【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册课件：10-3-1　频率的稳定性　10-3-2　随机模拟

【新教材】2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册课件：10-3-1　频率的稳定性　10-3-2　随机模拟

10 . 3 . 1 　 频率的稳定性 　 10 . 3 . 2 　 随机模拟 课标阐释 思维脉络 1 . 能借助具体掷硬币的试验来理解频率 f n ( A ) 与概率 P ( A ) 的关系 . ( 数学抽象、逻辑推理 ) 2 . 会利用 f n ( A ) 近似地求解一些事件的概率 P ( A ) . ( 数学运算 ) 3 . 了解随机数的含义及用于随机模拟的蒙特卡洛方法 . ( 数学抽象 ) 激趣诱思 知识点拨 投掷一枚质地均匀 , 形状规范的硬币 , 正面和反面出现的概率是一样的 , 都是 . 很多人会问 , 为什么正面和反面出现的概率是一样的 ? 显然 , 硬币是质地均匀 , 形状规范的 , 哪一面都不会比另一面有更多的出现机会 , 正面和反面出现的概率是一样的 , 这称为古典概型的对称性 , 体育比赛经常用到这个规律来决定谁开球 , 谁选场地 . 为了解释这个现象 , 在历史上 , 有很多人对这个问题进行过验证 , 从结果可以看出 , 激趣诱思 知识点拨 知识点一、随机事件的频率与概率的关系 大量试验表明 , 在任何确定次数的随机试验中 , 一个随机事件 A 发生的频率具有 随机性 . 一般地 , 随着试验次数 n 的增大 , 频率偏离概率的幅度会 缩小 , 即事件 A 发生的频率 f n ( A ) 会逐渐稳定于事件 A 发生的概率 P ( A ) . 我们称频率的这个性质为频率的 稳定性 . 因此可以用频率 f n ( A ) 估计概率 P ( A ) . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 对于频率与概率的区别和联系的剖析 (1) 频率本身是随机的 , 是一个变量 , 在试验前不能确定 , 做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同 . 比如 , 全班每个人都做了 10 次掷硬币的试验 , 但得到正面朝上的频率可以是不同的 . (2) 概率是一个确定的数 , 是客观存在的 , 与每次的试验无关 . 比如 , 若一个硬币是质地均匀的 , 则掷硬币出现正面朝上的概率是 0 . 5, 与做多少次试验无关 . (3) 频率是概率的近似值 , 随着试验次数的增加 , 频率会越来越接近于概率 . 在实际问题中 , 通常事件发生的概率未知 , 常用频率作为它的估计值 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 历史上曾有人做过抛掷一枚质地均匀的硬币的大量重复试验 , 结果如下表所示 :   在上述抛掷硬币的试验中 , 你会发现怎样的规律 ? 提示 : 当试验次数很多时 , 出现正面的比例在 0 . 5 附近摆动 . 抛掷次数 正面向上的次数 正面向上的比例 2 048 1 061 0.518 1 4 040 2 048 0.506 9 12 000 6 019 0.501 6 24 000 12 012 0.500 5 30 000 14 984 0.499 5 72 088 36 124 0.501 1 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 某射击运动员射击 20 次 , 恰有 18 次击中目标 , 则该运动员击中目标的频率是 　　　　　 .  解析 : 设击中目标为事件 A , 则 n= 20, n A = 18, 则 f 20 ( A ) = = 0 . 9 . 答案 : 0 . 9 (2) 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内打“ √ ” , 错误的打“ ×” . ① 频率是客观存在的 , 与试验次数无关 . ( 　　 ) ② 概率是随机的 , 在试验前不能确定 . ( 　　 ) ③ 随着试验次数的增加 , 频率一般会越来越接近概率 . ( 　　 ) 答案 : ① × 　 ② × 　 ③√ 激趣诱思 知识点拨 知识点二、随机模拟 1 . 随机数与伪随机数 (1) 例如我们要产生 0 ~ 9 之间的随机整数 , 像彩票摇奖那样 , 把 10 个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中 , 充分搅拌后摇出一个球 , 这个球上的号码就称为随机数 . (2) 计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数 , 具有周期性 ( 周期很长 ), 它们具有类似随机数的性质 . 因此 , 计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数 , 我们称它们为伪随机数 . 2 . 蒙特卡洛方法 利用计算器或计算机软件可以产生随机数 , 我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验 , 这种利用 随机模拟 解决问题的方法为蒙特卡洛方法 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 用频率估计概率 , 需要做大量的重复试验 , 有没有其他方法可以替代试验呢 ? 提示 : 因为利用计算器或计算机软件可以产生随机数 , 所以我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验 , 这样就可以快速地进行大量重复试验了 . 微练习 (1) 用抛质地均匀的硬币的方法可产生 　　　　　 个随机数 , 抛质地均匀的骰子可产生 　　　　　 个随机数 .  解析 : 抛硬币 , 用正面表示一个数 , 反面表示一个数 , 则可产生两个随机数 , 类似地 , 抛骰子可产生六个随机数 . 答案 : 2 　 6 激趣诱思 知识点拨 (2) 通过模拟试验 , 产生了 20 组随机数 : 6830 　 3013 　 7055 　 7430 　 7740 　 4422 　 7884 2604 　 3346 　 0952 　 6807 　 9706 　 5774 　 5725 6576 　 5929 　 9768 　 6071 　 9138 　 6754 如果恰有三个数在 1,2,3,4,5,6 中 , 表示恰有三次击中目标 , 则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为 　　　　　 .  解析 : 表示三次击中目标分别是 3013,2604,5725,6576,6754, 共 5 组数 , 而随机数总共 20 组 , 所以所求的概率约 为 = 25% . 答案 : 25% 激趣诱思 知识点拨 (3) 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内打 “ √ ”, 错误的打 “ × ” . ① 随机数是用计算机或计算器随便按键产生的数 . ( 　　 ) ② 用计算器或计算机产生的随机数是伪随机数 . ( 　　 ) ③ 不能用伪随机数估计概率 . ( 　　 ) 答案 : ① × 　 ② √ 　 ③ × 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 随机事件的频率与概率 例 1 近年来 , 某市为了促进生活垃圾的分类处理 , 将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类 , 并分别设置了相应的垃圾箱 . 为调查居民生活垃圾分类投放情况 , 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾 , 数据统计如下 ( 单位 : 吨 ):   “ 厨余垃圾 ” 箱 “ 可回收物 ” 箱 “ 其他垃圾 ” 箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率 ; (2) 试估计生活垃圾投放错误的概率 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 厨余垃圾投放正确的概率为 ( 2) 设生活垃圾投放错误为事件 A , 则 A 的概率为 “ 厨余垃圾 ” 箱里可回收物量和其他垃圾量、 “ 可回收物 ” 箱里厨余垃圾量和其他垃圾量、 “ 其他垃圾 ” 箱里厨余垃圾量和可回收物量的总和除以生活垃圾总量 , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 由统计定义求概率的一般步骤 : (1) 确定随机事件 A 的频率 n A ( n 为试验的总次数 ); (2) 由 f n ( A ) = 计算 频率 f n ( A ); (3) 由频率 f n ( A ) 估计概率 P ( A ) . 2 . 概率可看成频率在理论上的稳定值 , 从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小 . 概率是频率的科学抽象 , 当试验次数越来越多时频率向概率靠近 , 只要次数足够多 , 所得频率就近似地当作随机事件的概率 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 某质检员从一大批种子中抽取若干批 , 在同一条件下进行发芽试验 , 有关数据如下 : 种子粒数 100 200 500 1 000 3 000 5 000 发芽种子粒数 79 156 405 790 2 400 4 100 发芽频率             (1) 计算各批种子的发芽频率 , 填入上表 ; (2) 根据频率的稳定性估计种子发芽的概率 . 解 : (1) 发芽频率从左到右依次为 :0 . 79,0 . 78,0 . 81,0 . 79,0 . 80,0 . 82 . (2) 由 (1) 知 , 发芽频率逐渐稳定在 0 . 80, 因此可以估计种子发芽的概率为 0 . 80 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 随机数的产生 例 2 某校高一全年级 20 个班共 1 200 人 , 期中考试时如何把学生分配到 40 个考场去 ? 分析 用计算机产生的随机数给 1 200 名学生编号 , 把学生按分到的随机数从小到大排列 . 解 : (1) 按班级、学号顺序把学生档案输入计算机 ; (2) 用随机函数 RANDBETWEEN(1,1 200) 按顺序给每个学生一个随机数 ( 每人的都不同 ); (3) 使用计算机排序功能按随机数从小到大排列 , 即可得到考试号从 1 到 1 200 人的考试序号 . ( 注 :1 号应为 0001,2 号应为 0002, 用 0 补足位数 . 前面再加上有关信息号码即可 ) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 产生随机数的方法有抽签法、利用计算机或计算器产生随机数的随机模拟方法等 . 抽签法产生的随机数能保证机会均等 , 而计算器或计算机产生的随机数是伪随机数 , 不能保证等可能性 , 但是后者较前者速度快 , 操作简单 , 省时省力 . 2 . 用产生随机数的方法抽取样本要注意以下两点 :(1) 进行正确的编号 , 并且编号要连续 ;(2) 正确把握抽取的范围和容量 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 一体育代表队共有 21 名水平相当的运动员 , 现从中抽取 11 人参加某场比赛 , 其中运动员甲必须参加 . 写出利用随机数抽取的过程 . 解 : (1) 把除甲之外的 20 名运动员编号 , 号码为 1,2,3, … ,19,20; (2) 用计算器的随机函数 RANDBETWEEN(1,20) 产生 10 个 1 ~ 20 之间的整数值随机数 , 如果有重复 , 就重新产生一个 ; (3) 以上号码对应的 10 名运动员与甲运动员就是要抽取的对象 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用随机数求事件的概率 例 3 (2020 山东济南高一检测 ) 一个盒子中有除颜色外其他均相同的 5 个白球和 2 个黑球 , 用随机模拟法求下列事件的概率 : (1) 任取一球 , 得到白球 ; (2) 任取三球 , 都是白球 . 分析 将这 7 个球编号 , 产生 1 到 7 之间的整数值的随机数 . (1) 一个随机数看成一组即代表一次试验 ;(2) 每三个随机数看成一组即代表一次试验 . 统计组数和事件发生的次数即可 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 用 1,2,3,4,5 表示白球 ,6,7 表示黑球 . (1) 步骤 : ① 利用计算器或计算机产生 1 到 7 之间的整数随机数 , 每一个数一组 , 统计组数为 n ; ② 统计这 n 组数中小于 6 的组数 m ; ③ 则任取一球 , 得到白球的概率近似 为 (2) 步骤 : ① 利用计算器或计算机产生 1 到 7 之间的整数随机数 , 每三个数一组 ( 每组中数不重复 ), 统计组数为 n' ; ② 统计这 n' 组数中 , 每组三个数字均小于 6 的组数 m' ; ③ 则任取三球 , 都是白球的概率近似 为 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 用整数随机模拟试验估计古典概型的概率时 , 首先要确定整数随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果 . 可以从以下几个方面考虑 : (1) 试验的样本点的发生是等可能的 , 样本点总数就是产生随机数的范围 , 每组随机数字代表一个样本点 ; (2) 按比例确定表示各个结果的数字个数及总个数 ; (3) 产生的整数随机数的组数 n 越大 , 估计的概率准确性越高 ; (4) 这种用模拟试验来求概率的方法所得结果是不精确的 , 且每次模拟试验最终得到的概率值不一定是相同的 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 从甲、乙、丙、丁 4 人中 , 任选 3 人参加志愿者活动 , 请用随机模拟的方法估计甲被选中的概率 . 解 : 用 1,2,3,4 分别表示甲、乙、丙、丁四人 . 利用计算器或计算机产生 1 到 4 之间的随机数 , 每三个一组 , 每组中数不重复 , 得到 n 组数 , 统计这 n 组数中含有 1 的组数 m , 则估计甲被选中的概率 为 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 对频率与概率关系问题的多方位辨析 典例 1 某同学掷一枚硬币 10 次 , 共有 7 次反面向上 , 于是他指出 :“ 掷一枚硬币 , 出现反面向上的概率应为 0 . 7” . 你认为他的结论正确吗 ? 为什么 ? 解 : 不正确 , 掷一枚硬币 10 次 , 有 7 次反面向上 , 就此得出 “ 反面向上 ” 的概率为 0 . 7, 显然是对概率的统计性定义的曲解 . 因为概率是随机事件的本质属性 , 不随试验次数的改变而改变 , 用频率的稳定值估计概率时 , 要求试验的次数足够多 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 (1) 随机事件在一次试验中发生与否是随机的 , 但随机中含有规律性 , 而概率恰是其规律性在数量上的反映 , 概率是客观存在的 , 它与试验次数、哪一个具体的试验都没有关系 , 概率是一种可能性 , 往往通过频率估算一个随机事件发生的可能性 , 可以看作频率理论上的期望值 , 因此 , 可以用频率的趋向近似值来表示随机事件发生的概率 . (2) 概率定义中用频率的近似值刻画概率 , 要求试验次数足够多 , 即只有 “ 在相同条件下 , 随着试验次数的增加 , 随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定 ” 时 , 才用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小 , 即称为这一事件发生的概率的近似值 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 概率中的数据分析问题 典例 2 (2020 内蒙古赤峰二中高三一模 ) 袋子中有四张卡片 , 分别写有 “ 学、习、强、国 ” 四个字 , 有放回地从中任取一张卡片 , 将三次抽取后 “ 学 ”“ 习 ” 两个字都取到记为事件 A , 用随机模拟的方法估计事件 A 发生的概率 , 利用电脑随机产生整数 0,1,2,3 四个随机数 , 分别代表 “ 学、习、强、国 ” 这四个字 , 以每三个随机数为一组 , 表示取卡片三次的结果 , 经随机模拟产生了以下 18 组随机数 : 由此可以估计事件 A 发生的概率为 ( 　　 ) 232 321 210 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析 : 18 组随机数中 , 利用列举法求出事件 A 发生的随机数有 210,021,001,130,031,103, 共 6 个 , 估计事件 A 发生的概率 为 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 用随机模拟方法估计概率时 , 其准确程度取决于 ( 　　 ) A. 产生的随机数的大小 B. 产生的随机数的个数 C. 随机数对应的结果 D . 产生随机数的方法 解析 : 随机数容量越大 , 频率越接近概率 . 答案 : B 2 . 某人将一枚硬币连续抛掷了 10 次 , 正面朝上的情形出现了 6 次 , 则 ( 　　 ) A. 正面朝上的概率为 0 . 6 B. 正面朝上的频率为 0 . 6 C. 正面朝上的频率为 6 D. 正面朝上的概率接近于 0 . 6 解析 : 0 . 6 是正面朝上的频率不是概率 . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . ( 多选题 )(2020 全国高一课时练习 ) 给出下列四个说法 , 其中正确的有 ( 　　 ) A. 做 100 次抛硬币的试验 , 结果 51 次出现正面朝上 , 所以出现正面朝上的概率 是 B. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 C. 抛掷骰子 100 次 , 得点数是 1 的结果有 18 次 , 则出现 1 点的频率 是 D. 随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率 解析 : 对于 A, 混淆了频率与概率的区别 , 故 A 错误 ; 对于 B, 混淆了频率与概率的区别 , 故 B 错误 ; 对于 C, 抛掷骰子 100 次 , 得点数是 1 的结果有 18 次 , 则出现 1 点的频率 是 , 符合频率的定义 , 故 C 正确 ; 对于 D, 频率是概率的估计值 , 故 D 正确 . 答案 : CD 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 在用随机模拟方法解决 “ 盒中仅有 4 个白球和 5 个黑球 , 从中取 4 个 , 求取出 2 个白球 2 个黑球的概率 ” 问题时 , 可让计算机产生 1 ~ 9 的随机整数 , 并用 1 ~ 4 代表白球 , 用 5 ~ 9 代表黑球 . 因为是摸出 4 个球 , 所以每 4 个随机数作为一组 . 若得到的一组随机数为 “4678”, 则它代表的含义是 　　　　　　　　　　 .  解析 : 分析题意 , 易知数字 4 代表白球 , 数字 6,7,8 代表黑球 , 因此这组随机数的含义为摸出的 4 个球中 , 只有 1 个白球 . 答案 : 摸出的 4 个球中 , 只有 1 个白球 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管 1 000 支 , 该公司对这些灯管的使用寿命 ( 单位 :h) 进行了统计 , 统计结果如表所示 : (1) 将各组的频率填入表中 ; (2) 根据上述统计结果 , 估计灯管使用寿命不足 1 500 h 的概率 . 分组 [ 0,900 ) [900, 1 100) [1 100, 1 300) [1 300, 1 500) [1 500, 1 700) [1 700, 1 900) [1 900, +∞ ) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率               探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 频率依次填 0 . 048,0 . 121,0 . 208,0 . 223,0 . 193,0 . 165,0 . 042 . (2) 样本中使用寿命不足 1 500 h 的频数是 48 + 121 + 208 + 223 = 600, 所以样本中使用寿命不足 1 500 h 的频率 是 = 0 . 6, 即灯管使用寿命不足 1 500 h 的概率约为 0 . 6 .