空间中直线与直线之间的位置关系2

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空间中直线与直线之间的位置关系2

‎ ‎ 空间中直线与直线之间的位置关系 教学设计 授课人:马远彪 霍邱二中 2008 11 25‎ 9‎ 9‎ ‎ ‎ 课题:2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 教学目标:‎ 一、 知识与技能 1、 掌握空间两条直线的位置关系,理解异面直线的概念 ,进一步培养学生的空间想象力。‎ 2、 理解并掌握公理4,并能运用它解决一些简单的几何问题。‎ 二、 过程与方法:‎ ‎ 讲授法、自主发现、探究实践 三、 情感态度与价值观:‎ ‎ 通过对空间直线间不同位置关系的理解、运用和展示,体会数学世界的美妙,培养学生的美学意识。‎ 教学重点:‎ 异面直线的概念、公理4‎ 教学难点:‎ 异面直线的概念 教具准备:‎ 1、 立体几何模型 2、 投影机 教学过程:‎ ‎(一)、创设情境,引入新课 ‎ 前面我们学习了平面的基本性质及其简单的应用——‎ 9‎ 9‎ ‎ ‎ 共面问题、点共线问题、线共点问题的证明,明确了这些问题证明的思路、方法和步骤,这些内容是立体几何的基础,应予以足够的重视,这一节课我们来学习空间直线的位置关系(板书课题)‎ ‎(二)新课 ‎1、问题探究 问题1:同一平面内两条直线有几种位置关系?‎ ① 相交直线——有且仅有一个公共点 ② 平行直线——在同一平面内,没有公共点 问题2:空间中的两条直线又有怎样的位置关系呢?‎ ‎ 观察教室内日光灯管所在直线与黑板的左右侧所在的直线;天安门广场上旗杆所在的直线与长安街所在的直线,南京万泉河立交桥的两条公路所在的直线,它们的共同特征是什么?‎ 共同特征是:既不相交,也不共面,即不在同一个平面内。‎ 思考:如下图,长方体ABCD-A′B′C′D′中,线段AB′所在直线与线段CC′所在直线的位置关系如何?‎ A B A’‎ B’‎ C’‎ D’′′′′‎ C D 通过观察思考后发现:直线AB’与直线CC’既不平行也不相交,还不共面。即不在同一平面内。‎ ‎2、归纳总结 ,形成概念 9‎ 9‎ ‎ ‎ 我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。‎ 空间中两条直线的位置关系有三种:‎ 共面直线 相交直线:‎ 同一平面内,有且只有 一个公共点。‎ 平行直线:‎ 同一平面内,没有公共点。‎ 异面直线:‎ 不同在任何一个平面内 ,没有公共点。‎ 为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托。‎ a b b α ‎ β a b ‎3、初步运用,示例练习 如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对?(答案:3对)‎ 9‎ 9‎ ‎ ‎ E H F(B)‎ D A G(C)‎ A F E G H B C D ‎4、平行直线(板书)‎ 问题3:在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线有什么位置关系?空间中平行于同一直线的两条直线又有怎样的位置关系?‎ 在初中几何里我们已经知道:在同一平面内,平行于同一条直线的两条直线平行 ,在空间这样的规律也是成立的,我们把这个规律作为本章的第四个公理。‎ 公理四:‎ ‎ 平行于同一条直线的两条直线互相平行。‎ 用符号语言表示如下 设a,b,c是三条直线,‎ a∥b ‎ ‎ a∥c ‎ c∥b a,b,c三条直线两两平行,可以记为a ∥ b∥ c ‎ 这个公理实质上 就是说平行具有传递性,在平面内,在空间,这个性质都是不变的。‎ 9‎ 9‎ ‎ ‎ ‎5、观察感知,例题学习 投影:‎ 例题1:‎ 如下图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形。‎ G A E B F C D H 证明:‎ 连接BD,‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎∵EH是△ABD的中位线 ‎∴EH∥BD,且EH=-BD ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ 同理,FG ∥BD,且FG=—BD ‎∵EH∥FG,且EH=FG ‎∴四边形EFGH为平行四边形 变式练习:‎ ‎1‎ ‎3‎ CG CD C F CB 已知四边形ABCD是空间四边形,E,H,分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且— = — = —,求证:四边形EFGH有一组对边平行但不相等。‎ 9‎ 9‎ ‎ ‎ l 证明:‎ ‎ 连接BD,‎ ‎∵EH分别是AB,AD的中点 ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴EH是△ABD的中位线 ‎∴EH∥BD,EH= —BD ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎3‎ CG CD CF CB 又在△CBD中,— = — = —‎ ‎∴FG∥BD,FG= —BD 根据公理4,EH∥FG,又FG<EH ‎∴四边形EFGH的一组对边平行但不相等 例题2:‎ ‎1‎ ‎3‎ 如图,P是△ABC所在平面外一点,点D,E分别是△PAB和 △PBC的重心,‎ ‎ 求证:DE∥AC,DE= —AC 证明:‎ 连接PD,PE,并延长分别交AB,BC于点M,N ‎∵点D,E分别是△PAB, △PBC的重心 9‎ 9‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴M,N分别是AB,BC的中点 连接MN,则MN∥AC,且MN= —AC ①‎ 在△PMN中,‎ ‎2‎ ‎3‎ PD PM PE PN ‎∵ — = — = — ‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴DE ∥MN,且DE= —MN ②‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ 由①②根据公理4,得 DE∥AC,且DE= —MN= —AC 从以上两个例子的证明中可以看出,虽然都是空间问题 ,但是我们还是设法转化为平面问题来解决的 ,这是解决空间几何问题的一般方法,同学们要切实掌握这种转化思想。‎ 变式练习:1.一条直线与两条异面直线中的一条相交,那么它与另一条之间的位置关系是( ) (答案:D) ‎ A. 平行 B. 相交 C. 异面 ‎ D.可能相交、可能平行、可能异面 ‎ 2.已知a、b是异面直线,c∥a,那么c与b( ) (答案:C)‎ A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C. 不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 课本P48 练习1(1)(答案:3条)‎ ‎(三)、反思小结、能力提升 ‎1、空间两条直线的三种位置关系 ‎ 相交、平行、异面 ‎ ‎ 9‎ 9‎ ‎ ‎ ‎ 相交直线:同一平面内,只有一个公共点的两条直线 ‎ ‎2、共面直线 ‎ ‎ 平行直线:同一平面内,没有公共点的两条直线。‎ 不共面直线——异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线平行。‎ ‎ 3、公理四: 平行于同一条直线的两条直线平行。‎ ‎(四)、作业 课本P51 习题2.1 A组3,5(3)(6)‎ ‎ ‎ 9‎ 9‎
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