2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第7章 第4节　垂直关系

2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第7章 第4节　垂直关系

第四节　垂直关系 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．‎ ‎(对应学生用书第114页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．直线与平面垂直 ‎(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性 质 定 理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b ‎2.二面角的有关概念 ‎(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．‎ ‎(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．‎ ‎(3)范围：[0，π]．‎ ‎3．平面与平面垂直 ‎(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α ‎[知识拓展]　1.如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．‎ ‎2．直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．‎ ‎3．垂直于同一条直线的两平面平行．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)‎ ‎(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　)‎ ‎(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　　)‎ ‎(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(　　)‎ ‎(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√‎ ‎2．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ.(　　)‎ A．若l⊥β，则α⊥β　　 B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m A　[∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．]‎ ‎3．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足 m∥α，n⊥β，则(　　)‎ A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n C　[∵α∩β＝l，∴lβ.‎ ‎∵n⊥β，∴n⊥l.]‎ ‎4．如图741，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是(　　)‎ 图741‎ A．A1D B．AA1‎ C．A1D1‎ D．A1C1‎ D　[易知AC⊥平面BB1D1D.‎ ‎∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥平面BB1D1D.‎ 又B1O平面BB1D1D，∴A1C1⊥B1O，故选D.]‎ ‎5．如图742，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．‎ 图742‎ ‎4　[∵PA⊥平面ABC，‎ ‎∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，‎ 则△PAB，△PAC为直角三角形．‎ 由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC．‎ 因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]‎ ‎(对应学生用书第115页)‎ 线面垂直的判定与性质 ‎　 (2018·合肥一检)如图743，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，点E，F分别为BC，PD的中点，PA＝AB＝2.‎ 图743‎ ‎(1)证明：AE⊥平面PAD；‎ ‎(2)求多面体PAECF的体积．‎ ‎[解]　(1)证明：由PA⊥底面ABCD得PA⊥AE.‎ 底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，得△ABC为等边三角形，‎ 又因为E为BC的中点，得AE⊥BC，所以AE⊥AD.‎ 因为PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD.‎ ‎(2)令多面体PAECF的体积为V，‎ 则V＝V三棱锥PAEC＋V三棱锥CPAF.‎ V三棱锥PAEC＝××PA ‎ ＝××2＝；‎ V三棱锥CPAF＝××AE ‎ ＝××＝，‎ 所以多面体PAECF的体积为V＝＋＝.‎ ‎[规律方法]　证明直线和平面垂直的常用方法 (1)利用判定定理.‎ (2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α).‎ (3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β).‎ (4)利用面面垂直的性质.‎ 当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ (5)重视平面几何知识，特别是勾股定理的应用.‎ ‎[跟踪训练]　‎ 如图744所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.‎ 图744‎ 求证：PA⊥CD. ‎ ‎【导学号：79140234】‎ ‎[证明]　因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ACB中，由AC＝BC，得∠ABC＝30°.‎ 设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 30°＝3，‎ 所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.‎ 因为PD⊥平面ABC，CD平面ABC，‎ 所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D，得CD⊥平面PAB，又PA平面PAB，所以PA⊥CD.‎ 平面与平面垂直的判定与性质 ‎　(2017·全国卷Ⅰ)如图745，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.‎ 图745‎ ‎(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．‎ ‎[解]　(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，‎ 得AB⊥AP，CD⊥PD.‎ 由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.‎ 又AB平面PAB，‎ 所以平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎(2)如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.‎ 由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，‎ 可得PE⊥平面ABCD.‎ 设AB＝x，则由已知可得 AD＝x，PE＝x.‎ 故四棱锥PABCD的体积 VPABCD＝AB·AD·PE＝x3.‎ 由题设得x3＝，故x＝2.‎ 从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2.‎ 可得四棱锥PABCD的侧面积为 PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin 60°＝6＋2.‎ ‎[规律方法]　1.面面垂直的两种证明方法 ‎(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．‎ ‎(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．‎ ‎2．三种垂直关系的转化 ‎[跟踪训练]　(2018·云南二检)如图746已知三棱锥PABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝3，O是AB的中点，E是PB的中点．‎ 图746‎ ‎(1)证明：平面PAB⊥平面ABC；‎ ‎(2)求点B到平面OEC的距离．‎ ‎[解]　(1)证明：连接PO，在△PAB中，PA＝PB，‎ O是AB的中点，∴PO⊥AB.‎ ‎∵AC＝BC＝2，AC⊥BC，‎ ‎∴AB＝2，OB＝OC＝.‎ ‎∵PA＝PB＝PC＝3，‎ ‎∴PO＝，PC2＝PO2＋OC2.‎ ‎∴PO⊥OC．‎ 又AB∩CO＝O，AB平面ABC，OC平面ABC，‎ ‎∴PO⊥平面ABC．‎ ‎∵PO平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．‎ ‎(2)∵OE是△PAB的中位线，∴OE＝.‎ ‎∵O是AB中点，AC＝BC，∴OC⊥AB.‎ 又平面PAB⊥平面ABC，两平面的交线为AB，‎ ‎∴OC⊥平面PAB.∵OE平面PAB，∴OC⊥OE.‎ 设点B到平面OEC的距离变d，‎ ‎∵V三棱锥BOEC＝V三棱锥EOBC，‎ ‎∴×S△OEC·d＝×S△OBC×OP.‎ d＝＝＝.]‎ 平行与垂直的综合问题 ‎◎角度1　平行与垂直关系的证明 ‎　(2016·江苏高考)如图747，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.‎ 图747‎ 求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ ‎[证明]　(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC．‎ 在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，‎ 所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.‎ 又因为DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，‎ 所以直线DE∥平面A1C1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.‎ 因为A1C1平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.‎ 又因为A1C1⊥A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.‎ 因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.‎ 又因为B1D⊥A1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.‎ 因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ ‎◎角度2　平行与垂直关系中的探索性问题 ‎　(2018·兰州实战模拟)如图748所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.‎ 图748‎ ‎(1)求证：平面CFG⊥平面ACE；‎ ‎(2)在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由. ‎ ‎【导学号：79140235】‎ ‎[解]　(1)证明：连接BD交AC于点O，则BD⊥AC．‎ 设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则MN∥BD，‎ 连接FM，GN，则FM∥GN，且FM＝GN，‎ 所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC．‎ 由于AE⊥平面ABCD，所以AE⊥BD.‎ 所以FG⊥AE，又因为AC∩AE＝A，所以FG⊥平面ACE.所以平面CFG⊥平面ACE.‎ ‎(2)存在．设平面ACE交FG于Q，则Q为FG的中点，‎ 连接EQ，CQ，取CO的中点为H，连接EH，‎ 则CH∥EQ，CH＝EQ＝，‎ 所以四边形EQCH为平行四边形，所以EH∥CQ，‎ 所以EH∥平面CFG，‎ 所以在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG，‎ 且CH＝.‎ ‎[规律方法]　平行与垂直的综合应用问题的主要数学思想和处理策略 (1)处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化，要熟练掌握线线、线面、面面之间的平行与垂直的转化.‎ (2) 探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点的存在问题，点多为中点或三等分点中的某一个，也可以根据相似知识找点.‎ ‎[跟踪训练]　(2018·郑州第二次质量预测)如图749，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1，M为AB的三等分点．现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB，AC．‎ 图749‎ ‎(1)在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC，请说明理由；‎ ‎(2)当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．‎ ‎[解]　(1)当AP＝AB时，有AD∥平面MPC．‎ 理由如下：‎ 连接BD交MC于点N，连接NP.‎ 在梯形MBCD中，DC∥MB，＝＝.‎ ‎∵在△ADB中，＝，∴AD∥PN.‎ ‎∵AD平面MPC，PN平面MPC，‎ ‎∴AD∥平面MPC．‎ ‎(2)∵平面AMD⊥平面MBCD，‎ 平面AMD∩平面MBCD＝DM，‎ 由题易知，在△AMD中，AM⊥DM，‎ ‎∴AM⊥平面MBCD，又P为AB中点，‎ ‎∴V三棱锥PMBC＝×S△MBC× ‎＝××2×1× ‎＝.‎ 在△MPC中，MP＝AB＝，‎ MC＝，PC＝＝，‎ ‎∴S△MPC＝××＝.‎ ‎∴点B到平面MPC的距离为＝＝.]‎