2018届二轮复习 不等式选讲 学案（全国通用）

2018届二轮复习 不等式选讲 学案（全国通用）

专题19 不等式选讲 预测2017年对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查. ‎ 一、含有绝对值不等式的解法 ‎1.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎ ‎(1)若c>0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可. ‎ ‎(2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R. ‎ ‎2.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎ 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解. ‎ ‎(1)零点分区间法的一般步骤 ‎ ‎①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； ‎ ‎②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间； ‎ ‎③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ‎ ‎④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集. ‎ ‎(2)利用绝对值的几何意义 ‎ 由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观. ‎ ‎3.|f(x)|>g(x)，|f(x)|0)型不等式的解法 ‎ ‎(1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x). ‎ ‎(2)|f(x)|0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ ‎1.【2014高考安徽卷文第9题】若函数的最小值为3，则实数的值为（ ）‎ A.5或8 B.或‎5 ‎ C.或 D.或8‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，‎ ‎，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D.‎ ‎2. 【2014陕西高考文第15题】设，且，则的最小值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由柯西不等式得：，所以，得 所以，故答案为。 ‎ ‎3. 【2014高考广东卷文第9题】不等式的解集为 .‎ ‎【答案】.‎ ‎4. 【2014高考湖南卷第13题】若关于的不等式的解集为，则________.‎ ‎【答案】-3 ‎ ‎【解析】因为等式的解集为,所以为方程的根,‎ 即,故填.‎ ‎5. 【2014江西高考文第11题】对任意,的最小值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎6. 【2014重庆高考文第16题】若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，其图象如下所示（图中的实线部分）‎ 由图可知：‎ 由题意得：，解这得:‎ 所以答案应填：‎ ‎7. 【2014高考福建文第21（3）题】 已知定义在R上的函数的最小值为.‎ ‎ （I）求的值；‎ ‎ （II）若为正实数，且，求证：.‎ ‎【答案】（I）;（II）参考解析 ‎（II）由（I）知,又因为是正数,所以 ‎,即.‎ ‎9. 【2014高考江苏第21题】已知，证明 ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎∵，∴,,‎ ‎∴.‎ ‎10. 【2014高考江苏第21B题】已知矩阵，向量，是实数，若，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得，解得.∴.‎ ‎11. 【2014高考辽宁文第24题】设函数，，记的解集为M，的解集为N.‎ ‎（Ⅰ）求M；‎ ‎(Ⅱ)当时，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】 ‎ 故.‎ 当时，，于是 ‎.‎ ‎12. 【2014高考全国1第24题】若，且.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.‎ ‎ 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在．‎ ‎【解析】（I）由，得，且当时取等号．故，且当时取等号．所以的最小值为．‎ ‎（II）由（I）知，．由于，从而不存在，使得．‎ ‎13. 【2014高考全国2第24题】设函数=‎ ‎（Ⅰ）证明：2；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所 ‎（2013·新课标I理）（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3.‎ ‎（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；‎ ‎（Ⅱ）设a＞－1，且当x∈[－，)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）构造函数，作出函数图像，观察可知结论；（2）利用分离参数法进行求解.‎ ‎（2013·陕西理）A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为 . ‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】 由柯西不等式可得 ‎（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式的解集为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因此解集为.‎ ‎（2013·福建理）(3).(本小题满分7分) 选修4-5：不等式选讲 设不等式的解集为A,且 ‎（Ⅰ）求的值 ‎（Ⅱ）求函数的最小值 ‎【答案】（Ⅰ）因为，且，所以，且 解得，又因为，所以 ‎（Ⅱ）因为 当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为 ‎（2013·辽宁理）24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（I）‎ ‎（II）‎ ‎【答案】（I）解法一：当a=2时，，利用几何意义可知表示数x到2与4的距离之和大于等于4，又2‎ 和4之间的距离为2，即数x可以2和4为标准分别向左或者向右移1各单位。故不等式的解集为：‎ ‎。‎ ‎（I）解法二：当a=2时，‎ 故不等式的解集为：。‎ ‎（II）令 由，又知 所以 ‎ （2013·新课标Ⅱ理）（24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：‎ ‎（Ⅰ）ab+bc+ac；‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，，得：‎ ‎，由题设得，即 ‎，所以 ‎，即.‎ ‎（Ⅱ）因为，，，‎ 所以，即，‎ 所以.‎