山东省济南市历城区济钢高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

山东省济南市历城区济钢高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

济钢高中2019级高一第二学期期中考试 数学试卷 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设i为虚数单位，复数z满足，则复数z的共轭复数等于（ ）‎ A. 1-i B. -1-i C. 1+i D. -1+i ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则解得，结合共轭复数的概念即可得结果.‎ ‎【详解】∵复数满足，∴，‎ ‎∴复数的共轭复数等于，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎2.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ）‎ A. 7，5，8 B. 9，5，‎6 ‎C. 7，5，9 D. 8，5，7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分层抽样按比例分配,即可求出各年龄段分别抽取的人数.‎ ‎【详解】由于样本容量与总体中的个体数的比值为，故各年龄段抽取的人数依次为，，.故选B ‎【点睛】本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,属于基础题.‎ ‎3.已知平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),则向量在向量方向上的投影为(　　)‎ A. 1 B. ‎-1 ‎C. 2 D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据向量垂直得到(+2),=0，化简得到=﹣2，再根据投影的定义即可求出．‎ ‎【详解】∵平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),‎ ‎∴(+2),=0，‎ 即 ‎ 即=﹣2‎ ‎∴向量在向量方向上的投影为=﹣1，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．‎ ‎4.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．‎ 点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.‎ ‎5.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与 所成角的正切值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.‎ ‎【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，‎ 设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，‎ 则故选C.‎ ‎【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：‎ ‎（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；‎ ‎（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.‎ ‎6.设中边上的中线为，点满足，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，利用、表示，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出可得出结果.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 为的中点，则，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎7.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据题意列出关于、方程组，求出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.‎ ‎【详解】设，其中，则.‎ 由题意得，解得，即.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查向量坐标的求解，根据向量数量积和模建立方程组是解题的关键，考查方程思想的应用以及运算求解能力，属于基础题.‎ ‎8.已知两直线m､n，两平面α､β，且m⊥α，nβ.下面有命题中正确的个数是（ ）‎ ‎①若α//β，则有m⊥n； ②若m⊥n，则有α//β；‎ ‎③若m//n，则有α⊥β； ④若α⊥β，则有m//n.‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①由条件可知，再判断结论；②由条件判断是否成立；‎ ‎③由条件可知，再判断结论；④根据面面垂直的性质定理判断.‎ ‎【详解】①若，，则，，则，所以①正确；‎ ‎②若，，不能推出， 所以不能推出，所以②不正确；‎ ‎③若，，则，又有，所以，所以③正确；‎ ‎④若，，则或，当，不能推出，所以④不正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查点，线，面位置关系的判断，重点考查想象，推理能力，属于基础题型.‎ 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.‎ ‎9.下列各式中结果为零向量的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量加法和减法逐一判断选项，得到正确答案.‎ ‎【详解】A.，所有A正确；‎ B.，不正确；‎ C.，不是零向量；‎ D.，所有D正确.‎ 故选：AD ‎【点睛】本题考查向量加减法，属于基础题型.‎ ‎10.（多选题）已知集合，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.‎ ‎【详解】根据题意，中，‎ 时，；‎ 时，‎ ‎；时，；‎ 时，，‎ ‎.‎ 选项A中，；‎ 选项B中，；‎ 选项C中，；‎ 选项D中，.‎ 故选：BC.‎ ‎【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解.‎ ‎11.已知锐角，内角、、的对边分别为，，，若，，则边的可能取值为（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】CD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于三角形的正弦定理和正弦函数的值域可得的范围，讨论，结合条件可得所求结论.‎ ‎【详解】在中，，，‎ 由可得，‎ 由于可得，即有 若，则，即，为等边三角形成立；‎ 若可得，且，即 即为，即有成立.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理与三角函数有界性，考查计算能力，属于中等题型.‎ ‎12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，下列结论正确的是（ ）‎ A. AC⊥BD B. △ACD是等边三角形 C. AB与平面BCD成角 D. AB与CD所成的角是60°‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出几何体，由线面垂直的性质定理判断A是否正确；根据直二面角的条件计算的长度，判断是否是等边三角形；根据线面角的定义判断C；由异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，取的中点，连结，转化为求或其补角.‎ ‎【详解】A.取的中点，连结,由条件可知，又，‎ 所有平面，平面，所有,所以A正确；‎ B.设正方形边长为2，则，且，所有，所以是等边三角形，所以B正确；‎ C.由条件可知平面，所以与平面所成的角为，所以C不正确；‎ D.取的中点，连结，则，则所成的角是或其补角，由以上说明可知，,‎ 所以是等边三角形，所以，故AB与CD所成的角是60°，所以D正确.‎ 综上可知：ABD正确.‎ 故选：ABD ‎【点睛】本题考查线线，线面位置关系，和线面，异面直线所成的角，重点考查推理能力，空间想象能力，属于基础题型.‎ 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，则60分为成绩的第__________百分位数.‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求前两组的频率，根据百分位数的定义直接求结果.‎ ‎【详解】由条件可知前两组的频率是 ‎ 则60分为成绩的第30百分位数.‎ 故答案为：30‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图，重点考查基本概念，属于基础题型.‎ ‎14.已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由与的夹角为锐角，则，列出不等式解出，要去掉使与同向（与的夹角为0）的的取值.‎ ‎【详解】∵与的夹角为锐角 ‎∴，即，解得，‎ 当时，与同向，‎ ‎∴实数的取值范围是 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是向量数量积的性质及运算律，将夹角转化为数量积与0的关系是解题的关键，属于中档题.‎ ‎15.事件为独立事件，若，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出.‎ 详解：设,‎ 因，‎ 所以 所以 所以 点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．‎ ‎16.如图，-辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到处时测得公路北侧一山顶在北偏西的方向上，仰角为，行驶米后到达处，测得此山顶在北偏西的方向上，仰角为，若，则此山的高度________米，仰角的正切值为________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设山的高度（米），由题可得：,,（米）, ,在中利用正弦定理可得:（米）, （米）, 在中,由可得：（米），在中，可得：，问题得解.‎ ‎【详解】设山的高度（米），‎ 由题可得：,,（米）, ‎ 在中，可得：，利用正弦定理可得：‎ ‎，解得：（米）, （米）‎ 在中，由可得：（米）‎ 在中，可得：‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，还考查了空间思维能力及识图能力，考查转化能力及计算能力，属于中档题．‎ 四､解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.‎ ‎17.如图，平行四边形ABCD中，，，，分别是，的中点，为上一点，且．‎ ‎（1）以，为基底表示向量与；‎ ‎（2）若，，与的夹角为，求．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题可得：，利用向量的加法法则和减法法则，以及向量的中点表示，即可得到； ‎ ‎(2)先求出，再由(1)得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积.‎ ‎【详解】（1）∵平行四边形中，，，，是，的中点，，‎ ‎∴，‎ ‎（2）∵，，与的夹角为，∴，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查了向量的加法，减法法则，考查了向量数量积的运算，属于较易题.‎ ‎18.某中学团委组织了“纪念抗日战争胜利73周年”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，，…，后，画出如图所示的部分频率分布直方图.观察图形给出的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这次竞赛的及格率（60分及以上为及格）和平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）‎ ‎【答案】（1）0.3 （2）；71‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频率分布直方图中的各组的频率和等于1，求出第四小组的频率，求出纵坐标，补全这个频率分布直方图即可．‎ ‎（2）求出60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和；利用组中值估算抽样学生的平均值为各组的中点乘以各组的频率和为平均值．‎ ‎【详解】解：（1）因为各组的频率和等于1，‎ 故第四组的频率：，‎ 频率分布直方图第四小组的纵坐标是：，‎ 则频率分布直方图如下图所示：‎ ‎（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，‎ 频率和为，‎ 所以，抽样学生成绩的合格率是，‎ 利用组中值估算抽样学生的平均分为：‎ ‎，‎ 所以估计这次考试的平均分是71.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图、等可能事件的概率等．在频率分布直方图中，数据的平均值等于各组的中点乘以各组的频率之和；频率等于纵坐标乘以组距；属于基础题．‎ ‎19.在校体育运动会中，甲乙丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每场比赛中，甲胜乙的概率为甲胜丙的概率为乙胜丙的概率为 ‎（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；‎ ‎（2）求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若满足条件只需甲胜乙，甲胜丙，且丙胜乙，写出概率；‎ ‎（2）甲队至少得3分包含甲队恰得3分，和甲队得6分，根据分值判断获胜情况，求得概率.‎ ‎【详解】（1）若甲队获第一名且丙队获第二名，即甲胜乙，甲胜丙，且丙胜乙，‎ 即，‎ 即甲队获第一名且丙队获第二名的概率是；‎ ‎（2）当甲队恰得3分，即甲队胜了一场，甲胜乙且丙胜甲，或甲胜丙且乙胜甲， ‎ 当甲恰得6分，即甲队胜了2场，即,‎ 那么该次比赛中甲队至少得3分的概率.‎ ‎【点睛】本题考查对立事件同时发生的概率，重点考查读题，抽象概括能力，属于基础题型，本题的关键是正确理解题意.‎ ‎20.已知的内角的对边分别是，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，由二倍角正弦公式得到，然后由正弦定理求解.‎ ‎（2）根据，利用余弦定理，得到，再根据的面积为，得到，两式联立求解.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 由正弦定理，得，‎ 由于，所以.‎ 因为，所以.‎ ‎（2）由余弦定理，得，‎ 又，所以.①‎ 又的面积为，即，即，即.②‎ 由①②得，‎ 则，‎ 得.所以的周长为.‎ ‎【点睛】本题主要考查等正弦定理，余弦定理的应用以及二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎21.如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，,,垂足为，是四棱锥的高．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面;‎ ‎（Ⅱ）若,60°,求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）因为PH是四棱锥P-ABCD的高．‎ 所以ACPH,又ACBD,PH,BD都在平面PHD内,且PHBD=H.‎ 所以AC平面PBD.‎ 故平面PAC平面PBD.‎ ‎（Ⅱ）因为ABCD为等腰梯形，ABCD,ACBD,AB=.‎ 所以HA=HB=.‎ 因为APB=ADR=600‎ 所以PA=PB=,HD=HC=1.‎ 可得PH=.‎ 等腰梯形ABCD的面积为S=AC x BD = 2+.‎ 所以四棱锥的体积为V=x（2+）x=‎ 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算．‎ 点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程．本题（I）较为简单，（II）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤．‎ ‎22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3.‎ ‎（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH//平面PAD；‎ ‎（2）求证：⊥平面PCD；‎ ‎（3）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，连结，由题意得，利用中位线证明；‎ ‎（2）要证明线面垂直，根据判断定理可知需垂直于平面内的两条直线，利用面面垂直的性质定理，取棱中点，连结，再证明；‎ ‎（3）连结，由平面，知是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【详解】（1）连结，由题意得，，‎ 又由，得，‎ 平面，平面，‎ 平面．‎ ‎（2）取棱中点，连结，‎ 依题意得，‎ 又平面平面，平面平面，‎ 平面，‎ 又平面，，‎ 又，，‎ 平面．‎ ‎（3）连结，由（2）中平面，‎ 知是直线与平面所成角，‎ 是等边三角形，，且为中点，‎ ‎，又，‎ 在中，．‎ 直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题型.‎ ‎ ‎