2017-2018学年山东省济宁市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

2017-2018学年山东省济宁市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 山东省济宁市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用复数的运算法则即可得出．‎ 详解：复数，故选A.‎ 点睛：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．‎ ‎2．用数学归纳法证明 （）时，从向过渡时，等式左边应增添的项是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据式子的结构特征，求出当n=k时，等式的左边，再求出n=k+1 时，等式的左边，比较可得所求．‎ 详解：当n=k时，等式的左边为，当n=k+1 时，等式的左边为，故从“n=k到n=k+1”，左边所要添加的项是，故选D.‎ 点睛：本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1‎ 项的变化．‎ ‎3．在复平面内，若复数和对应的点分别是和，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据复数的坐标表示可得：然后计算即可.‎ 详解：由题可得，故=，故选A.‎ 点睛：考查复数的坐标表示和乘法运算，属于基础题.‎ ‎4．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过动点，法向量为的直线的点法式方程为，化简得，类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的点法式方程应为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据所给定义类比写表达式即可.‎ 详解：由题可得经过点，且法向量为的平面的点法式方程应为：，化简得，故选B.‎ 点睛：考查推理证明的类比法，根据定义可直接得出答案，属于基础题.‎ ‎5．若函数，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先分析函数的单调性和定义域，再根据单调性解不等式即可得出结论.‎ 详解：由函数，因为lnx是在定义域内单调递增，在也为增函数故函数在为增函数，所以只需：得,故选C.‎ 点睛：考查函数的单调性，对题意的正确理解，转化为比较问题括号变量的大小关系是解题关键，属于一般题.‎ ‎6．抛物线在点处切线的倾斜角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先根据点在第一象限得到表达式，然后求导根据切线方程的求法即可得出结论.‎ 详解：由题可得，，故切线的斜率为倾斜角是，故选A.‎ 点睛：考查切线方程的斜率求法，对借助导数求切线方程的熟练是解题关键，属于基础题.‎ ‎7．直线与曲线围成的封闭图形的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据题意画出草图，再结合定积分求解即可.‎ 详解：如图所示：有定积分的几何意义和图形对称性可得阴影区域面积为：，故选B.‎ 点睛：考查定积分的应用，能画出草图写出计算表达式是关键，属于基础题.‎ ‎8．函数的图象大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：可先根据奇偶性排除选项，在结合特殊值即可得出结论.‎ 详解：首先函数的定义域关于原点对称，然后由得出函数为奇函数，故排除A,B，再令x=π得，故排除D，选C.‎ 点睛： 考查函数的图像识别，通常根据奇偶性和特殊值，单调性来逐一排除得出答案.‎ ‎9．若函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先根据导函数求出原函数的单调区间，再结合极值点的取值限制函数图像的走势，从而得出结论 详解：由题得：令，故得函数在单调递增，在单调递减，故要想使函数图像不经过第三象限，故只需故选D.‎ 点睛：考查导函数的应用，借助导函数求出单调区间，再结合条件找出是解题关键.‎ ‎10．“”是个很神奇的数，对其进行如下计算：，，，，，如此反复运算，则第次运算的结果是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题可得要计算第次故需先找出运算周期，然后根据周期即可计算出结论.‎ 详解：进行如下计算：，，，，，故周期为8，故第次计算结果为第2次计算结果为4，故选A.‎ 点睛：本题考查合情推理，考查学生的阅读能力，解题的关键是得出操作结果，以8‎ 为周期，循环出现．‎ ‎11．若正数，满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：可先将问题变形为：，再结合‘1’的用法的基本不等式即可解决.‎ 详解：由题可得：，‎ 点睛：考查基本不等式的运用，对原式得正确变形和结合‘1’的用法解题是本题关键，属于中档题.‎ ‎12．已知函数的零点为，，且，那么下列关系一定不成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：可先分析函数的单调性，然后结合草图即可得出结论.‎ 详解：由题可得：定义域为：，令当x>0时>0恒成立，故f（x）在单调递增，又函数的零点为，故为唯一零点，再由，且，可得两种情况： ，故A、B正确，或 故C正确，故选D.‎ 点睛：考查导函数得单调性求法，考查学生对函数的分析能力和数形结合能力，能正确分析原函数的单调性是解题关键，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．若复数为纯虚数，则实数__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】分析：根据纯虚数的条件可得出等式，解出即可.‎ 详解：由题可得 ，故答案为3.‎ 点睛：考查复数的分类，属于基础题.‎ ‎14．济宁市2018年中考有所高中招生，如果甲、乙、丙名同学恰好被其中的所学校录取，那么不同录取结果的种数为__________．‎ ‎【答案】270‎ ‎【解析】分析：解决这个问题得分两步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从10所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解 详解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分两步完成， 第一步把三个学生分成两组， 第二步从10所学校中取两个学校，把学生分到两个学校中，共有C31C22A102=270． 故答案为：270．‎ 点睛：本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成两步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．‎ ‎15．若方程恰有一个实数解，则实数的取值集合为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先分离参数，然后结合xlnx的单调性和草图即可得出结论.‎ 详解：令令，有定义域可得f（x）在递减，递增，如图：，故只有一解得：得，故答案为 点睛：考查导函数的应用，考查方程根的个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎16．若函数的值域为，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题可得只需能取遍所有正数，即最小值小于等于0．利用导数求出函数的单调区间，可得函数的最小值，再解不等式，解得a的范围．‎ 详解： 欲使函数的值域为R，只需能取遍所有正数，即最小值小于等于0．令，所以f（x）在递增，在递减，故 故答案为.‎ 点睛：本题主要考查复合函数的单调性和值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数在处取得极小值，求的极大值.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】分析：由题可得1是极值点故1是导函数的解.而 ，由，解得或.从而可求得c，即可得出f（x）的极大值.‎ 详解：因为，所以 ，由，解得或.依题意，1是的较大零点，所以，所以当时，取得极大值.‎ 点睛：考查导函数得极值点和极值的判断，对题意的正确理解和计算正确是解题关键，属于基础题.‎ ‎18．已知，求证：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）与至少有一个大于.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）分析法证明，要证，只需证 ‎.继续往下推理即可（2）反证法：假设且，则，借助基本不等式找出矛盾即可.‎ 详解：‎ 证明：（1）因为，所以和都是正数，‎ 所以要证，只需证.只需证，只需证，只需证，只需证.‎ 因为成立，所以.‎ ‎（2）证法一：假设且，则 又因为，所以，这与矛盾.‎ 所以与至少有一个大于.‎ 证法二：因为，所以，‎ 所以，‎ 所以 而与的大小关系不确定，所以与至少有一个大于.‎ 点睛：考查推理证明的中的直接证明、间接证明以及基本不等式的应用，属于一般题.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设，求函数在区间上的最大值.‎ ‎【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）求单调区间根据导函数大于零和小于零的解集即为单调增减区间；（2）求函数的最大值，先讨论函数的单调性，然后根据单调性确定最值点即可，注意分类讨论.‎ 详解：‎ ‎（1），由，解得；由，解得.‎ 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）由（1）可知：‎ ‎①当时，，在上是增函数，所以此时；‎ ‎②当时，，在处取得极大值，也是它的最大值，所以此时；‎ ‎③当时，在上是减函数，所以此时.‎ 综上，函数在区间上的最大值；‎ 当时，为；当时，为；当时，为.‎ 点睛：考查导数在函数中的单调性和最值应用，属于导函数中比较常规的题型问题，注意分类讨论的完整性为关键.‎ ‎20．某人用一网箱饲养中华鲟，研究表明：一个饲养周期，该网箱中华鲟的产量（单位：百千克）与购买饲料费用（）（单位：百元）满足：.另外，饲养过程中还需投入其它费用.若中华鲟的市场价格为元/千克，全部售完后，获得利润元.‎ ‎（1）求关于的函数关系式；‎ ‎（2）当为何值时，利润最大，最大利润是多少元？‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)当时，利润最大，最大利润是元.‎ ‎【解析】分析：（1）根据利润=收入-成本的计算公式即可得出表达式；（2）借助导数分析函数单调性然后确定最值点即可.‎ ‎（1）依题意，可得，.‎ ‎（2） ，由，解得（舍）或.‎ 当时，，所以利润函数在上是增函数；当时，，所以利润函数在上是减函数.‎ 所以当时，取得极大值，也是最大值，最大值为 所以当时，利润最大，最大利润是元.‎ 点睛：考查函数的实际应用，导函数求最值的应用，对表达式的正确书写是本题关键，属于基础题.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若，，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：（1）求切线方程，先求导，然后代入切点横坐标得到斜率即可得出切线方程；（2）分析题意可先分离参数得到，然后分析函数的单调性只需求出其最大值即可得a的取值范围.‎ ‎（1）当时，，所以，所以切线的斜率.又因为，所以切线方程为，整理得.‎ ‎（2）因为函数的定义域是，即为，可化为.设，依题意，.‎ ‎，令，易知它在上是减函数，又因为，所以当时，，，所以在上是增函数；当时，，‎ ‎，所以在上是减函数.‎ 所以在处取得极大值，也是最大值，所以，所以.‎ 所以的取值范围是.‎ 点睛：考查导数的几何意义，切线方程的求法、分离参数求导函数最值解决恒成立问题，属于常规题.‎ ‎22．设函数有两个零点，，且.‎ ‎（1）求的求值范围；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）要保证函数有两个不同的零点，，可分析函数的单调性然后根据题意找出两个不同两点所对应的条件即可，对单调性的讨论，注意a的影响；（2）由（1）可知，，是方程（）的两个不等实根，也是方程的两个不等实根，也是函数的两个零点，且，故再构造函数，只需分析出单调性即可得证.‎ ‎（1）解法一：.‎ ‎①当时，，在上是增函数，不可能有两个零点.‎ ‎②当时，由 ，解得，所以 若，则，所以在上是减函数；若，则，所以在上是增函数.所以当时，取得极小值，也是它的最小值.‎ ‎ .‎ 因为，，所以若使有两个零点，只需，解得.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ 解法二：题意方程有两个不等实根，易知其中，所以题意方程有两个不等实根函数与的图象有两个不同的公共点.‎ 设，则，所以当或时，，所以在和上是减函数；当，，所以在上是增函数，所以当时，取得极小值.‎ 又因为，，，，在同一坐标系中分别画出函数与的图象，如图所示，观察图形可知当时，二者有两个不同的公共点.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎（2）证明：由（1）可知，，是方程（）的两个不等实根，也是方程的两个不等实根，也是函数的两个零点，且.‎ 因为，所以当时，，所以在上是减函数；当时，，所以在上是增函数.‎ 设，则 ，所以当时，‎ ‎，所以在上是减函数，所以 ，即，即，即.‎ 又因为，所以，所以.‎ 点睛：考查导函数的应用，对于零点问题可理解为方程的根的个数或者图像与x轴交点的个数，通常零点问题多进行数形结合思维，对于不等式证明问题，首先要将问题分析清楚，通过对函数的构造和单调性分析进行结合即可得出，属于难题.‎