【数学】2019届一轮复习人教A版　概率及其与统计的交汇问题(文)学案

【数学】2019届一轮复习人教A版　概率及其与统计的交汇问题(文)学案

第2讲　概率及其与统计的交汇问题 概率与统计 考向预测 ‎1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用，同时渗透互斥事件、对立事件；‎ ‎2.概率常与统计知识结合在一起命题，主要以解答题形式呈现，中档难度.‎ 知识与技巧的梳理 ‎1.古典概型的概率 ‎(1)公式P(A)＝＝.‎ ‎(2)古典概型的两个特点：所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等.‎ ‎2.几何概型的概率 ‎(1)P(A)＝.‎ ‎(2)几何概型应满足两个条件：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等.‎ ‎3.概率的性质及互斥事件的概率 ‎(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率：P(A)＝1.‎ ‎(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.‎ ‎(4)若A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，特别地P(A)＋P()＝1.‎ 热点题型 热点一　古典概型的概率 ‎【例1】　(2016·山东卷)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：‎ ‎①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶.‎ 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.‎ ‎(1)求小亮获得玩具的概率；‎ ‎(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.‎ 解　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应.‎ 因为S中元素的个数是4×4＝16.‎ 所以基本事件总数n＝16.‎ ‎(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，‎ 所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.‎ ‎(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.‎ 则事件B包含的基本事件数共6个.即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4).‎ 所以P(B)＝＝.‎ 事件C包含的基本事件数共5个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1).‎ 所以P(C)＝.因为＞，‎ 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.‎ 探究提高　1.求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数.‎ ‎2.两点注意：(1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏.‎ ‎(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率.‎ ‎【训练1】 (2017·昆明诊断)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图(如下).‎ ‎(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1 000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；‎ ‎(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60，70)和[80，90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60，70)的概率.‎ 解　(1)由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有14＋3＋13＝30(人).‎ 所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有1 000×＝750(人).‎ ‎(2)设“至少有1人体育成绩在[60，70)”为事件M，‎ 记体育成绩在[60，70)的数据为A1，A2，体育成绩在[80，90)的数据为B1，B2，B3，则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).‎ 而事件M的结果有7种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3).‎ 因此事件M的概率P(M)＝.‎ 热点二　概率与统计的综合问题 ‎【例2】　(2017·合肥质检)一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：‎ x ‎[11，13)‎ ‎[13，15)‎ ‎[15，17)‎ ‎[17，19)‎ ‎[19，21)‎ ‎[21，23)‎ 频数 ‎2‎ ‎12‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎(1)作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x的平均数和众数；‎ ‎(2)若x<13或x≥21，则该产品不合格.现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率.‎ 解　(1)频率分布直方图为：‎ 估计平均数为＝12×0.02＋14×0.12＋16×0.34＋18×0.38＋20×0.10＋22×0.04＝17.08.‎ 由频率分布直方图，x∈[17，19)时，矩形面积最大，因此估计众数为18.‎ ‎(2)记技术指标值x<13的2件不合格产品为a1，a2，技术指标值x≥21的4件不合格产品为b1，b2，b3，b4，‎ 则从这6件不合格产品中随机抽取2件包含如下基本事件(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15个基本事件.‎ 记抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件为事件M，则事件M包含如下基本事件(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8个基本事件.‎ 故抽取2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率为P＝.‎ 探究提高　1.概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目要求进行相关计算.‎ ‎2.在求解该类问题要注意两点：‎ ‎(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率.‎ ‎(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成.‎ ‎【训练2】 (2017·成都诊断)某省2017年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85)内，记为B等；分数在[60，70)内，记为C等；60分以下，记为D等.同时认定A，B，C等为合格，D等为不合格.已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出甲校样本的频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示.‎ ‎(1)求图中x的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；‎ ‎(2)在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率.‎ 解　(1)由题意，可知10x＋0.012×10＋0.056×10＋0.018×10＋0.010×10＝1，∴x＝0.004，‎ ‎∴甲学校的合格率为(1－10×0.004)×100%＝0.96×100%＝96%.‎ ‎∴乙学校的合格率为×100%＝0.96×100%＝96%.‎ ‎∴甲、乙两校的合格率均为96%.‎ ‎(2)由题意，将乙校的样本中成绩等级为C的4名学生记为C1，C2，C3，C4，成绩等级为D的2名学生记为D1，D2，‎ 则随机抽取2名学生的基本事件有{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个基本事件.‎ 其中“至少有1名学生成绩等级为D”包含{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共9个基本事件.‎ ‎∴抽取的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率为P＝＝.‎ ‎（45分钟）‎ 限时训练 经典常规题 ‎1.(2017·山东卷)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.‎ ‎(1)若从这6个国家中任选2个 ，求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.‎ ‎【解题思路】(1)列举从6个国家中任选两个国家的所有可能结果，并找出这2个国家都是亚洲国家的基本事件； (2) 列举从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个的所有可能结果，并找出这2个国家包括A1但不包括B1的基本事件，这两问考察的都是古典概型.‎ ‎【答案】解　(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个.‎ 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个.‎ 则所求事件的概率为P＝＝.‎ ‎(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个.‎ 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝.‎ 高频易错题 ‎1.(2016·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值；‎ ‎(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值；‎ ‎(3)求续保人本年度的平均保费的估计值.‎ ‎【解题思路】(1)计算事件A的频率，以频率估计P(A)；(2)计算事件B的频率，以频率估计P(B)；(3)计算保费的平均值.‎ ‎【答案】解　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.‎ ‎(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.‎ ‎(3)由所给数据得：‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ 调查的200名续保人的平均保费为：‎ ‎0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.‎ 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.‎ ‎2.某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：‎ 支持 保留 不支持 ‎30岁以下 ‎900‎ ‎120‎ ‎280‎ ‎30岁以上(含30岁)‎ ‎300‎ ‎260‎ ‎140‎ ‎(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研(不同态度的群体中亦按年龄分层抽样)，已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人被抽取；‎ ‎(2)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率.‎ ‎【解题思路】(1)分层抽样是按比例抽取，根据比例值相等列式；(2)列举在这6人中任意选取2人的所有可能结果，并找出至少有1人在30岁以上的基本事件.‎ ‎【答案】解　(1)设在“支持”的群体中抽取n个人，其中年龄在30岁以上的人被抽取x人，‎ 由题意＝，得n＝60，则x＝n＝n＝15人.‎ 所以在“支持”的群体中，年龄在30岁以上的人有15人被抽取.‎ ‎(2)设所选的人中，有m人年龄在30岁以下，则＝＝，∴m＝4.‎ 即从30岁以下抽取4人，30岁以上(含30岁)抽取2人，分别记作A1，A2，A3，A4，B1，B2，则从中任取2人的所有基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15个.‎ 其中至少有1人在30岁以上的基本事件有9个，分别是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2).‎ 所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为＝.‎ 精准预测题 ‎1.在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上(含80)的同学获奖.按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示.‎ ‎(1)求a的值，并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；‎ ‎(2)填写下面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？‎ 文科生 理科生 合计 获奖 ‎5‎ 不获奖 合计 ‎200‎ 附表及公式：K2＝ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【解题思路】(1)根据频率和为1计算a，再计算其平均值；(2)完成2*2列联表，并计算K2，对比表格中数据确定结果.‎ ‎【答案】解　(1)a＝[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]÷10＝0.025，‎ ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69.‎ ‎(2)文科生人数为200×＝50，获奖学生人数为200×(0.015＋0.005)×10＝40，故2×2列联表如下：‎ 文科生 理科生 合计 获奖 ‎5‎ ‎35‎ ‎40‎ 不获奖 ‎45‎ ‎115‎ ‎160‎ 合计 ‎50‎ ‎150‎ ‎200‎ 因为K2＝＝≈4.167>3.841，‎ 所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”.‎ ‎2.(2017·沈阳市质检)全世界越来越关注环境保护问题，辽宁省某监测站点于2017年8月某日起连续x天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下：‎ 空气质量指数/(μg/m3)‎ ‎0～50‎ ‎51～100‎ ‎101～150‎ ‎151～200‎ ‎201～250‎ 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 ‎20‎ ‎40‎ y ‎10‎ ‎5‎ ‎(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；‎ ‎(2)在空气质量指数分别为51～100和151～200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“2天空气都为良”发生的概率.‎ ‎【解题思路】(1)根据表中数据分别计算x，y，完成频率分布直方图；(2)以分层抽样确定51～100和151～200中抽取的天数，再列出中任意选取2天的所有可能情况，找出事件A“2天空气都为良”的所有基本事件.‎ ‎【答案】解　(1)∵0.004×50＝，∴x＝100.‎ ‎∵20＋40＋y＋10＋5＝100，∴y＝25.‎ ＝0.008，＝0.005，＝0.002，＝0.001.‎ ‎(2)在空气质量指数为51～100和151～200的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为51～100的4天分别记为a，b，c，d；将空气质量指数为151～200的1天记为e，‎ 从中任取2天的基本事件分别为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个，‎ 其中事件A“2天空气都为良”包含的基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6个，‎ 所以事件A“2天空气都为良”发生的概率是P(A)＝＝.‎