2017届高考文科数学（全国通用）二轮适考素能特训：专题3-3-2中档题专练
二、中档题专练
(一)
1．[2016·长春监测]已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－.
(1)求函数y＝f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f＝，且sinB＋sinC＝，求△ABC的面积．
解 (1)f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－＝sin2x＋cos2x＝2sin，
因此f(x)的最小正周期为T＝＝π.
f(x)的单调递减区间为2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)．
(2)由f＝2sin＝2sinA＝，又A为锐角，所以A＝.
由正弦定理可得2R＝＝＝，
sinB＋sinC＝＝，
则b＋c＝×＝13，由余弦定理可知，cosA＝＝＝，可求得bc＝40，
故S△ABC＝bcsinA＝10.
2．[2016·开封一模]如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝AB＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．
(1)求证：AD⊥平面BCD；
(2)求三棱锥C－ABD的高．
解 (1)证明：∵平面ADC⊥平面ABC，且AC⊥BC，
∴BC⊥平面ACD，即AD⊥BC，又AD⊥CD，
∴AD⊥平面BCD.
(2)由(1)得AD⊥BD，
∴S△ADB＝2，∵三棱锥B－ACD的高BC＝2，S△ACD＝2，∴×2h＝×2×2，
∴可解得h＝.
3．[2016·河南质检]某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本(样本容量为n)进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60)，[90,100]的数据)．
(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率．
解 (1)由题意可知，样本容量n＝＝50，
y＝＝0.004，
x＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.
(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，记这5株分别为a1，a2，a3，a4，a5，高度在[90,100]内的株数为2，记这2株分别为b1，b2.
抽取2株的所有情况有21种，分别为：
(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(b1，b2)．
其中2株的高度都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)．
∴所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率P＝1－＝.
(二)
1．[2016·云南统检]设数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n,3an－2Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：Sn＋2Sn
0，故q＝2，从而an＝＝22n－1，即数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)由(1)知a1＝2，数列{an}是以22为公比的等比数列，
故Sn＝＝(22n－1)．
因此不等式Sk≥30(2k＋1)可化为(22k－1)≥30(2k＋1)，
即(2k－1)(2k＋1)≥30(2k＋1)，
因为2k＋1>0，所以2k≥46，即k≥log246.
又510.828，
所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关．
(2)设其他学生为丙和丁，4人分组的情况如下表：
小组
1
2
3
4
5
6
收集成绩
甲乙
甲丙
甲丁
乙丙
乙丁
丙丁
数据处理
丙丁
乙丁
乙丙
甲丁
甲丙
甲乙
分组的情况总共有6种，学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理占2种，
所以学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理的概率P＝＝.
3．[2016·广州模拟]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是C1C上一点．
(1)当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF；
(2)若FD⊥B1D，求三棱锥B1－ADF的体积．
解 (1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，
所以AD⊥BC.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
因为B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，
所以AD⊥B1B.
因为BC∩B1B＝B，
所以AD⊥平面B1BCC1.
因为B1F⊂平面B1BCC1，
所以AD⊥B1F.
在矩形B1BCC1中，因为C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，
所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，
所以∠CFD＝∠C1B1F，所以∠B1FD＝90°.
(或通过计算FD＝B1F＝，B1D＝，得到△B1FD为直角三角形)
所以B1F⊥FD.
因为AD∩FD＝D，
所以B1F⊥平面ADF.
(2)由(1)可得AD⊥平面B1DF，AD＝2，
因为D是BC的中点，所以CD＝1.
在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3，
所以B1D＝＝.
因为FD⊥B1D，所以Rt△CDF∽Rt△BB1D，
所以＝，所以DF＝×＝，
所以VB1－ADF＝S△B1DF·AD＝××××2＝.
(四)
1．[2016·贵州八校联考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a＋b，sinA－sinC)，向量n＝(c，sinA－sinB)，且m∥n.
(1)求角B的大小；
(2)设BC中点为D，且AD＝，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积．
解 (1)因为m∥n，故有(a＋b)(sinA－sinB)－c(sinA－sinC)＝0
由正弦定理可得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，即a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理可知cosB＝＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)设∠BAD＝θ，则在△BAD中，
由B＝可知θ∈，
由正弦定理及AD＝有＝＝＝2；
所以BD＝2sinθ，AB＝2sin＝cosθ＋sinθ，
所以a＝2BD＝4sinθ，c＝AB＝cosθ＋sinθ，
从而a＋2c＝2cosθ＋6sinθ＝4sin，
由θ∈可知θ＋∈，所以当θ＋＝，
即θ＝时，a＋2c的最大值为4；
此时a＝2，c＝，所以S＝acsinB＝.
2．如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.
(1)求证：AC⊥平面BCE；
(2)求三棱锥E－BCF的体积．
解 (1)证明：过点C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC，所以四边形ADCM为矩形，所以AM＝MB＝2，
又AD＝2，AB＝4，所以AC＝2，CM＝2，BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.
又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，且BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
(2)因为AF⊥平面ABCD，所以AF⊥CM，
又CM⊥AB，AF⊂平面ABEF，
AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，所以CM⊥平面ABEF.
VE－BCF＝VC－BEF＝××BE×EF×CM＝×2×4×2＝.
3．电影《功夫熊猫3》预计在2016年1月29日上映．某地电影院为了了解当地影迷对票价的看法，进行了一次调研，得到了票价x(单位：元)与渴望观影人数y(单位：万人)的结果如下表：
x(单位：元)
30
40
50
60
y(单位：万人)
4.5
4
3
2.5
(1)若y与x具有较强的相关关系，试分析y与x之间是正相关还是负相关；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(3)根据(2)中求出的线性回归方程，预测票价定为多少元时，能获得最大票房收入．
参考公式：＝，＝－.
解 (1)由表中数据易知，y随x的增大而减小，故y与x之间是负相关．
(2)由表中数据可得＝45，＝3.5，
xiyi－4 ＝－35，x－42＝500，
则＝＝－0.07，＝3.5＋0.07×45＝6.65，
所以，所求线性回归方程为＝－0.07x＋6.65.
(3)根据(2)中的线性回归方程，若票价为x元，则渴望观影人数为(－0.07x＋6.65)万人，
可预测票房收入为z＝x(－0.07x＋6.65)＝－0.07x2＋6.65x，
易得，当x＝47.5时，z取得最大值，即票价定为47.5元时，能获得最大票房收入．
