎ 代入数据得: .‎ ‎（2）设，则.‎ 在中，由余弦定理知:‎ ‎.‎ 点睛：（1）本题主要考查正弦定理、余弦定理和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和逻辑分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出的表达式，‎ 再结合的范围求函数的值域.‎ ‎10．【甘肃省西北师范大学附属中学2018届高三冲刺诊断考试】已知函数 ‎（1）求函数的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；‎ ‎（2）已知中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，求实数a的取值范围.‎ ‎【解析】分析：（1）由三角恒等变换的公式，化简得,利用三角函数的图象与性质，即可得到结果．‎ ‎ (2)由，求得，再由余弦定理和基本不等式，即可求解边的取值范围．‎ 详解：（1）,‎ ‎，可得f(x)递增区间为,‎ 函数f(x)最大值为2，当且仅当，即，‎ 即取到∴.‎ ‎(2)由，化简得,‎ ‎ ,‎ 在△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2-bc=(b+1)2-3bc,‎ 由b+c=2，知bc≤1,即a2≥1,∴当b=c=1时，取等号, . ‎ 又由b+c>a得a<2,所以a∈[1,2).‎ 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.‎ ‎11．【山东省威海市2018届高三下学期第二次模拟考试】在中，边上一点满足，.‎ ‎（1）若，求边的长；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，化简得，‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 点睛：（1）本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)‎ 解三角形一般要知道三个元素，且至少一个为边长，对于缺少的元素放到其它三角形中去解答. | ]‎ ‎12．【山东省烟台市2018届高三高考适应性练习（二）】在中，内角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）若为上的一点，，，求的面积.‎ 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角形的面积公式的应用，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.‎ ‎13．【东北师大附中2018届四模】在中，内角所对的边分别为，且 .‎ ‎(1)求角的大小:‎ ‎(2)若点为的中点，且,求的值的值 点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意对正弦定理和余弦定理的正确使用，建立关于边或角所满足的关系，在求角的过程中，得到，在求角的时候，必须将角的范围写上.‎ ‎14．【河南省新乡市2018届高三第三次模拟测试】在中，分别是内角的对边，已知.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求的面积 ‎【解析】分析：(1)由题意角化边可得，则.‎ ‎(2)由题意结合同角三角函数基本关系可得.结合正弦定理可得.且又.由面积公式可得.‎ 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎15．【天一大联考海南省2017-2018学年高中毕业班阶段性测试（三）】在锐角三角形中，为三个内角，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【解析】分析：由二倍角正弦公式及诱导公式可得，进而得到角的大小；‎ ‎（2）利用内角和定理及两角和的正弦公式可得，又，结合正弦函数的图象与性质，可得的取值范围.‎ 详解：（1）因为，所以，‎ 即，‎ 又在锐角三角形中，，故，‎ 所以，所以.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚．本题易错点，锐角三角形隐含着对内角范围的限制. ‎