【数学】2020届一轮复习人教B版排列（理）学案

【数学】2020届一轮复习人教B版排列（理）学案

排 列 ‎ ‎ ‎【学习目标】‎ ‎1．理解排列的概念.‎ ‎2．能利用计数原理推导排列数公式．‎ ‎3．能利用排列数公式解决简单的实际问题．‎ ‎【要点梳理】‎ 要点一、排列的概念 ‎1. 排列的定义：‎ ‎ 一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．‎ 要点诠释:‎ ‎（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．‎ ‎（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．‎ ‎（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．‎ 要点二：排列数 ‎1.排列数的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.‎ 要点诠释:‎ ‎ （1）“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；‎ ‎（2）排列数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．‎ 比如从3个元素a、b、c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一列，有如下几种：ab，ac，ba，bc，ca，cb，每一种都是一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号表示排列数，在此题中．‎ ‎2．排列数公式 ‎ ，其中n，m∈N+，且m≤n．‎ 要点诠释:‎ ‎(1)公式特征：‎ 第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数。‎ ‎(2)公式含义：‎ ‎①的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到。‎ 第一步：在第一个空位填一个元素，有种方法；‎ 第二步：在第二个空位填一个元素，有种方法；‎ 由分步计数原理完成上述填空共有种填法，‎ ‎∴=.‎ ‎②求可以理解为：从个元素中任取个不同的元素去填空（不能重复），‎ 第一步：在第一个空位填一个元素，有种方法；‎ 第二步：在第二个空位填一个元素，有种方法；‎ 第三步：在第三个空位填一个元素，有种方法；‎ ‎…‎ 第步：在第个空位填一个元素，有种方法；‎ 依据分步记数原理，共有种方法。‎ 要点三：阶乘表示式 ‎ ‎1．全排列：‎ 个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列。‎ 全排列.‎ ‎2．阶乘的概念：‎ 把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘.表示：，即.‎ 规定：．‎ ‎3. 排列数公式的阶乘式：‎ ‎ 所以．‎ 要点四：排列的常见类型与处理方法 ‎1. 相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素．‎ ‎2. 相离问题插空法：对于不能相邻的元素，可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插到它们的空隙及两端位置．‎ ‎3. 元素分析法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素。‎ ‎4. 位置分析法：以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置。‎ 要点诠释：‎ 当用以上方法正面求解，情况较复杂时，可考虑用排除法。‎ 即：直接考虑情况较多，但其对立面情况较少，先不考虑附加条件，计算出排列数，再减去不合要求的排列数。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、与排列数有关的运算 例1．计算：（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）＝‎ ‎（2）＝＝‎ ‎（3）＝‎ ‎【总结升华】利用排列数公式要准确把握公式的结构特征——就是从n起，依次减“1”的m个正整数之积。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】若n∈N，将(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示．‎ ‎【答案】‎ 先确定最大数，即69－n，再确定因式的个数为(69－n)－(55－n)+1=15．‎ ‎ 则由排列数公式得．‎ ‎【变式2】解方程：3． ‎ ‎【答案】由排列数公式得：，‎ ‎∵，∴ ，即，‎ 解得 或，∵，且，∴原方程的解为．‎ 类型二、排列的定义及其理解 例2． 判断下列问题是否是排列问题：‎ ‎ （1）从1，2，3，5中任取两个不同的数相减（除）可得到多少个不同的结果？‎ ‎ （2）从1，2，3，5中任取两个不同的数相加（乘）可得到多少个不同的结果？‎ ‎ （3）某班有50名同学，约定每两人通一次信，共需写信多少封？‎ ‎ （4）某班有50名同学，约定相互握手一次，共需握手多少次？‎ ‎ （5）平面内有10个点，无任何三点共线，由这些点可连射线多少条？‎ ‎ 【思路点拨】‎ ‎ 判断所给问题是否是排列问题，关键是看与顺序有无关系，具体问题中取出的元素与顺序有无关系，由问题的条件和性质决定，认清问题的性质是作出正确判断的前提与关键．‎ ‎ 【解析】根据排列的定义可知：（1）、（3）、（5）是排列问题．‎ ‎【总结升华】‎ ‎ 判断一个具体问题是不是排列问题，就是看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有序还是无序，有序则是排列；否则不是排列．‎ ‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？‎ ‎【答案】‎ 这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：‎ 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素。‎ ‎【变式2】判断下列问题是否是排列问题：‎ ‎ （1）从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？‎ ‎ （2）从10名同学中任选两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的选取方法？‎ ‎【答案】（1）由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．‎ ‎ （2）因为任何一种从10名同学中选取两人去学校开目谈会的方式不需要考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．‎ ‎ 综上，（1）是排列问题，（2）不是排列问题．‎ 例3‎ ‎．某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？‎ ‎【思路点拨】本题是从14个队中选出2个安排比赛，因为有主客场，所以有次序问题，属于排列问题。‎ ‎【解析】 任意两队间进行1次主场比赛与 1 次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是=14×13=182. ‎ ‎【总结升华】‎ 当根据题意判断出问题是排列问题，则可根据排列数公式进行计算。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？‎ ‎【答案】20；‎ 问题可以看作5个元素中任取2个元素的一个排列；‎ ‎【变式2】 某小组6个人排队照相留念，若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？‎ ‎【答案】分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．‎ ‎∴(种)‎ ‎【变式3】由1，2，3，4，5这五个数字，‎ ‎①能够组成多少个没有重复数字的三位数？‎ ‎②能够组成多少个三位数？‎ ‎【答案】‎ ‎① 从1，2，3，4，5这五个数字中任取三个分别排在百位、十位、个位上有：（个）‎ ‎∴能组成60个无重复数字的三位数。‎ ‎② 可分三步完成，第一步从1，2，3，4，5这五个数字中任选一个排在百位有种不同的排法；由于允许重复，所以第二步排十位也有种不同的排法；第三步排个位也有种不同的排法，由分步计数原理有：（个）‎ ‎∴能够组成125个三位数。‎ 类型三、简单排列应用题的解法 例4.‎ ‎（1）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？‎ ‎（2）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？‎ ‎（3）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？‎ ‎【思路点拨】 本题主要考查有限制条件的排列问题．注意对特殊元素的处理．‎ ‎【解析】(1)问题可以看作：余下的6个元素的全排列——=720．‎ ‎(2)根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有种；‎ 第二步 余下的5名同学进行全排列有种，所以，共有=240种排列方法 ‎(3) 解法1（直接法）第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法，所以一共有＝2400种排列方法 解法2（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400种．‎ ‎ 【总结升华】‎ ‎ 本题是有限制条件的排列问题，某元素只能在某个位置时，可先把这个元素排在这个位置上；不能在某个位置时，可先让其他元素排在这个位置上，或先把这个元素排在其他位置上．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？‎ ‎【答案】‎ 方法一：直接法 第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种；‎ 第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种，‎ 所以共有＝2400种方法。‎ 方法二：排除法 若甲站在排头有种方法；‎ 若乙站在排尾有种方法；‎ 若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法，‎ 所以，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有－＋2=2400种。‎ ‎【变式2】某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同排课程表的方法？‎ ‎【答案】‎ 解法一：6门课总的排法是，其中不符合要求的排法为：体育排在第一节，有种排法，如图1-2-1中Ⅰ；数学排在最后一节，有种排法，如图中Ⅱ．但这两种方法，都包括体育排在第一节且数学排在最后一节这种情况，如图中Ⅲ，有种排法因此符合条件的排法应是：．‎ ‎ 解法二：根据要求，课表安排可分为4种情况：‎ ‎ ①体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有种；‎ ‎ ②数学排在第一节，但体育不排在最后一节，有排法种；‎ ‎ ③体育排在最后一节，但数学不排在第一节，有排法种；‎ ‎ ④数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法种．‎ ‎ 这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有：（种）．‎ 例5.七位同学站成一排，下列情况有多少种不同的排法？‎ ‎（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？‎ ‎（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？‎ ‎（3）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？‎ ‎（4）甲、乙同学之间隔一人的排法共有多少种？‎ ‎（5） 甲、乙两同学必须相邻，且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？‎ ‎【思路点拨】本题显然为相邻和不相邻问题。‎ ‎【解析】‎ ‎（1）先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有种 ‎（2）方法同上，一共有＝720种 ‎（3）先将其余四个同学排好有 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有＝1440种． ‎ ‎（4）先从其余5人中选1人有5中选法，放在甲、乙之间，将三人看成一个人有种，然后甲乙互换位置以种，共有5＝1200种 ‎（5）解法一：‎ 将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有＝960种方法 解法二：‎ 将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2种方法，‎ 所以，丙不能站在排头和排尾的排法有种方法 解法三：‎ 将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有＝960种方法．‎ ‎【总结升华】‎ ‎（1）某些元素相邻或不相邻，相邻的可“捆绑”成一个新元素，参与整体排列，然后这些相邻元素再内排；不相邻的元素去插前者元素之间的空——俗称“插空法”．‎ ‎（2）某些元素顺序一定，可先求总的排列数，再求这些特殊元素的排列数，则符合条件的排列数为前者的排列数除以后者的排列数．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】(2018 北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有　　　种．‎ ‎【答案】‎ 根据题意，分3步进行分析：‎ ‎①、产品A与产品B相邻，将AB看成一个整体，考虑AB之间的顺序，有A22＝2种情况，‎ ‎②、将AB与剩余的2件产品全排列，有A33＝6种情况，‎ ‎③、产品A与产品C不相邻，C有3个空位可选，即有3种情况，‎ 故不同的摆法有12×3＝36种，‎ 故答案为：36．‎ ‎【变式2】三本不同的化学书，四本不同的数学书在书架上排成一排，不使同类书分开的排法有多少种？‎ ‎【答案】由于不使同类书分开，则把三本不同的化学书捆在一起，四本不同的数学书捆在一起，使七本不同书转化为两捆不同的书的排列有种不同的排法，再把三本不同的化学书在它们相邻的位置全排列有种不同的排法，由乘法原理得：总数（种）。‎ ‎【高清课堂：排列 389320例3 练习】‎ ‎【变式3】用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答）‎ ‎【答案】将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有种，再将７、８插入4个空位中的两个有种，故有种．‎ ‎【变式4】（2019 山东二模）为贯彻落实中央1号文件精神和新形势下国家粮食安全战略部署，农业部把铃薯作为主粮产品进行产业化开发，记者获悉，我国推进马铃薯产业开发的目标是力争到2020年马铃薯种植面积扩大到1亿亩以上。山东省某种植基地对编号分别为1，2，3，4，5，6的六种不同品种在同一块田地上进行对比试验，其中编号1，3，5的三个品种有且只有两个邻邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种方法的种数为（ ）‎ A．432 B．456 C．534 D．720‎ ‎【答案】‎ 第一类，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个全排，形成了3个空，先把2号品种，插入在中间空中，再把4号插入到1，2，3，5所形成的4个空的中的一个，然后把6号再插入到其中，故有种，‎ 第二类，从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个全排，形成了3个空，先把4或6号，插入到中间空中，再把剩下的一个插入到所形成的4个空的中的一个，然后把2号插入前面所成的3个空（不包含两端）的1个，故有种，‎ 从1，3，5品种选2个并捆绑在一起，和另外1个排列，把2，4，6号捆绑在一起并插入到其中，有种，‎ 故编号为1，3，5的三个品种中有且只有两个相邻，且2号品种不能种植在两端，则不同的种植方法的种数为240+288－72=456种，‎ 故选B。‎ 例6． 用0，1，2，3，4，5这六个数字：‎ ‎ （1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？‎ ‎ （2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？‎ ‎ （3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？‎ ‎ 【思路点拨】‎ ‎ 该例中的每个小题都是有限制条件的排列问题．除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”．我们采取先特殊后一般的原则，将问题分解为几个易求解的简单问题．‎ ‎ 【解析】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：‎ ‎ 第一类：0在个位时有个；‎ ‎ 第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种），十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个；‎ ‎ 第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个．‎ ‎ 由分类计数原理知，共有四位偶数：（个）．‎ ‎ （2）五位数中5的倍数的数可分为两类：个位上的数字是0的五位数有个；个位上的数字是5的五位数有个．‎ ‎ 故满足条件的五位数共有．‎ ‎ （3）比1325大的四位数可分为三类：‎ ‎ 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个；‎ ‎ 第二类：形如14□□，15□□，共有个；‎ ‎ 第三类：形如134□，135□，共有个；‎ ‎ 由分类计数原理知，比1325大的四位数共有：（个）．‎ ‎【总结升华】‎ 不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题．其常见的附加条件有：奇偶数、倍数、大小关系等，也可以有相邻、插空问题，也可以与数列等知识相联系等．解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素（位置）的性质分类（每一类的各种方法都能保证事件的完成），按事件发生的连续过程合理分步来解决．这类问题的隐含条件“0不能在首位”尤其不能疏忽．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（　　）‎ ‎（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个 ‎【答案】选B．‎ 对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位－最高位－中间三位”分步计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有个；②个位不是0并且比20000大的五位偶数有个；故共有个．本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目．‎ ‎【高清课堂：排列 389320例3】‎ ‎【变式2】用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列．‎ ⑴ ‎ 第114个数是多少？ ⑵ 3796是第几个数？‎ ‎【答案】3968，95‎ ⑴ ‎ 因为千位数是1的四位数一共有个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3968”排在第6个位置上，所以“3968” 是第114个数．‎ ⑵ ‎ 由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3796是第95个数．‎ ‎【变式3】由0，1，2，3，4这五个数字组成不重复的五位数中，从小到大排列，42031是第几个数？（ ）‎ ‎ A、11 B、85 C、86 D、96‎ ‎【答案】此题可分三类完成：第一类从1，2，3这三个数字中任选一个排在首位这样的数一定比42031小，其首位有种不同的排法，再由余下的四个数在剩余的四个位置全排列有种不同的排法，则第一类有·=72个，第二类是首位排4，千位排0或1的数一定比42031小，这样的数有，第三类只有一个数42013，由加法原理得：，所以42031是第86个数，故选C。‎ ‎（注：比42031小的数有85个，但从小到大的顺序排列42031应是第86个数。）‎