数学卷·2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期第二次段考数学试卷（文科）+（解析版）

数学卷·2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高二上学期第二次段考数学试卷（文科）+（解析版）

‎2016-2017学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（上）第二次段考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（每题5分，满分60分）‎ ‎1．△ABC的顶点A（5，0），B（﹣5，0），△ABC的周长为22，则顶点C的轨迹方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．如图是谢宾斯基（Sierpinsiki）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，则{an}的通项公式可以是（　　）‎ A．an=3n﹣1 B．an=2n﹣1 C．an=3n D．an=2n﹣1‎ ‎3．若函数f（x）=ax﹣lnx在x=处取得极值，则实数a的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎4．已知数列{an}满足，前n项的和为Sn，关于an，Sn叙述正确的是（　　）‎ A．an，Sn都有最小值 B．an，Sn都没有最小值 C．an，Sn都有最大值 D．an，Sn都没有最大值 ‎5．已知等比数列{an}中，a2•a8=4a5，等差数列{bn}中，b4+b6=a5，则数列{bn}的前9项和S9等于（　　）‎ A．9 B．18 C．36 D．72‎ ‎6．数列1，2，3，4…前n项的和为（　　）‎ A． + B．﹣++1‎ C．﹣+ D．﹣+‎ ‎7．已知f′（x）是f（x）的导数，且y=xf′（x）的图象如图所示，则下列关于f（x）说法正确的是（　　）‎ A．在（﹣∞，0）上是增函数 B．在（﹣1，1）上是增函数 C．在（﹣1，0）上是增函数 D．在（1，+∞）上是减函数 ‎8．已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（　　）‎ A．6 B． C． D．4+2‎ ‎9．已知F1，F2为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为A，B，若△ABF1为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣1 C． D．‎ ‎10．设函数f（x）（x∈R）的导函数为f′（x），满足f′（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）与eaf（0）的大小关系为（　　）‎ A．f（a）＞eaf（0） B．f（a）＜eaf（0） C．f（a）=eaf（0） D．不能确定 ‎11．已知圆的方程为x2+y2=4，若抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2‎ ‎（1，0），若该椭圆C与直线x+y﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（每题5分，满分20分）‎ ‎13．数列{an}的通项公式，其前n项和时Sn=9，则n等于　　．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=　　．‎ ‎15．若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=　　．‎ ‎16．已知E，F为双曲线的左右焦点，抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于不同的两点A，B，若，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．若数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+an=2n，求an以及Sn．‎ ‎18．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．‎ ‎19．已知数列{an}的前n项和为，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1（n≥2）．‎ ‎（I）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（II）令，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，焦距为，抛物线的焦点F是椭圆C1的顶点．‎ ‎（I）求C1与C2′的标准方程；‎ ‎（II）已知直线y=kx+m与C2相切，与C1交于P，Q两点，且满足∠PFQ=90°，求k的值．‎ ‎21．已知f（x）=lnx﹣（a∈R）．‎ ‎（1）若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线平行于直线x+y=0，求a的值；‎ ‎（2）讨论函数f（x）在定义域上的单调性；‎ ‎（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值．‎ ‎22．已知椭圆的短轴长等于焦距，长轴长为等于圆R：x2+（y﹣2）2=4的直径，过点P（0，1）的直线l与椭圆C交于两点A，B，与圆R交于两点M，N ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）求|AB|•|MN|的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（上）第二次段考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（每题5分，满分60分）‎ ‎1．△ABC的顶点A（5，0），B（﹣5，0），△ABC的周长为22，则顶点C的轨迹方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；轨迹方程．‎ ‎【分析】首先根据△ABC的周长是22，且A（5，0），B（﹣5，0），进一步确定|AC|+|BC|=26＞|AB|，判断顶点C的轨迹是以A（0，﹣5），B（0，5）为焦点以原点为中心，x轴和y轴为对称轴的椭圆．进一步根据a、b、c的关系求出椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：已知△ABC的周长是22，且A（5，0），B（﹣5，0），‎ 则|AB|=10，|AC|+|BC|=12＞|AB|=10‎ 所以△ABC的顶点C的轨迹是以A（5，0），B（﹣5，0）为焦点，‎ 以原点为中心，以x轴和y轴为对称轴的椭圆．‎ 椭圆方程设为：（a＞b＞0）‎ 令|AC|+|BC|=12=2a 解得：a=6，‎ 令|AB|=10=2c 解得：c=5‎ 进一步解得：b2=a2﹣c2=36﹣25=11‎ 求得△ABC的顶点C的轨迹方程为：．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．如图是谢宾斯基（Sierpinsiki）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，则{an}的通项公式可以是（　　）‎ A．an=3n﹣1 B．an=2n﹣1 C．an=3n D．an=2n﹣1‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．‎ ‎【分析】着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，分别得出，即可得出{an}的通项公式．‎ ‎【解答】解：着色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，分别为：a1=1，a2=3，a3=3×3=32，a4=32×3，‎ 因此{an}的通项公式可以是：an=3n﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．若函数f（x）=ax﹣lnx在x=处取得极值，则实数a的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=处取得极值，则f′（0）=0，求出a的值，然后验证即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax﹣lnx，‎ ‎∴函数的定义域为（0，+∞）． ‎ ‎∴f′（x）=a﹣=． ‎ ‎∵f（x）在x=处取得极值，‎ 即f′（）=a﹣=0，‎ ‎∴a=． ‎ 当a=时，在（0，）内f′（x）＜0，在（，+∞）内f′（x）＞0，‎ ‎∴x=是函数y=f（x）的极值点．‎ ‎∴a=． ‎ 故选：A ‎　‎ ‎4．已知数列{an}满足，前n项的和为Sn，关于an，Sn叙述正确的是（　　）‎ A．an，Sn都有最小值 B．an，Sn都没有最小值 C．an，Sn都有最大值 D．an，Sn都没有最大值 ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】利用数列通项的单调性和正负即可判断出答案．‎ ‎【解答】解：①∵，∴当n≤5时，an＜0且单调递减；当n≥6时，an＞0，且单调递减．故当n=5时，a5=﹣3为最小值；‎ ‎②由①的分析可知：当n≤5时，an＜0；当n≥6时，an＞0．故可得S5最小．‎ 综上可知：．an，Sn都有最小值．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．已知等比数列{an}中，a2•a8=4a5，等差数列{bn}中，b4+b6=a5，则数列{bn}的前9项和S9等于（　　）‎ A．9 B．18 C．36 D．72‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等比数列的性质结合已知求得a5=4，代入b4+b6=a5，进一步代入等差数列的求和公式得答案．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}是等比数列，‎ ‎∴a2•a8=，‎ 又a2•a8=4a5，‎ ‎∴，‎ 解得a5=4．‎ ‎∴b4+b6=a5=4．‎ ‎∵数列{bn}是等差数列，‎ ‎∴数列{bn}的前9项和S9==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．数列1，2，3，4…前n项的和为（　　）‎ A． + B．﹣++1‎ C．﹣+ D．﹣+‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】利用分组求和法求解．‎ ‎【解答】解：数列1，2，2，4…前n项的和：‎ S=（1+2+3+4+…+n）+（）‎ ‎=‎ ‎=﹣++1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．已知f′（x）是f（x）的导数，且y=xf′（x）的图象如图所示，则下列关于f（x）说法正确的是（　　）‎ A．在（﹣∞，0）上是增函数 B．在（﹣1，1）上是增函数 C．在（﹣1，0）上是增函数 D．在（1，+∞）上是减函数 ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】结合图象求出函数的单调区间即可．‎ ‎【解答】解：结合图象：x∈（﹣∞，﹣1）时，xf′（x）＜0，故f′（x）＞0，‎ x∈（﹣1，0）时，xf′（x）＞0，故f′（x）＜0，‎ x∈（0，1）时，xf′（x）＞0，故f′（x）＞0，‎ x∈（1，+∞）时，xf′（x）＜0，故f′（x）＜0，‎ 故f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，0）递减，在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．已知点F为抛物线y 2=﹣8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|=4，则|PA|+|PO|的最小值为（　　）‎ A．6 B． C． D．4+2‎ ‎【考点】抛物线的定义．‎ ‎【分析】利用抛物线的定义由|AF|=4得到A到准线的距离为4，即可求出点A的坐标，根据：“|PA|+|PO|”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值．‎ ‎【解答】解：∵|AF|=4，由抛物线的定义得，‎ ‎∴A到准线的距离为4，即A点的横坐标为﹣2，‎ 又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（﹣2，4）；‎ 坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（4，0）‎ 则|PA|+|PO|的最小值为：‎ ‎|AB|==‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．已知F1，F2为椭圆+=1（a＞b＞‎ ‎0）的左、右焦点，以原点O为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为A，B，若△ABF1为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）‎ A．﹣1 B．﹣1 C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由△ABF1为等边三角形，及椭圆的对称性可得：∠AF1F2=30°，又∠F1AF2=90°，可得AF2，AF1，利用椭圆的定义可得：c+=2a，即可得出．‎ ‎【解答】解：由△ABF1为等边三角形，及椭圆的对称性可得：∠AF1F2=30°，‎ 又∠F1AF2=90°，‎ ‎∴AF2=c，AF1=c，‎ ‎∴c+=2a，可得==﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．设函数f（x）（x∈R）的导函数为f′（x），满足f′（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）与eaf（0）的大小关系为（　　）‎ A．f（a）＞eaf（0） B．f（a）＜eaf（0） C．f（a）=eaf（0） D．不能确定 ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】构造函数g（x）=，利用导数研究其单调性，注意到已知f'（x）＞f（x），可得g（x）为单调增函数，最后由a＞0，代入函数解析式即可得答案．‎ ‎【解答】解：设g（x）=，‎ ‎∵f'（x）＞f（x），‎ ‎∴g′（x）=＞0‎ ‎∴函数g（x）为R上的增函数 ‎∵a＞0‎ ‎∴g（a）＞g（0）‎ 即＞∴f（a）＞eaf（0）‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知圆的方程为x2+y2=4，若抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】设出切线方程，表示出圆心到切线的距离求得a和b的关系，设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A，B到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后求得x和y的关系式．‎ ‎【解答】解：设切点为（a，b），∴a2+b2=4，则切线为：ax+by﹣4=0‎ 设焦点（x，y），由抛物线定义可得：（x﹣1）2+y2= …①，‎ ‎（x+1）2+y2 = …②，‎ 消去a得：故抛物线的焦点轨迹方程为（y≠0）‎ ‎（依题意焦点不能与A，B共线∴y≠0．）‎ 故抛物线的焦点轨迹方程为 故选C ‎　‎ ‎12．椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），若该椭圆C与直线x+y﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据，可得a越小e越大而椭圆与直线相切时a最小，将直线方程与椭圆方程联立，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，c=1，‎ ‎∴，‎ ‎∴a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a最小 设椭圆为，把直线x+y﹣3=0代入，化简整理可得（2m﹣1）x2+6mx+10m﹣m2=0‎ ‎ 由△=0，解得：m=5，‎ 于是a=，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：（每题5分，满分20分）‎ ‎13．数列{an}的通项公式，其前n项和时Sn=9，则n等于　99　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】根据题意，数列的通项公式可转化an=﹣，进而可得Sn=（﹣）﹣（﹣）+…+（﹣1）=﹣1，已知Sn=9，即﹣1=9，解可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意， =﹣，‎ 则Sn=（﹣）﹣（﹣）+…+（﹣1）=﹣1，‎ 若Sn=9，即﹣1=9，‎ 解可得n=99；‎ 故答案为99．‎ ‎　‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，已知△‎ ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=　　．‎ ‎【考点】椭圆的定义；正弦定理．‎ ‎【分析】先利用椭圆的定义求得a+c，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案．‎ ‎【解答】解：利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8‎ 由正弦定理得=‎ 故答案为 ‎　‎ ‎15．若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=　64　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出y′，然后把x=a代入y′即可求出切线的斜率，根据斜率和点写出切线的方程，分别令x=0和y=0求出与坐标轴的截距，然后根据三角形的面积公式表示出面积让其等于18得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．‎ ‎【解答】解：，切线方程是，‎ 令x=0，，令y=0，x=3a，‎ ‎∴三角形的面积是，‎ 解得a=64‎ 故答案为：64‎ ‎　‎ ‎16．已知E，F为双曲线的左右焦点，抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于不同的两点A，B，若，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义求出|BE|=10a，|BF|=8a，结合抛物线的定义求出交点B的纵坐标，结合直角三角形的边角关系建立方程进行求解即可．‎ ‎【解答】解：根据双曲线和抛物线的对称性得|BF|=|AF|=|BE|，‎ ‎∵|BE|﹣|BF|=2a，‎ ‎∴|BE|﹣|BE|=|BE|=2a，‎ 则|BE|=10a，|BF|=8a，‎ ‎∵抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，‎ ‎∴=c，且x=﹣c是抛物线的准线，‎ 则|BD|=|BF|=8a，‎ 设B（x，y），则由抛物线的性质得x+c=8a，即x=8a﹣c，‎ 代入抛物线方程y2=2px=4cx得y2=4c（8a﹣c），‎ 则|DE|2=y2=4c（8a﹣c），‎ 在直角三角形BDE中，‎ BE2=DE2+BD2，‎ 即100a2=64a2+4c（8a﹣c），‎ 即36a2﹣32ac+4c2=0，‎ 即c2﹣8ac+9a2=0，‎ 解e2﹣8e+9=0，‎ 得e=，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．若数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+an=2n，求an以及Sn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】推导出2an﹣an﹣1=2，n≥2，从而数列{an﹣2}以﹣1为首项，为公比的等比数列，由此能求出结果．‎ ‎【解答】（本小题满分10分）‎ 解：∵Sn+an=2n，①‎ ‎∴Sn﹣1+an﹣1=2（n﹣1），n≥2②‎ 由①﹣②得，2an﹣an﹣1=2，n≥2，…‎ ‎∴2（an﹣2）=an﹣1﹣2，n≥2，‎ ‎∵a1﹣2=﹣1，‎ ‎∴数列{an﹣2}以﹣1为首项，为公比的等比数列．…‎ ‎∴，∴，…‎ ‎∵Sn+an=2n，∴…．‎ ‎　‎ ‎18．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）先对函数进行求导，然后根据f（2）=﹣．f'（2）=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．‎ ‎（2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2﹣b 由题意；，解得，‎ ‎∴所求的解析式为 ‎（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）‎ 令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，‎ ‎∴当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0‎ 因此，当x=﹣2时，f（x）有极大值，‎ 当x=2时，f（x）有极小值，‎ ‎∴函数的图象大致如图．‎ 由图可知：．‎ ‎　‎ ‎19．已知数列{an}的前n项和为，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1（n≥2）．‎ ‎（I）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（II）令，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（I）n≥2时，Sn﹣1=3（n﹣1）2+8（n﹣1），an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=5，不满足an=6n+5，即可求得数列{an}通项公式，an=bn+bn+1，n≥2，an﹣1=bn﹣1+bn，n≥3，an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．即可求得d的值，a2=b2+b3，求得b2=7，根据等差数列的性质，即可求得数列；‎ ‎（II）令=3（n+1）•2n，采用“错位相减法”即可求得数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，‎ ‎∴n≥2时，Sn﹣1=3（n﹣1）2+8（n﹣1），‎ an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，‎ n=1时，a1=S1=5，不满足an=6n+5，‎ ‎∴；…‎ 设{bn}公差为d，an=bn+bn+1，n≥2‎ ‎∴an﹣1=bn﹣1+bn，n≥3‎ ‎∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．‎ ‎∴2d=6，‎ ‎∴d=3，‎ ‎∵a2=b2+b3，‎ ‎∴17=2b21+3，‎ ‎∴b2=7，‎ ‎∴bn=3n+1；…‎ ‎（Ⅱ）cn=3（n+1）•2n，‎ ‎∴Tn=3[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，‎ ‎∴2Tn=3[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，‎ ‎①﹣②可得﹣Tn=3[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]‎ ‎=6+3×﹣63（n+1）•2n+1，‎ ‎=（﹣3n）•2n+1‎ ‎∴Tn=3n•2n+1．‎ 数列{cn}的前n项和Tn，Tn=3n•2n+1．…‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆的离心率为，焦距为，抛物线的焦点F是椭圆C1的顶点．‎ ‎（I）求C1与C2′的标准方程；‎ ‎（II）已知直线y=kx+m与C2相切，与C1交于P，Q两点，且满足∠PFQ=90°，求k的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用椭圆的焦距，离心率求出a，c，b．即可得到椭圆C1的方程．利用抛物线的开口方向，焦点坐标求出抛物线方程．‎ ‎（2）联立直线与抛物线方程，得到m与k的方程，直线与椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理以及向量的数量积，转化求解方程组即可得到结果．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，‎ 椭圆的离心率为，‎ ‎∴，‎ 解得，b=1，故椭圆C1的标准方程为．…‎ 又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，‎ ‎∴F（0，1），∴p=2，‎ 故抛物线C2的标准方程为x2=4y．…‎ ‎（II）由，得x2﹣4kx﹣4m=0‎ 则△=16k2+16m=0，即k2+m=0①…‎ 由，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0‎ 则△=36k2﹣4（1+3k2）（3m2﹣3）=12（3k2﹣m2+1）＞0②‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 则所以…‎ 又∠PFQ=90°‎ ‎∴‎ 即 ‎∴2m2﹣m﹣1=0，解得m=1或，…‎ 代入①可得，此时满足②‎ 故…‎ ‎　‎ ‎21．已知f（x）=lnx﹣（a∈R）．‎ ‎（1）若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线平行于直线x+y=0，求a的值；‎ ‎（2）讨论函数f（x）在定义域上的单调性；‎ ‎（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，通过f′（1）=﹣1，求出a的值即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（3）结合（2）通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，得到故a的方程，解出即可．‎ ‎【解答】解（1）…‎ 由题意可知f'（1）=1+a=﹣1，故a=﹣2…‎ ‎（2）‎ 当a≥0时，因为x＞0，∴f'（x）＞0，‎ 故f（x）在（0，+∞）为增函数；…‎ 当a＜0时，由；‎ 由，‎ 所以增区间为（﹣a，+∞），减区间为（0，﹣a），…‎ 综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）为增函数；‎ 当a＜0时，f（x）的减区间为（0，﹣a），增区间为（﹣a，+∞）．…‎ ‎（3）由（2）可知，当a≥0时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，‎ 故有，所以不合题意，舍去．…‎ 当a＜0时，f（x）的减区间为（0，﹣a），增区间为（﹣a，+∞）．‎ 若﹣a＞e，即a＜﹣e，则函数f（x）在[1，e]上单调递减，‎ 则，∴不合题意，舍去．…‎ 若﹣a＜1，即﹣1＜a＜0时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，‎ ‎，所以不合题意，舍去．…‎ 若时，x＞100，‎ 解得，‎ 综上所述，．…‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆的短轴长等于焦距，长轴长为等于圆R：x2+（y﹣2）2=4的直径，过点P（0，1）的直线l与椭圆C交于两点A，B，与圆R交于两点M，N ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）求|AB|•|MN|的取值范围．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）根据已知条件，得出b=c，由圆的直径得出2a．进而得基本参数a，b，c．‎ ‎（2）直线与圆位置关系，构造直角三角形用勾股关系求得|MN|，直线与椭圆采用设而不求法，根据韦达定理求得弦长|AB|，都转化为关于斜率k的函数求取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C长轴长等于圆R：x2+（y﹣2）2=4的直径，‎ 所以2a=4，a=2；又2b=2c，‎ 所以，‎ 所以椭圆C的方程为；…‎ ‎（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，|AB|=2，|MN|=4，|AB|•|MN|=8；…‎ 当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，与联立，‎ 消去y，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0；‎ 由△＞0，可得k∈R…‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x2=，x1x2=，‎ ‎|AB|=•|x1﹣x2|=•‎ ‎=•‎ ‎=•，…‎ ‎|MN|=2=2，…‎ 所以|AB|•|MN|=••2‎ ‎=4•‎ ‎=‎ 综上，|AB|•|MN|的取值范围是[4，8]．…12‎ ‎　‎