数学卷·2018届广东省揭阳市华侨中学高二下学期开学数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届广东省揭阳市华侨中学高二下学期开学数学试卷（文科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年广东省揭阳市华侨中学高二（下）开学数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．已知a∈R，若为实数，则a=（　　）‎ A．﹣2 B． C． D．2‎ ‎2．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是（　　）‎ A．y= B．y=xsinx C．y=lg D．y=ex﹣e﹣x ‎3．已知实数x、y满足，则z=x﹣2y的最大值为（　　）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎4．直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2x﹣1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．﹣3＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．0＜m＜1 D．m＜1‎ ‎5．已知sinα+cosα=，则tanα=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，若输入的p=5，q=6，则输出的a，i的值分别为（　　）‎ A．5，1 B．30，3 C．15，3 D．30，6‎ ‎7．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎8．在菱形ABCD中，对角线AC=4，E为CD的中点， •=（　　）‎ A．8 B．10 C．12 D．14‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．5.5‎ ‎10．某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（　　）‎ A．144种 B．150种 C．196种 D．256种 ‎11．设F1，F2为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且|F1F2|=2c，若椭圆上存在点P使得|PF1|•|PF2|=2c2，则椭圆的离心率的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数f（x）=ex（2x﹣1）+ax﹣a，其中a＞﹣1，若关于x不等式f（x）＜0的整数解有且只有一个，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣1，] B．（﹣，] C．（﹣，﹣] D．（﹣1，﹣]‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.请将答案填写在答题纸上.‎ ‎13．在（1﹣x）6（2﹣x）的展开式中含x3的项的系数是　　．‎ ‎14．已知数列{an}满足a1=15，，则的最小值为　　．‎ ‎15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是线段B1C的中点，则三棱锥A﹣DED1外接球体积为　　．‎ ‎16．F是双曲线Γ：x2﹣=1的右焦点，Γ的右支上一点P到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点Q满足=λ，则λ=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知递增数列{an}的前n项和为Sn，且满足．‎ ‎（I）求an；‎ ‎（II）设，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；‎ ‎（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣cos2x，求函数g（x）在区间[0，]上的最小值．‎ ‎19．一种饮料每箱装有6听，经检测，某箱中每听的容量（单位：ml）如以下茎叶图所示．‎ ‎（Ⅰ）求这箱饮料的平均容量和容量的中位数；‎ ‎（Ⅱ）如果从这箱饮料中随机取出2听饮用，求取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml的概率．‎ ‎20．如图，圆O为三棱锥P﹣ABC的底面ABC的外接圆，AC是圆O的直径，PA⊥BC，点M是线段PA的中点．‎ ‎（1）求证：BC⊥PB；‎ ‎（2）设PA⊥AC，PA=AC=2，AB=1，求三棱锥P﹣MBC的体积；‎ ‎（3）在△ABC内是否存在点N，使得MN∥平面PBC？请证明你的结论．‎ ‎21．已知函数f（x）=x2+（2m﹣1）x﹣mlnx．‎ ‎（1）当m=1时，求曲线y=f（x）的极值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（3）若对任意m∈（2，3）及x∈[1，3]时，恒有mt﹣f（x）＜1成立，求实数t的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知直线l的参数方程为（t为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcosθ+2．‎ ‎（Ⅰ）写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线C的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣1|．‎ ‎（1）解不等式：f（x）≤5；‎ ‎（2）若函数g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省揭阳市华侨中学高二（下）开学数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．已知a∈R，若为实数，则a=（　　）‎ A．﹣2 B． C． D．2‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．‎ ‎【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数为a+bi的形式，通过虚部为0，求解即可．‎ ‎【解答】解： ==为实数，可得a=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是（　　）‎ A．y= B．y=xsinx C．y=lg D．y=ex﹣e﹣x ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】根据奇偶函数的定义及基本函数的单调性逐项判断即可得到答案．‎ ‎【解答】解：A中，∵y=的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，∴y=为非奇非偶函数，故排除A；‎ B中，∵﹣xsin（﹣x）=xsinx，∴y=xsinx为定义域上的偶函数，故排除B；‎ C中，y=lg=lg（﹣1+），‎ ‎∵lgt递增，t=﹣1+在（0，1）上递减，∴y=lg在（0，1）上递减，故排除C；‎ D中，∵e﹣x﹣e﹣（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e﹣x），∴y=ex﹣e﹣x是奇函数，‎ 又y=ex递增，y=﹣e﹣x递增，∴y=ex﹣e﹣x是（0，1）内的增函数；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．已知实数x、y满足，则z=x﹣2y的最大值为（　　）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 化目标函数z=x﹣2y为，‎ 由图可知，当直线过A（0，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为0﹣2×（﹣1）=2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．直线x﹣y+m=0与圆x2+y2﹣2x﹣1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．﹣3＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．0＜m＜1 D．m＜1‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】把直线与圆的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程，根据直线与圆有两个不同的交点得到此方程有两个不等的实根，即△＞‎ ‎0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范围，在四个选项中找出解集的一个真子集即为满足题意的充分不必要条件．‎ ‎【解答】解：联立直线与圆的方程得：‎ ‎，‎ 消去y得：2x2+（2m﹣2）x+m2﹣1=0，‎ 由题意得：△=（2m﹣2）2﹣8（m2﹣1）=﹣4（m+1）2+16＞0，‎ 变形得：（m+3）（m﹣1）＜0，‎ 解得：﹣3＜m＜1，‎ ‎∵0＜m＜1是﹣3＜m＜1的一个真子集，‎ ‎∴直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0＜m＜1．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．已知sinα+cosα=，则tanα=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用．‎ ‎【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式变形，分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，即可求出tanα的值．‎ ‎【解答】解：已知等式两边平方得：（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+2cos2α=3，‎ ‎∴==3，‎ 整理得：（tanα﹣1）2=0，‎ 解得：tanα=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，若输入的p=5，q=6，则输出的a，i的值分别为（　　）‎ A．5，1 B．30，3 C．15，3 D．30，6‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】根据得到该程序的功能是求p、q两个数的最小公倍数，由此写出程序执行的步骤，结合题意即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题中的程序框图，可得该程序按如下步骤运行 ‎①第一次循环，i=1，a=5×1=5，判断q是否整除a；‎ ‎②由于q=6不整除a=5，进入第二次循环，得到i=2，a=5×2=10，判断q是否整除a；‎ ‎③由于q=6不整除a=10，进入第三次循环，得到i=3，a=5×3=15，判断q是否整除a；‎ ‎④由于q=6不整除a=15，进入第四次循环，得到i=4，a=5×4=20，判断q是否整除a；‎ ‎⑤由于q=6不整除a=20，进入第五次循环，得到i=5，a=5×5=25，判断q是否整除a；‎ ‎⑥由于q=6不整除a=25，进入第六次循环，得到i=6，a=5×6=30，判断q是否整除a；‎ ‎⑦由于q=6整除a=30，结束循环体并输出最后的a、i值 因此输出的a=30且i=6‎ 故选：D ‎　‎ ‎7．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移 个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+φ=kπ，k∈z，由此根据|φ|＜求得φ的值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，‎ 再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，k∈z，‎ ‎∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣），‎ 由题意x∈[0，]，得2x﹣∈[﹣，]，‎ ‎∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]‎ ‎∴函数y=sin（2x﹣）在区间[0，]的最小值为﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．在菱形ABCD中，对角线AC=4，E为CD的中点， •=（　　）‎ A．8 B．10 C．12 D．14‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】首先，设=， =，然后，表示向量，最后利用菱形的几何性质，计算•的值即可．‎ ‎【解答】解：如图示，‎ 设=， =，‎ ‎∴=， =+=（）=+，‎ ‎∴•=（）•（）‎ ‎=++‎ ‎=，‎ ‎∵对角线AC=4，‎ ‎∴，‎ ‎∴•=12．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．5.5‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】利用三视图画出几何体的图形，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．‎ ‎【解答】解：三视图复原的几何体是长方体，去掉两个三棱锥后的几何体，如图：‎ 去掉的三棱锥的高为3，底面是等腰直角三角形，直角边长为1，‎ 所求几何体的体积为：2×1×3﹣=5．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（　　）‎ A．144种 B．150种 C．196种 D．256种 ‎【考点】分类加法计数原理．‎ ‎【分析】由题设条件知，可以把学生分成两类：311，221，所以共有种报考方法．‎ ‎【解答】解，把学生分成两类：311，221，‎ 根据分组公式共有=150种报考方法，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．设F1，F2为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且|F1F2|=2c，若椭圆上存在点P使得|PF1|•|PF2|=2c2，则椭圆的离心率的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，联立|PF1|•|PF2|=2c2，求出|PF2|，由|PF2|≥a﹣c求得椭圆的离心率的最小值．‎ ‎【解答】解：由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，‎ 联立得，解得|PF2|=a﹣或|PF2|=a+．‎ ‎∵a﹣≤a+，‎ ‎∴由a﹣≥a﹣c，得c≥，‎ 两边平方得：c2≥a2﹣2c2，即3c2≥a2，‎ ‎∴e≥．‎ 即椭圆的离心率的最小值为．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．设函数f（x）=ex（2x﹣1）+ax﹣a，其中a＞﹣1，若关于x不等式f（x）＜0的整数解有且只有一个，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣1，] B．（﹣，] C．（﹣，﹣] D．（﹣1，﹣]‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】设g（x）=ex（2x﹣1），y=a﹣ax，求导g′（x）=ex（2x+1），从而可得a＞g（0）=﹣1，且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥a+a，从而解得．‎ ‎【解答】解：设g（x）=ex（2x﹣1），y=a﹣ax，‎ 由题意知，存在唯一的整数x0，使g（x0）在直线y=a﹣ax的下方，‎ ‎∵g′（x）=ex（2x+1），‎ ‎∴当x＜时，g′（x）＜0，当x＞时，g′（x）＞0，‎ ‎∴gmin（x）=g（）=﹣2；‎ 且g（0）=﹣1，g（1）=3e＞0，‎ 直线y=a﹣ax恒过点（1，0），且斜率为﹣a，‎ 结合图象可知，‎ 故y|x=0=a＞g（0）=﹣1，且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥y|x=﹣1=a+a，‎ 解得，﹣1＜a≤﹣，‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.请将答案填写在答题纸上.‎ ‎13．在（1﹣x）6（2﹣x）的展开式中含x3的项的系数是　﹣55　．‎ ‎【考点】二项式定理．‎ ‎【分析】在（1﹣x）6（2﹣x）的展开式中含x3的项是2C63（﹣x）3+（﹣x）C62（﹣x）2，由此能求出其系数．‎ ‎【解答】解：2C63（﹣x）3+（﹣x）C62（﹣x）2‎ ‎=﹣40x3﹣15x3‎ ‎=﹣55x3．‎ 故答案为：﹣55．‎ ‎　‎ ‎14．已知数列{an}满足a1=15，，则的最小值为　　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】把已知数列递推式变形，利用累加法求出数列的通项公式，得到关于n的函数，然后利用函数单调性求得最小值．‎ ‎【解答】解：由，得an+1﹣an=2n，‎ ‎∵a1=15，‎ ‎∴an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）‎ ‎=15+2+4+…+2（n﹣1）=15+2×=n2﹣n+15．‎ ‎∴=n+﹣1，‎ 令f（x）=x+，得，‎ ‎∴当n取1，2，3时，n+﹣1减小，当n取大于等于4的自然数时n+﹣1的值增大．‎ ‎∵n=3时， =3+5﹣1=7；n=4时， =4+﹣1=．‎ ‎∴的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E是线段B1C的中点，则三棱锥A﹣DED1外接球体积为　　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】三棱锥A﹣DED1外接球为四棱锥E﹣A1D1DA外接球，利用勾股定理建立方程，求出球的半径，即可求出三棱锥A﹣DED1外接球体．‎ ‎【解答】解：三棱锥A﹣DED1外接球为四棱锥E﹣A1D1DA外接球，‎ 设球的半径为R，则R2=（）2+（1﹣R）2，∴R=，‎ ‎∴三棱锥A﹣DED1外接球体积为=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．F是双曲线Γ：x2﹣=1的右焦点，Γ的右支上一点P到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点Q满足=λ，则λ=　4　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设P（m，n），m＞‎ ‎0，代入双曲线方程，再由点到直线的距离公式，解方程可得P的坐标，再设Q的坐标，由三点共线斜率相等，可得Q的坐标，再由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求．‎ ‎【解答】解：设P（m，n），m＞0，‎ 则m2﹣=1，‎ 双曲线的渐近线方程为y=±2x，‎ 设P到直线y=2x的距离为2，‎ 即有=2，‎ 由于P在直线的下方，‎ 则2m﹣n=2，‎ 解得m=，n=﹣，‎ 即P（，﹣），‎ 设Q（s，﹣2s），由F（，0），‎ 由于F，P，Q共线，可得 则kFP=kFQ，‎ 即为=，‎ 解得s=，‎ 即有Q（，﹣），‎ ‎=（﹣，﹣），=（﹣，﹣），‎ 由于=λ，‎ 则λ=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．已知递增数列{an}的前n项和为Sn，且满足．‎ ‎（I）求an；‎ ‎（II）设，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出（an+an﹣1﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，从而得到数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）由bn=（n+1）•2n，由此利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，，解得a1=1；‎ 当n≥2时，由，得，‎ 两式相减，得，‎ 即，即（an+an﹣1﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0‎ ‎∵数列{an}为递增数列，∴an+an﹣1﹣1≠0，‎ ‎∴an﹣an﹣1=1，‎ ‎∴数列{an}是首项为1、公差为1的等差数列，故an=n，‎ ‎（Ⅱ），，‎ Tn=2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1，‎ 两式相减，得﹣==﹣n•2n+1，‎ ‎∴，n∈N*．‎ ‎　‎ ‎18．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；‎ ‎（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣cos2x，求函数g（x）在区间[0，]上的最小值．‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据图象求出A，计算周期T，将x的值代入表达式求出对应的系数，求出函数的解析式即可；‎ ‎（Ⅱ）求出g（x）的表达式，将其化简，根据三角函数的性质求出其最小值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由图可知A=1，‎ ‎，‎ ‎∴T=π，ω=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当时，f（x）=1，‎ 可得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∵∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∵，‎ ‎∴g（x）的最小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎19．一种饮料每箱装有6听，经检测，某箱中每听的容量（单位：ml）如以下茎叶图所示．‎ ‎（Ⅰ）求这箱饮料的平均容量和容量的中位数；‎ ‎（Ⅱ）如果从这箱饮料中随机取出2听饮用，求取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml的概率．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由茎叶图，能示出这箱饮料的平均容量的容量的中位数．‎ ‎（Ⅱ）把每听饮料标上号码，其中容量为248ml，249ml的4听分别记作1，2，3，4，容量炎250ml的2听分别记作：a，b．抽取2听饮料，得到的两个标记分别记为x和y，则{x，y}表示一次抽取的结果，由此利用列举法能求出从这箱饮料中随机取出2听饮用，取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，这箱饮料的平均容量为249+=249，‎ 容量的中位数为=249．‎ ‎（Ⅱ）把每听饮料标上号码，其中容量为248ml，249ml的4听分别记作1，2，3，4，‎ 容量炎250ml的2听分别记作：a，b．抽取2听饮料，‎ 得到的两个标记分别记为x和y，则{x，y}表示一次抽取的结果，‎ 即基本事件，从这6听饮料中随机抽取2听的所有可能结果有：‎ 共计15种，即事件总数为15．‎ 其中含有a或b的抽取结果恰有9种，即“随机取出2听饮用，‎ 取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml”的基本事件个数为9．‎ 所以从这箱饮料中随机取出2听饮用，取到的2听饮料中至少有1听的容量为250ml的概率为．…‎ ‎　‎ ‎20．如图，圆O为三棱锥P﹣ABC的底面ABC的外接圆，AC是圆O的直径，PA⊥BC，点M是线段PA的中点．‎ ‎（1）求证：BC⊥PB；‎ ‎（2）设PA⊥AC，PA=AC=2，AB=1，求三棱锥P﹣MBC的体积；‎ ‎（3）在△ABC内是否存在点N，使得MN∥平面PBC？请证明你的结论．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）由已知得BC⊥AB，BC⊥平面PAB，由此能证明BC⊥PB．‎ ‎（2）由已知得BC=，S△ABC=，PA⊥平面ABC，由此能求出三棱锥P﹣MBC的体积．‎ ‎（3）取AB的中点D，连结OD、MD、OM，则N为线段OD（除端点O，D外）任意一点即可使得MN∥平面PBC．由已知得MD∥PB，MO∥PC，从而平面MDO∥平面PBC，由此能证明MN∥平面PBC．‎ ‎【解答】（1）证明：如图，∵AC是圆O的直径，∴BC⊥AB，‎ ‎∵BC⊥PA，又PA、AB⊂平面PAB，且PA∩AB=A，‎ ‎∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，‎ ‎∴BC⊥PB．‎ ‎（2）解：如图，在Rt△ABC中，AC=2，AB=1，‎ ‎∴BC=，∴S△ABC=，‎ ‎∵PA⊥BC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC，‎ ‎∴VP﹣MBC=VP﹣ABC﹣VM﹣ABC ‎=﹣=．‎ ‎（3）解：如图，取AB的中点D，连结OD、MD、OM，‎ 则N为线段OD（除端点O，D外）任意一点即可使得MN∥平面PBC．‎ 理由如下：‎ ‎∵M、O、D分别是PA、AC、AB的中点，‎ ‎∴MD∥PB，MO∥PC，‎ ‎∵MD⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴MD∥平面PBC，‎ 同理，得MO∥平面PBC，‎ ‎∵MD、MO⊂平面MDO，MD∩MO=M，‎ ‎∴平面MDO∥平面PBC，‎ ‎∵MN⊂平面MDO，∴MN∥平面PBC．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=x2+（2m﹣1）x﹣mlnx．‎ ‎（1）当m=1时，求曲线y=f（x）的极值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（3）若对任意m∈（2，3）及x∈[1，3]时，恒有mt﹣f（x）＜1成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可；‎ ‎（3）问题等价于mt﹣1＜f（x）min，通过讨论m 的范围，求出t的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），‎ 当m=1时，，解得x=﹣1（舍去），，‎ 在上递减，在上递增，所以f（x）的极小值为．‎ ‎（2），令f'（x）=0可得．‎ ‎①当m≥0时，由f'（x）＜0可得f（x）在上单调递减，‎ 由f'（x）＞0可得f（x）在上单调递增．‎ ‎②当时，由f'（x）＜0可得f（x）在上单调递减，‎ 由f'（x）＞0可得f（x）得在（0，﹣m）和上单调递增．‎ ‎③当时，由可得f（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ ‎④当时，由f'（x）＜0可得f（x）在上单调递减，‎ 由f'（x）＞0可得f（x）得在和（﹣m，+∞）上单调递增．‎ ‎（3）由题意可知，对∀m∈（2，3），x∈[1，3]时，恒有mt﹣1＜f（x）成立，等价于mt﹣1＜f（x）min，‎ 由（2）知，当m∈（2，3）时，f（x）在[1，3]上单调递增，‎ ‎∴f（x）min=f（1）=2m，所以原题等价于∀m∈（2，3）时，恒有mt﹣1＜2m成立，即．‎ 在m∈（2，3）时，由，故当时，mt﹣1＜2m恒成立，∴．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知直线l的参数方程为 ‎（t为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcosθ+2．‎ ‎（Ⅰ）写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线C的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由参数方程可得定点坐标，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，平方化简即可得到所求普通方程；‎ ‎（Ⅱ）写出直线l的参数方程和普通方程，结合直角坐标和极坐标的关系，可得直线的极坐标方程，再联立曲线C的极坐标方程，即可得到所求交点的极坐标．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）直线l经过定点（﹣1，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 由ρ=ρcosθ+2得ρ2=（ρcosθ+2）2，‎ 得曲线C的普通方程为x2+y2=（x+2）2，化简得y2=4x+4；﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）若，得的普通方程为y=x+2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 则直线l的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 联立曲线C：ρ=ρcosθ+2．‎ 得sinθ=1，取，得ρ=2，所以直线l与曲线C的交点为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣1|．‎ ‎（1）解不等式：f（x）≤5；‎ ‎（2）若函数g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）由于|x﹣4|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和，而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5，由此求得不等式|x﹣4|+|x﹣1|≤5的解集．‎ ‎（2）函数g（x）=的定义域为R，可得f（x）+2m≠0恒成立，|x﹣4|+|x﹣1|=﹣2m在R上无解，利用|x﹣4|+|x﹣1|≥3，即可求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由于|x﹣4|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到4和1对应点的距离之和，‎ 而0和5 对应点到4和1对应点的距离之和正好等于5，‎ 故不等式|x﹣4|+|x﹣1|≤5的解集为{x|0≤x≤5}．‎ ‎（2）函数g（x）=的定义域为R，可得f（x）+2m≠0恒成立，‎ ‎∴|x﹣4|+|x﹣1|=﹣2m在R上无解，‎ ‎∵|x﹣4|+|x﹣1|≥3，‎ ‎∴﹣2m＜3，‎ ‎∴m＞﹣．‎