2017-2018学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期第一次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则CU(A∪B)（ ）‎ A. {0，1，2，3} B. {5} C. {1，2，4} D. {0，4，5}‎ ‎【答案】D ‎【解析】A∪B CU(A∪B) ，选D.‎ ‎2．下列各式错误的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由指数函数的性质可知，函数为单调递减函数，又因为，所以，所以C项是错误的，故选C．‎ ‎【考点】指数函数的性质．‎ ‎3．已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是( )‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎4．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果 ( )‎ A. 4 B. 5 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】模拟执行程序，可得， ， ， ， 不满足条件，执行循环体， ， ， ， 不满足条件，执行循环体， ， ， ， 不满足条件，执行循环体， ， ， ， ，满足条件，退出循环，输出的值为4，故选A．‎ 点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，模拟执行程序正确写出每次循环得到的， ， 的值是解题的关键，属于基础题；模拟执行程序，依次写出每次循环得到的， ，的值，当时，满足条件，退出循环，输出的值为4，从而得解．‎ ‎5．一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图和侧(左)视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由三视图可知，该多面体是如图所示的底面边长为的正方形，一条侧棱与底面垂直的四棱锥，可得， ，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为，故选B.‎ ‎6．对于任意实数x，不等式（ a-2）x2-2(a-2)x-4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )‎ A. (-∞,2) B. (-∞,2］‎ C. (-2,2) D. （-2,2］‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时， ，所以不等式恒成立；当时，要使不等式恒成立，需，综上实数a的取值范围是（-2,2］，选D.‎ ‎7．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：圆的圆心为点，又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率．由点斜式得直线，化简得，故选D．‎ ‎【考点】1、两直线的位置关系；2、直线与圆的位置关系.‎ 视频 ‎8．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）‎ A． B． C．4 D．12‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．‎ 解：由已知|a|=2，‎ ‎|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，‎ ‎∴|a+2b|=．‎ 故选：B．‎ ‎【考点】向量加减混合运算及其几何意义．‎ ‎9．某函数部分图像如图所示，它的函数解析式可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,又因为 因此函数解析式是，选D.‎ 点睛：已知函数的图象求解析式 ‎(1) .‎ ‎(2)由函数的周期求 ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.‎ ‎10．函数y＝sin 在x＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数y＝sin 在x＝2处取得最大值， ,当， 正数ω的最小值为，故选D.‎ ‎11．若奇函数在内是减函数，且， 则不等式的解集为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，选D.‎ 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内 ‎12．已知数列{an}的通项公式是＝sin，则＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】=‎ ‎,选B.‎ 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型　（如 ）‎ 二、填空题 ‎13．存在使不等式成立，则的取值范围是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ‎14．若正实数，满足，则的最小值是 ．‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】试题分析：由条件利用基本不等式可得xy=2x+y+6≥2+6，令xy=t2，即 t=＞0，可得t2- t-6≥0．即得到(t-3)(t+)≥0可解得 t≤-，t≥3，又注意到t＞0，故解为 t≥3，所以xy≥18．故答案应为18‎ ‎【考点】本题主要考查了用基本不等式a+b≥2解决最值问题的能力，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法，属基础题 点评：解决该试题的关键是首先左边是xy的形式右边是2x+y和常数的和的形式，考虑把右边也转化成xy的形式，使形式统一．可以猜想到应用基本不等式a+b≥2．转化后变成关于xy的方程，可把xy看成整体换元后求最小值。‎ ‎15．实数满足，则z=x-y的最大值是________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】可行域如图，所以直线z=x-y过点A(2,0)时z取最大值2‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎16．已知数列中，且，则=__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，两式相减，当时， 是等比数列，又，当时， ， ，故答案为.‎ 三、解答题 ‎17．已知向量， ＝，函数，‎ ‎（I）求函数的解析式及其单调递增区间；‎ ‎（II）当x∈时，求函数的值域．‎ ‎【答案】（1） ， （2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）‎ 先根据向量数量积转化为三角函数关系式，再利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求单调递增区间（2）先确定对应正弦函数定义区间，再根据正弦函数图像求值域 试题解析：（1），      ‎ 令，解得：，所以函数的单调递增区间为（）。      ‎ ‎（2）因为，所以，即。    ‎ 则，则函数的值域为。‎ ‎18．函数的部分图像如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.‎ ‎ ‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）在中，角A,B,C满足，且其外接圆的半径R=2，求的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由图知周期，利用周期公式可求，由，结合范围，可求的值，进而利用三角函数图象变换的规律即可得解；（2）利用三角函数恒等变换的应用及三角形内角和定理化简已知可得，进而可求，由正弦定理解得的值，进而由余弦定理，基本不等式可求，利用三角形面积公式即可得解面积的最大值.‎ 试题解析：（1）由图知， ，解得： ，‎ ‎，∴，即，‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴‎ ‎，‎ 即函数的解析式.‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎， ， ，‎ 或1（舍），，‎ 由正弦定理得： ， ，‎ 由余弦定理得： ， ，‎ ‎，‎ ‎∴的面积最大值为.‎ 点睛：本题主要考查了三角函数周期公式，三角函数图象变换的规律，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，均属高考中的高频考点，属于中档题；掌握在函数的图象中所起到的具体作用是关键.‎ ‎19．如图，在四棱锥S ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．四边形ABCD为正方形，且点P为AD的中点，点Q为SB的中点．‎ ‎(1)求证：CD⊥平面SAD．‎ ‎(2)求证：PQ∥平面SCD．‎ ‎(3)若SA＝SD，点M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1)见解析（2）见解析(3)存在点N为SC中点,使得平面DMN⊥平面ABCD.‎ ‎【解析】试题分析：(1)由四边形为正方形可得,再根据面面垂直的性质定理即可得结论；(2)取的中点，连,由中位线定理可得，从而可得四边形为平行四边形，所以，进而根据线面平行的判定定理可得结论；(3) 存在点为中点,使得平面平面，先证明，再证明平面，可得平面, 面面垂直的判定定理即可得结论.连接 交于点，连接. ‎ 试题解析：(1)因为四边形ABCD为正方形,则CD⊥AD.‎ 又平面SAD⊥平面ABCD，‎ 且面SAD∩面ABCD=AD，‎ 所以CD⊥平面SAD.‎ ‎(2)取SC的中点R，连QR，DR.‎ 由题意知：PD∥BC且PD=12BC.‎ 在△SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，‎ 所以QR∥BC且QR=12BC.‎ 所以QR∥PD且QR=PD，‎ 则四边形PDRQ为平行四边形.‎ 所以PQ∥DR.又PQ⊄平面SCD，DR⊂平面SCD，‎ 所以PQ∥平面SCD.‎ ‎(3)存在点N为SC中点,使得平面DMN⊥平面ABCD.‎ 连接PC、DM交于点O，连接PM、SP，‎ 因为PD∥CM，并且PD=CM，‎ 所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO=CO.‎ 又因为N为SC中点，‎ 所以NO∥SP.‎ 因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，并且SP⊥AD，‎ 所以SP⊥平面ABCD，‎ 所以NO⊥平面ABCD,‎ 又因为NO⊂平面DMN，‎ 所以平面DMN⊥平面ABCD.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理及判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（2）是就是利用方法①证明的.‎ ‎20．已知数列中， ， ，数列中， ，其中；‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若是数列的前n项和，求的值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等差数列定义，即证为常数，将用代人，结合条件，可得（2）先根据等差数列前n项和得，再利用裂项相消法求和 试题解析：解:(1)数列中,,,数列中,,其中.,‎ ‎,‎ ‎═常数,数列是等差数列,首项为1,公差为1, ‎ ‎(2) , ‎ 即 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.‎ ‎ 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎21．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；‎ ‎（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎【答案】（1）0.4（2）20（3）3:2‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；‎ ‎（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由频率分布直方图知，‎ 分数在的频率为，‎ 分数在的频率为，‎ 则分数小于70的频率为，‎ 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为.‎ ‎(2)由频率分布直方图知，‎ 样本中分数在区间的人数为 (人)，‎ 已知样本中分数小于40的学生有5人，‎ 所以样本中分数在区间内的人数为 (人)，‎ 设总体中分数在区间内的人数为，‎ 则，得，‎ 所以总体中分数在区间内的人数为20人.‎ ‎(3)由频率分布直方图知，‎ 分数不小于70的人数为 (人)，‎ 已知分数不小于70的男女生人数相等，‎ 故分数不小于70分的男生人数为30人，‎ 又因为样本中有一半男生的分数不小于70，‎ 故男生的频率为： ，‎ 即女生的频率为： ，‎ 即总体中男生和女生人数的比例约为： .‎ 点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：‎ ‎(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；‎ ‎(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；‎ ‎(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．‎ ‎22．已知函数在上是奇函数．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）令，若关于的方程有唯一实数解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）或 ‎【解析】试题分析：（1）函数是奇函数，所以,解方程求a.（2）对于任意，函数f（x）恒大于0，不等式恒成立，即不等式恒成立，则。（3）先求，由得g（2x）=mg（x+1）即，所以（）,令，则方程（）变为。关于的方程有唯一实数解，所以方程 有且只有一个正根。方程的根分以下三种情况讨论①有且只有一个根且是正根②有一正根一负根③有一正根一零根，求m的范围。‎ 试题解析：（1）因为所以所以 ‎ ‎（2），‎ 所以，即 ‎（3）因为， ‎ 即，所以（）‎ 因为关于的方程有唯一实数解，所以方程（）有且只有一个根，‎ 令，则方程（）变为有且只有一个正根，‎ ‎①方程有且只有一个根且是正根，则 所以，当时，方程的根为满足题意；‎ 当时，方程的根为不满足题意 分 ‎②方程有一正根一负根，则，所以 ‎③方程有一正根一零根，则，所以，此时满足题意 综上， 的范围为或 说明：本题第（1）问中，利用特殊值法求解也正确。‎ ‎【考点】奇函数、不等式恒成立、指数函数的最值、一元二次方程根与系数的关系。‎