数学理卷·2018届河北省张家口市万全县万全中学高二下学期期初考试（2017-02）

数学理卷·2018届河北省张家口市万全县万全中学高二下学期期初考试（2017-02）

万全中学2016-2017学年第二学期期初考试 高二理数 一、选择题(本大题共12小题，共60.0分) ‎ ‎1.下列命题是真命题的是（　　） A.a＞b是ac2＞bc2的充要条件    B.a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 C.∃∈R，e≤0    D.若p∨q为真命题，则p∧q为真 ‎2.设，其中x，y是实数，则 A.1 B. C. D.2 ‎ ‎3.已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为-=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（　　） A.x±2y=0   B.2x±y=0   C.x±4y=0   D.4x±y=0‎ ‎4.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A. B. C. D. ‎5.已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 A.(–1,3) B.(–1,) C.(0,3) D.(0,)‎ ‎6.在区间（0，2]里任取两个数x、y，分别作为点P的横、纵坐标，则点P到点A（-1，1）的距离小于的概率为（　　） A. B. C.  D.‎ ‎7.过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D.‎ ‎8．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.若函数f（x）=-eax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（　　） A.4      B.2      C.2      D.‎ ‎10.如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（　　） A. B. C. D.‎ ‎11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，A1A=2，则直线BC1到平面D1AC的距离为（　　） A.      B.1      C.      D.‎ ‎12.双曲线C：-=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是（，1），那么直线PA1斜率的取值范围是（　　） A.（，） B.（，） C.（，） D.（，）‎ 二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)‎ ‎13．已知，，，若向量共面，则 ． ‎ ‎14.已知，则 = ______ ．‎ ‎15.若曲线上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是 ______ ．‎ ‎16.= ______.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)‎ ‎17.已知命题p：关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根，命题q：函数f（x）=lg（mx2-x+m）的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围． ‎ ‎18. 已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=AD=2， E是SC的中点． （Ⅰ）求异面直线DE与AC所成角； （Ⅱ）求二面角B-SC-D的大小． ‎ ‎19.二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a≠0）． （1）若a∈{-2，-1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函数f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点的概率； （2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），求函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率． ‎ ‎20.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1． （Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE； （Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围． ‎ ‎21.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=3． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围． ‎ ‎22.已知函数f（x）=ln（x-1）+（a∈R） （Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间； （Ⅱ）如果当x＞1，且x≠2时，恒成立，求实数a的范围． ‎ 答案和解析 ‎【答案】 1.B   2.B    3.A    4.B    5.A   6.D    7.B    8.C    9.D    10.C    11.D    12.D     13.3 14.4 15.（-ln2，2） 16. 17.解：∵方程x2+2x+m=0没有实数根， ∴△=4-4m＜0，解得m＞1，即命题p：m＞1， ∵函数f（x）=lg（mx2-x+m）的定义域为R， ‎ ‎∴mx2-x+m＞0对x∈R恒成立，即，解得m＞2，即命题q：m＞2， 又∵若p或q为真命题，p且q为假命题，∴p和q一真一假， 若p真q假，则1＜m≤2， 若p假q真，则m≤1且m＞2，无解， 综上，实数m的取值范围是1＜m≤2． 18. 解：（1）90°‎ ‎(2) 120°‎ ‎ 19.解：（1）由题意可得所有的（a，b）共有4×3=12个，根据f（x）在（-1，0）内有且只有一个零点，且f（0）=1， 故有f（-1）=a-2b+1＜0，即a＜2b-1，故满足条件的（a，b）有（-2，0）、（-2，-1）、（-2，2）、 （-1，1）、（-1，2）、（2，2），共计6个， ∴所求事件的概率为=． （2）若a∈（0，1），b∈（-1，1），函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数，即-≥-1，求得b≤a． 而所有的点（a，b）构成的区域为{（a，b）|0＜a＜1，且-1＜b＜1}，如图所示： 故函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数的概率为==． ‎ ‎20.解：（I）证明：在梯形ABCD中， ∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°， ∴AB=2 ∴AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos60°=3 ∴AB2=AC2+BC2 ∴BC⊥AC ‎ ‎∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD ∴BC⊥平面ACFE （II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系， 令，则，B（0，1，0），M（λ，0，1） ∴ 设为平面MAB的一个法向量， 由得 取x=1，则， ∵是平面FCB的一个法向量 ∴ ∵∴当λ=0时，cosθ有最小值， 当时，cosθ有最大值． ∴． 21.解：（Ⅰ）由题意知，，则， ∴， 所以c=1．所以椭圆的方程为． （Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知；      ②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 且设直线AB的方程为y=k（x-1）， 则直线CD的方程为． 将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，‎ ‎ 所以．    同理，．  所以=， ∵当且仅当k=±1时取等号    ∴ 综合①与②可知， 22.解：（Ⅰ）当a=3时f′（x）=＞0，即x2-6x+6＞0，又定义域为（1，+∞）， 解得1＜x＜3-或x＞3+，由f′（x）＜0，解得3-＜x＜3+． 所以单调增区间为（1，3-）和（3+，+∞）；单调减区间为（3-，3）； （Ⅱ）可化为[ln（x-1）+-a]＞0（※） 设h（x）=f（x）-a，由题意可知函数h（x）的定义域为（1，+∞）， h′（x）=-=， 设g（x）=x2-2ax+2a，△=4a2-8a=4a（a-2）， ①当a≤2时，h（x）在（1，+∞）上是增函数， 若x∈（1，2）时，h（x）＜h（2）=0；所以h（x）＞0， 若x∈（2，+∞）时，h（x）＞h（2）=0．所以h（x）＞0， 所以，当a≤2时，※式成立； ②当a＞2时，x1=a-＞1， h（x）在（x1，2）是减函数，所以h（x）＞h（2）=0，※式不成立． 综上，实数a的取值范围是（-∞，2]．‎