黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

铁人中学2019-2020学年高二上期中考试数学（文）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 函数y=（2x+1）2的导数为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知曲线y=2x3+3x上一点A（1，5），则A处的切线斜率等于（　　）‎ A. 9 B. ‎1 ‎C. 3 D. 2‎ 3. 命题“∀x＞0，都有x2-x≤‎0”‎的否定是（　　）‎ A. ,使得 B. ,使得 C. ,都有 D. ,都有 4. 双曲线-y2=1的渐近线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 设函数f（x）在x=1处存在导数，则=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）‎ A. B. C. D. ‎ 7. f（x）=x3-3x2+2在区间[-1，1]上的最大值是（　　）‎ A. B. 0 C. 2 D. 4‎ 8. 函数f（x）=（x3-1）2+2的极值点是（　　）‎ A. B. C. 或1 D. 或0‎ 9. 抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点（-5，2）在抛物线上，则抛物线的方程为（　　）‎ A. B. C. D. 或 10. 若函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）上单调递增，则k的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 11. 下列说法错误的是（　　）‎ A. 命题“若,则”的逆否命题为：“若,则” B. “”是“”的充分而不必要条件 C. 若p且q为假命题,则p、q均为假命题 D. 命题p：“存在,使得”,则非p：“任意,均有”‎ 1. 已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 2. 已知双曲线的焦距为4，则a的值为______．‎ 3. 已知p：-4＜x-a＜4，q：2＜x＜3．若q是p的充分条件，则实数a的取值范围为______．‎ 4. 函数f（x）=lnx-x2的递减区间为______．‎ 5. 函数f（x）=ex-1-x3的图象在x=1处的切线方程是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 6. 求下列函数的导数． （1）f（x）=2x2+lnx+cosx； （2）f（x）=x3ex． ‎ 7. ‎（Ⅰ）已知某椭圆过点（，1），（-1，），求该椭圆的标准方程． （Ⅱ）求与双曲线-=1有共同的渐近线，经过点M（3，-2）的双曲线的标准方程． ‎ 1. 命题p：函数y=lg（-x2+4ax-3a2）（a＞0）有意义，命题q：实数x满足＜0． （1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． ‎ 2. 已知函数f（x）=xlnx+ax+b在（1，f（1））处的切线为2x-2y-1=0． （1）求实数a，b的值； （2）求f（x）的单调区间． ‎ 3. 己知椭圆的一个顶点坐标为（2，0），离心率为，直线y=x+m交椭圆于不同的两点A，B． （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）设点C（1，1），当△ABC的面积为1时，求实数m的值． ‎ 4. 已知函数． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）当a＞0时，在定义域内恒成立，求实数a的值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：根据题意，y=（2x+1）2=4x2+4x+1， 则y′=8x+4=4（2x+1）， 故选：D． 根据题意，由导数的计算公式分析可得答案． 本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：曲线y=2x3+3x，f′（x）=6x2+3， f′（1）=6+3=9， 故选：A． 求出函数的导数，计算f′（1）的值，即可得到A处的切线斜率． 本题考查了导数的应用，考查切线方程问题，是一道基础题． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：命题“∀x＞0，都有x2-x≤0”的否定是“∃x＞0，使得x2-x＞0” 故选：B． 全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x∈M，￢p（x）”． 所以全称命题“∀x＞0，都有x2-x≤0”的否定是特称命题“∃x＞0，使得x2-x＞0”． 本题考查全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定形式． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：双曲线-y2=1的渐近线方程为：x±2y=0． 故选：B． 通过双曲线的标准方程求解双曲线的渐近线方程即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵函数f（x）在x=1处存在导数， ∴==f′（1）． 故选：A． 利用极限概念直接求解． 本题考查函数的极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极限定义的合理运用． ‎ ‎6.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义与标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题. ​利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程． 【解答】‎ 解：∵△AF1B的周长为4， 且△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a， ∴4a=， ∴a=， ∵离心率为， ∴，解得c=1， ∴b==， ∴椭圆C的方程为+=1． 故选A．‎ ‎ 7.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查导数的定义及利用导数来求闭区间函数的最值，解题的关键是求导要精确． ​【解​答​】‎ 解：f'（x）=3x2-6x=3x（x-2）， 令f'（x）=0可得x=0或2（2舍去）， 当-1＜x＜0时，f'（x）＞0， 当0＜x＜1时，f'（x）＜0， ∴当x=0时，f（x）取得最大值为f（0）=2． 故选C. ‎ ‎ 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：f（x）=（x3-1）2+2=x6-2x3+1+2=x6-2x3+3，∴f′（x）=6x5-6x2=6x2（x3-1）=6x2（x-1）（x2+x+1），∵x2+x+1=（x+）2+＞0，∴f′（x）=0得x=0或x=1，如下表知：‎ ‎ x ‎ （-∞，0）‎ ‎ 0‎ ‎ （0，1）‎ ‎ 1‎ ‎ （1，+∞）‎ ‎ f′（x）‎ ‎-‎ ‎ 0‎ ‎-‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ f（x）‎ ‎ 递减 ‎ 递减 递增 故选：B． 用导数值等于零的解求极值点，但注意在解的左右区间符合必须不同才是极值点． 本题考查极值点的定义，属于简单题． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】解：根据题意，抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴， 设其方程为y2=mx， 又由抛物线经过点（-5，2），则有（2）2=m×（-5），解可得m=-4， 则抛物线的方程为y2=-4x； 故选：B． 根据题意，设要求抛物线的方程为y2=mx，将点点（-5，2）代入方程，计算可得m的值，即可得答案． 本题考查抛物线的标准方程，注意分析抛物线的开口方向，基础题． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：f′（x）=k-， ∵函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增， ∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立． ∴k≥， 而y=在区间（1，+∞）上单调递减， ∴k≥1． ∴k的取值范围是：[1，+∞）． 故选：C． 求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可． 本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：A、命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2-3x+2≠0”，命题正确； B、当x＞1时，|x|＞1成立，当|x|＞1时，有x＞1或x＜-1，∴原命题正确； C、当p且q为假命题时，有p或q为假命题，或P、Q都是假命题，∴原命题错误； D、命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，命题正确． 故选：C． A中命题的逆否命题是条件与结论互换并且否定； ‎ B中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立； C中p且q为假命题时，则p或q为假命题，或P、Q都是假命题，即一假则假； D中非p是特称命题的否定． 本题考查了四种命题之间的关系，以及命题的否定，命题真假的判定等知识，是基础题． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：如图，取PF1的中点A，连接OA， ∴2=+，=， ∴+=， ∵， ∴•=0， ∴⊥， ∵， 不妨设|PF2|=m，则|PF1|=m， ∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m， ∴m=a=2（-1）a， ∵|F1F2|=2c， ∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3-2）， ∴=9-6=（-）2， ∴e=-， 故选：A． 如图，取PF1的中点A，连接OA，根据向量的加减的几何意义和三角形的中位线的性质以及（O为坐标原点，可得⊥，再根据椭圆的几何性质和勾股定理可得4c2=3×4a2（3-2），根据离心率公式计算即可． 本题考查了借助向量的加减的几何意义和向量的垂直，考查了椭圆的简单性质，属于中档题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由双曲线，得c2=a2+1， 即c=， 又焦距为4，∴，得a=， 又a＞0，∴a=． 故答案为：． 由双曲线方程求得c，再由焦距为4列式求得a值． 本题考查双曲线的简单性质，是基础的计算题． 14.【答案】[-1，6] ‎ ‎【解析】解：∵p：-4＜x-a＜4，即a-4＜x＜a+4， q：2＜x＜3‎ ‎． 若q是p的充分条件，则（2，3）⊆（a-4，a+4）， 则，即-1≤a≤6． ∴实数a的取值范围为[-1，6]． 故答案为：[-1，6]． 求解一元一次不等式化简p，再由q是p的充分条件得（2，3）⊆（a-4，a+4），转化为两集合端点值间的关系列不等式组求解． 本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查集合间的关系，是基础题． 15.【答案】（1，+∞） ‎ ‎【解析】解：∵定义域为（0，∞）， ∴f'（x）===； 令f'（x）＜0，∴x＞1； ∴f（x）的减区间为（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）． 根据利用导数判断函数单调性方法，首先求定义域，求导函数，f'（x）＜0即可得f（x）的单调减区间． 本题考查了利用导数求函数单调性的方法，注意先求定义域，属于基础题． 16.【答案】2x+y-2=0 ‎ ‎【解析】解：函数f（x）=ex-1-x3， 可得f′（x）=ex-1-3x2， f′（1）=-2，f（1）=0， 故切线方程是：y-0=-2（x-1）， 即2x+y-2=0， 故答案为：2x+y-2=0． 求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可． 本题考查了导数的应用，考查切线方程问题，是一道基础题． 17.【答案】解：（1）根据题意，f（x）=2x2+lnx+cosx，则f′（x）=（2x2）′+（lnx）′+（cosx）′=4x+-sinx， （2）f（x）=x3ex，则f′（x）=（x3）′ex+x3（ex）′=（3x2+x3）ex ‎ ‎【解析】（1）由导数的计算公式可得f′（x）=（2x2）′+（lnx）′+（cosx）′，进而计算可得答案； （2）由导数的乘法法则可得f′（x）=（x3）′ex+x3（ex）′，变形可得答案． 本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题． 18.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0，m≠n） ∴，解得m=，n=， ∴椭圆方程为=1． （Ⅱ）设双曲线方程为=λ， 代入点M（3，-2），解得λ=-2， ‎ ‎∴=-2， 故双曲线方程为=1． ‎ ‎【解析】本题考查椭圆方程、双曲线方程的求法，考查待定系数法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． （Ⅰ）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m＞0，n＞0，m≠n），利用待定系数法能求出椭圆方程． （Ⅱ）设双曲线方程为=λ，代入点M（3，-2），能求出双曲线方程． 19.【答案】解：（1）由-x2+4ax-3a2＞0，得x2-4ax+3a2＜0， 即（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0， 得a＜x＜3a，a＞0， 则p：a＜x＜3a，a＞0． 若a=1，则p：1＜x＜3， 由＜0，解得2＜x＜3． 即q：2＜x＜3． 若p∧q为真，则p，q同时为真， 即，解得2＜x＜3， ∴实数x的取值范围是（2，3）． （2）若q是p的充分不必要条件， ∴即（2，3）⫋（a，3a）． ∴，且3a=3，a=2不能同时成立， 解得1≤a≤2． ∴实数a的取值范围为[1，2]． ‎ ‎【解析】（1）由函数y=lg（-x2+4ax-3a2）（a＞0）有意义化简p，求解分式不等式化简q，再由p∧q为真，得p，q同时为真，取交集得答案； （2）由q是p的充分不必要条件，得（2，3）⫋（a，3a），再由两角和端点值间的关系列不等式组求解． 本题考查一元二次不等式及分式不等式的解法，考查充分必要条件的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题． 20.【答案】（1）依题意可得：2-2f（1）-1=0，即f（1）=， ∵f（x）=xlnx+ax+b， ∴f′（x）=lnx+a+1， 又∵函数f（x）在（1，f（1））处的切线为2x-2y-1=0，f（1）=， ∴， 解得：． （2）由（1）可得：f'（x）=1+lnx， 当x时，f'（x）≤0，f（x）单调递减； 当x时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， ‎ ‎∴f（x）的单调减区间为（0，），f（x）的单调增区间为（，+∞）． ‎ ‎【解析】（1）首先对f（x）求导，求出（1，f（1））点处的切线方程与2x-2y-1=0相等即可； （2）结合（1）然后利用导数求解函数的单调区间即可． 题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性的求法，以及计算能力 21.【答案】解：（I）∵a=2，=，b2=a2-c2，联立解得：a=2，c=，b2=1． ∴椭圆M的方程为：+y2=1． （II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：5x2+8mx+4m2-4=0， △=644m2-20（4m2-4）＞0，解得＜m． ∴x1+x2=-，x1x2=． |AB|==，点C到直线AB的距离d=． ∴S△ABC=|AB|•d=××=1． 解得m=∈（，）． ∴m=． ‎ ‎【解析】（I）由a=2，=，b2=a2-c2，联立解得：a，c，b2．可得椭圆M的方程． （II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立直线与椭圆方程化为：5x2+8mx+4m2-4=0，△＞0，把根与系数的关系代入|AB|==，点C到直线AB的距离d=．利用S△ABC=|AB|•d=1．解得m． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22.【答案】解：（Ⅰ）由题意，x＞0，f′（x）=， ①当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，f（x）单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间； ②当a＞0时，x∈，f′（x）＞0，x∈ f′（x）＜0，f（x）单调递增区间为，单调递减区间为； （Ⅱ）由（Ⅰ）知a＞0时，f（x）min=f（）=-aln 即a-alna-1≥0， 令f（a）=a-alna-1，f′（a）=1-（a×+lna）=-lna， 当a∈（0，1）时，f′（a）＞0，当a∈（1，+∞）时，f′（a）＜0， ∴当a=1时f（a）在a=1处取极大值，f（a）max=f（1）=0， ∴f（a）≤f（1），若使a-alna-1≥0，只能取a=1， 故，a=1 ‎ ‎【解析】（Ⅰ）先求导，利用导函数确定函数的单调区间； （Ⅱ）利用转化思想，当a＞0时，在定义域内恒成立，即a-alna-1≥0进而求解； （Ⅰ ‎）考查函数求导，分类讨论思想，利用导函数确定函数的单调区间； （Ⅱ）考查转化思想，将恒成立转化成函数的最值，进而利用导函数求解； ‎