【数学】2020届一轮复习人教版（理）第2章第4讲二次函数与幂函数学案

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第2章第4讲二次函数与幂函数学案

第4讲　二次函数与幂函数 ‎[考纲解读]　1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质，能利用二次函数、二次方程与二次不等式之间的关系解决简单问题．(重点、难点)‎ ‎2.掌握幂函数的图象和性质，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．(重点)‎ ‎[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2020年高考对二次函数可能会直接考查，也可能会与其他知识相结合进行考查，考查三个二次之间的关系、函数最值的求解、图象的判断等．在解答题中也可能会涉及二次函数．幂函数的考查常与其他知识结合，比较大小、图象及性质的应用为重点命题方向.‎ ‎1．二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式 ‎①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ ‎②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．‎ ‎③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．‎ ‎(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)‎ f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)‎ 图象 定义域 R R 续表 ‎2．幂函数 ‎(1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．‎ ‎(2)常见的5种幂函数的图象 ‎(3)常见的5种幂函数的性质 ‎1．概念辨析 ‎(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)‎ ‎(2)当α<0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．(　　)‎ ‎(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)‎ ‎(4)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．小题热身 ‎(1)若a<0，则‎0.5a,‎5a,‎0.2a的大小关系是(　　)‎ A．‎0.2a<‎5a<‎0.5a B．‎5a<‎0.5a<‎‎0.2a C．‎0.5a<‎0.2a<‎5a D．‎5a<‎0.2a<‎‎0.5a 答案　B 解析　因为a<0，所以函数y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，又因为0.2<0.5<5，所以‎0.2a>‎0.5a>‎5a，即‎5a<‎0.5a<‎0.2a.‎ ‎(2)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则函数的解析式为________．‎ 答案　f(x)＝x 解析　设f(x)＝xα，因为函数f(x)的图象过点(2，)，所以＝2α，即2＝2α ‎，所以α＝，所以f(x)＝x.‎ ‎(3)若二次函数y＝－2x2－4x＋t的图象的顶点在x轴上，则t的值是________．‎ 答案　－2‎ 解析　y＝－2x2－4x＋t＝－2(x2＋2x)＋t＝－2[(x＋1)2－1]＋t＝－2(x＋1)2＋2＋t.‎ 因为此函数的图象的顶点(－1,2＋t)在x轴上，所以2＋t＝0，所以t＝－2.‎ ‎(4)函数f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤3)的值域是________．‎ 答案　[－3,1]‎ 解析　因为f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，又因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－3，所以函数f(x)的值域为[－3,1]．‎ 题型 　幂函数的图象与性质 ‎1．已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)－f(1)＝(　　)‎ A．3 B．1－ C.－1 D．1‎ 答案　C 解析　设f(x)＝xα，因为函数f(x)的图象经过点(9,3)，所以3＝9α，解得α＝.所以f(x)＝x.所以f(2)－f(1)＝－1.‎ ‎2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)‎ A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c 答案　B 解析　观察图象联想y＝x2，y＝x，y＝x－1在第一象限内的图象，可知c<0，d<0,02d，所以c>d.‎ 综上知a>b>c>d.‎ ‎3．若(‎2m＋1) >(m2＋m－1) ，则实数m的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(－1,2) D. 答案　D 解析　因为函数y＝x在[0，＋∞)是增函数，‎ 且(‎2m＋1) >(m2＋m－1) ，‎ 所以解得≤m<2.‎ ‎1．求幂函数的解析式 幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．‎ ‎2．幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0,1时，幂函数y＝xα在第一象限内的图象特征：‎ α取值 α>1‎ ‎0<α<1‎ α<0‎ 图象 特殊点 过点(0,0)，(1,1)‎ 过点(0,0)，(1,1)‎ 过点(1,1)‎ 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减 举例 y＝x2‎ y＝x y＝x－1，‎ y＝x－ ‎3．幂函数单调性的应用 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2＋m－1)·x－‎5m－3为减函数，则实数m的值为(　　)‎ A．－2 B．1‎ C．1或－2 D．m≠ 答案　B 解析　由题意得解得m＝1.‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　)‎ A．b0的解集为{x|10的解集为(1,3)，‎ 设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，‎ 所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋‎4a)x＋‎3a.‎ 由方程f(x)＋‎6a＝0得ax2－(2＋‎4a)x＋‎9a＝0.‎ 因为方程有两个相等的实数根，‎ 所以Δ＝[－(2＋‎4a)]2－‎4a·‎9a＝0，‎ 解得a＝1或a＝－.由于a<0，舍去a＝1.‎ 所以f(x)＝－x2－x－.‎ 题型 　二次函数的图象与性质 角度1　二次函数的图象 ‎1．(2019·重庆五中模拟)一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　)‎ 答案　C 解析　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，故排除B，选C.‎ 角度2　二次函数的单调性 ‎2．(2019·河南中原名校联考)已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　因为函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，‎ 当a≠0时，a须满足 解得0f(‎2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－)‎ B．(－，0)‎ C．(－∞，0)∪(，＋∞)‎ D．(－∞，－)∪(，＋∞)‎ ‎(2)当x∈(1,3)时，若不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．‎ 答案　(1)A　(2)(－∞，－5]‎ 解析　(1)当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x3，∴f(x)＝x3(x∈R)，易知f(x)在R上是增函数，结合f(－4t)>f(‎2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>‎2m＋mt2对任意实数t恒成立，即mt2＋4t＋‎2m<0对任意实数t恒成立，故有解得m∈(－∞，－)．‎ ‎(2)设f(x)＝x2＋mx＋4.‎ 因为x∈(1,3)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，‎ 所以即 解得m≤－5，‎ 所以m的取值范围是(－∞，－5]．‎ ‎1．识别二次函数图象应学会“三看”‎ ‎2．研究二次函数单调性的思路 ‎(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．‎ ‎(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆，即区间A一定在函数图象对称轴的左侧(右侧)．如举例说明2.‎ ‎3．二次函数最值问题的解法 抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．如举例说明3.‎ ‎4．与二次函数有关的不等式恒成立的条件 ‎(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 ‎(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是如举例说明4(1)．‎ ‎(3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.‎ ‎(4)f(x)＝ax2＋bx＋c<0(a>0)在(m，n)上恒成立⇔如举例说明4(2)．‎ ‎(5)f(x)＝ax2＋bx＋c>0(a<0)在[m，n]上恒成立⇔　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2019·郑州模拟)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　)‎ 答案　A 解析　当01时，y＝logax为增函数，y＝(a－1)x2－x开口向上，其对称轴为x＝>0，排除B.故选A.‎ ‎2．(2018·四川成都七中模拟)函数f(x)＝ 的单调递增区间是(　　)‎ A．(－∞，－2] B．(－∞，1]‎ C．[1，＋∞) D．[4，＋∞)‎ 答案　D 解析　由x2－2x－8≥0得x≥4或x≤－2，‎ 令x2－2x－8＝t，则y＝为增函数，‎ ‎∴t＝x2－2x－8在[4，＋∞)上的增区间是所求函数的单调递增区间，‎ ‎∴所求函数的单调递增区间为[4，＋∞)．‎ ‎3．(2019·陕西西安模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1) B．(－1,2]‎ C．[－1,2] D．[2,5]‎ 答案　C 解析　∵f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，‎ ‎∴当x＝2时，f(2)＝4，‎ 由f(x)＝－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，‎ ‎∴要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4]，则－1≤m≤2.‎ ‎4．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．‎ 答案　 解析　2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．‎ 当x＝0时，－3<0，成立；‎ 当x≠0时，a<2－，‎ 因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，‎ 当x＝1时，右边取最小值，∴a<.‎ 综上，实数a的取值范围是.‎