新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：2-6-1-三-第1课时 三角形中的几何计算 课件（80张）
三、用余弦定理、正弦定理解三角形
第1课时 三角形中的几何计算
必备知识·自主学习
1.内角和定理:在△ABC中,A+B+C=180°.
2.面积公式:
S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B.
导思
1.余弦定理、正弦定理的内容及变形是什么?
2.余弦定理、正弦定理可分别解决哪类三角形
问题?
1
2
1
2
1
2
3.余弦定理的形式:
形式一:a2=b2+c2-2bccos A,
b2=a2+c2-2accos B,
c2=a2+b2-2abcos C.
形式二:cos A=___________,
cos B=___________,cos C=___________.
2 2 2b c a
2bc
－
2 2 2a c b
2ac
－ 2 2 2a b c
2ab
－
4.正弦定理的形式:
形式一: =2R(R为外接圆半径).
形式二:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.
形式三:a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
形式四:
a b c
sin A sin B sin C
a b csin A sin B sin C .
2R 2R 2R
， ，
【思考】
在解三角形时,边角至少需要知道几个才能求出其他边角?
提示:由余弦定理、正弦定理的内容可以看出,至少需要知道三个(不能全为角)
才能求出其他边角.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC一定为钝角三角形. ( )
(2)在△ABC中,等式bsin A=asin B总能成立. ( )
(3)在△ABC中,满足sin B= <1的三角形个数有且仅有一个.( )
bsin A
a
提示:(1)√.由a2>b2+c2,可得b2+c2-a2<0,故cos A= <0,从而角A为钝
角,该三角形为钝角三角形.
(2)√.根据正弦定理 可得bsin A=asin B总成立.
(3)×.例如已知A=30°,a=1,b= ,则sin B= 故B=60°或120°,
此时满足条件的三角形有两个.
2 2 2b c a
2bc
－
a b
sin A sin B
3
bsin A 3
a 2
，
2.在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,则△ABC的面积等于 ( )
A.12 B. C.28 D.6
【解析】选D.由余弦定理可得cos A= ,所以A=60°,
所以sin A= ,故S△ABC= bcsin A=6 .
1
2
21
2 3
3
2
1
2
3
3.(教材二次开发:例题改编)已知O是△ABC内部一点, =0,
=2且∠BAC=60°,则△OBC的面积为 ( )
【解析】选A.由 =0可知点O是△ABC的重心,S△OBC= S△ABC,
=| |·| |cos 60°=2,所以| |·| |=4,S△OBC= S△ABC=
OA OB OC
AB AC
3 3 2A. B. 3 C. D.
3 2 3
OA OB OC
1
3
AB AC
AB
AC
AB
AC
1
3
1 1 3 34 .
3 2 2 3
关键能力·合作学习
类型一 三角形中的面积计算(逻辑推理)
【题组训练】
1.已知△ABC的面积为 且b=2,c= ,则( )
A.A=30° B.A=60°
C.A=30°或150° D.A=60°或120°
3
2 3
2.在△ABC中,AC=1,B=30°,AB= ,则△ABC的面积为________.
3.在△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,且a= ,cos A= ,求△ABC的面积.
3
6
7
8
【解析】1.选D.由S△ABC= bcsin A,
得 = ×2× sin A,解得sin A= ,
又因为0°
0),
又a+b+c=30,所以k=2,
即三边长为a=6,b=10,c=14,
所以cos A= sin A=
所以S△ABC= bcsin A= ×10×14× =15 .
2 2 2b c a 13
2bc 14
－ ，
3 3
14
，
1
2
1
2
3 3
14 3
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC
于点D,且BD=1,则3a+c的最小值为 ( )
A.6 B.4+2 C.9 D.6+4 3 3
【解析】选B.由题意可知S△ABC=S△ABD+S△CBD,由角平分线性质和三角形面积公式
得 acsin 120°= csin 60°+ asin 60°,化简得ac=c+a,即
所以3a+c=(3a+c)( )=4+ ≥4+2 ,当且仅当 即c= a
= +1时取等号.
1
2
1
2
1
2
1 1 1
a c
，
1 1
a c
3a c
c a
3
3a c
c a
， 3
3
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的
外接圆直径为 ( )
【解析】选C.因为S△ABC= acsin B= c·sin 45°= c=2,所以c=4 ,所以
b2=a2+c2-2accos 45°=25,所以b=5,所以△ABC的外接圆直径为 =5 .
课堂检测·素养达标
A.4 3 B.60 C.5 2 D.6 2
1
2
1
2
2
4 2
b
sin B
2
2.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且c= ,cos C=- ,sin A=
2sin B,则b=________.
【解析】因为sin A=2sin B,所以a=2b,
又因为c= ,cos C=- ,
所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,
可得6=a2+b2-2ab·(- )=4b2+b2+ ×2b2,
解得b=-1(舍去)或b=1.
答案:1
6
1
4
6
1
4
1
4
1
2
3.如图,在四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于
________.
【解析】连接BD,四边形面积可分为△ABD与△BCD两部分的面积和,由余弦定
理得BD=2 ,S△BCD= BC·CDsin 120°= ,∠ABD=120°-30°=90°,
所以S△ABD= AB·BD=4 ,所以S四边形ABCD= +4 =5 .
答案:5
3
1
2
3
1
2
3 3 3 3
3
4.如图所示,已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边
形ABCD的面积.
【解析】如图,连接BD,则四边形ABCD的面积为
S=S△ABD+S△CDB= AB·ADsin A+ BC·CDsin C.
因为A+C=180°,所以sin A=sin C,
所以S= (AB·AD+BC·CD)sin A= (2×4+6×4)sin A=16sin A.
在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A=22+42-2×2×4cos A=20-
16cos A.
1
2
1
2
1
2
1
2
在△CDB中,由余弦定理得BD2=CB2+CD2-2CB·CDcos C=52-48cos C.
所以20-16cos A=52-48cos C.
因为cos C=-cos A,所以64cos A=-32,
所以cos A=- ,又0°0,解得x=16,即BD=16.
(2)因为AD⊥CD,所以∠ADC=90°,
故∠BDC=∠ADC-∠BDA=90°-60°=30°,
在△BCD中,由正弦定理
得BC=
BC BD
sin BDC sin BCD
，
116BD sin 30 2 8 2.
sin 135 2
2
【能力进阶—水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.设△ABC的三条边分别为a,b,c,三角形面积为S= ,则C为( )
【解析】选C.根据面积公式得S= absin C,故 absin C= ,
解得tan C=1,由于0b,
即A为钝角或锐角,所以cos A=
当A为锐角时,sin C=sin(A+B)=
所以S△ABC=
8 7
sin A sin 60
，
4 3
7
24 3 11 ) .
7 7
－(
4 3 1 1 3 5 3
7 2 7 2 14
，
1 1 5 3absin C 8 7 10 3.
2 2 14
当A为钝角时,sin C=sin(A+B)=
所以S△ABC=
则此三角形的面积为6 或10 .
4 3 1 1 3 3 3
7 2 7 2 14
－ ，
1 1 3 3absin C 8 7 6 3.
2 2 14
3 3
【误区警示】本题在求解过程中,由sin A= 确定角A大小时,易漏掉A为钝
角的情况.
4 3
7
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.三角形有一个角是60°,相邻两边长分别为8和5,则下列结论正确的是( )
A.三角形另一边长为7
B.三角形周长为20
C.三角形内切圆周长为3π
D.三角形外接圆面积为
49
3
【解析】选ABD.根据余弦定理可得82+52-2×8×5×cos 60°=49,
即另一边长为7,故该三角形周长为20,故A,B正确;
设内切圆半径为r,
则 (8+7+5)r= ×8×5×sin 60°,解得r= ,
故内切圆周长为2πr=2 π,C不正确;
设外接圆半径为R,则2R= ,
解得R= ,其面积为πR2= .
1
2
1
2 3
3
7
sin 60
7 3
3
49
3
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a∶b∶c=4∶5∶6,则下列结论
正确的是 ( )
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC为直角三角形
D.若c=6,则△ABC外接圆半径为 8 7
7
【解析】选AD.由a∶b∶c=4∶5∶6,
可设a=4m,b=5m,c=6m(m>0),
根据正弦定理可知sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,故A正确;
因为cos C= 故最大角C为锐角,故BC错误;
若c=6,可得2R=
所以△ABC外接圆半径为 ,故D正确.
【光速解题】本题可直接令边长分别为4,5,6.
2 2 2 2 2 2a b c 16m 25m 36m 1 0
2ab 2 4m 5m 8
－ － ，
c 6 16 7
sin C 711
64
，
－
8 7
7
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知等腰三角形的底边长为6,一腰长为12,则它的内切圆面积为 .
【解题指南】利用等面积转化,即S= (a+b+c)·r= bcsin A,即可求出内切
圆半径r,进而求出内切圆面积.
1
2
1
2
【解析】不妨设三边长为a,b,c,且a=6,b=c=12,
由余弦定理cos A=
所以sin A=
由 (a+b+c)·r= bcsin A,得r= ,
所以S内切圆=πr2= .
答案:
2 2 2 2 2 2b c a 12 12 6 7 ,
2bc 2 12 12 8
－ －
27 151 ( ) .
8 8
－
1
2
1
2
3 15
5
27
5
27
5
【补偿训练】
在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知A=60°,b=4,△ABC的面积为3 ,
则a= .
【解析】因为S= bcsin A=3 ,
所以 ×4c× =3 ,
解得c=3,故a2=b2+c2-2bccos A=16+9-2×4×3× =25-12=13,所以a= .
答案:
3
3
1
2
1
2
3
2 3
1
2
13
13
8.在▱ ABCD中,AB=6,AD=3,∠BAD=60°,则▱ ABCD的对角线AC长为 ,其面
积为 .
【解析】在▱ ABCD中,连接AC,
则CD=AB=6,∠ADC=180°-∠BAD=180°-60°=120°.
根据余弦定理AC=
S▱ ABCD=2S△ABD=AB·AD·sin∠BAD=6×3sin 60°=9 .
答案:3 9
2 2 2 2 1AD CD 2AD CDcos 120 3 6 2 3 6 ( ) 3 7.
2
－ － －
3
7 3
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知AB⊥BD,AC⊥CD,AC=1,AB=2,∠BAC=120°,求BD的长.
【解析】如图,连接BC.
BC=
在△ABC中,由正弦定理知: 所以sin∠ACB= .
又因为∠ACD=90°,
所以cos∠BCD= ,sin∠BCD= ,
由AB⊥BD,AC⊥CD,∠BAC=120°得∠BDC=60°.
由正弦定理得BD=
2 22 1 2 2 1 cos 120 7. －
2 7
sin ACB sin 120
，
21
7
21
7
2 7
7
2 77BC sin BCD 4 37 .
sin 60 33
2
10.已知四边形ABCD中,AB=2,BC=CD=4,DA=6,且D=60°,试求四边形ABCD的面积.
【解析】连接AC,在△ACD中,
由AD=6,CD=4,D=60°,
可得AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos D=62+42-2×6×4×cos 60°=28.
在△ABC中,由AB=2,BC=4,AC2=28,
可得cos B=
又0°
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