【推荐】专题2-1+曲线与方程-试题君之K三关2017-2018学年高二数学人教版（选修2-1）x

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第二章 圆锥曲线与方程 ‎2.1 曲线与方程 ‎1．曲线与方程的概念 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：‎ ‎（1）曲线上点的坐标都是这个方程的________； ‎ ‎（2）以这个方程的________为坐标的点都是曲线上的点．‎ 那么，这个方程叫做________；这条曲线叫做________．‎ ‎2．坐标法 借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的________，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质．这就是坐标法．‎ 数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何，解析几何研究的主要问题是：‎ ‎（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；‎ ‎（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质．‎ ‎3．求曲线方程的一般步骤 求曲线的方程，一般有下面几个步骤：‎ ‎（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； ‎ ‎（2）写出适合条件p的点M的集合；‎ ‎（3）用坐标表示条件________，列出方程；‎ ‎（4）化方程为最简形式；‎ ‎（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． ‎ 一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程．‎ K知识参考答案：‎ ‎1．解 解 曲线的方程 方程的曲线 2．集合或轨迹 3．p(M)‎ K—重点 曲线与方程的概念、坐标法 K—难点 求曲线的方程步骤及常用方法 K—易错 混淆“轨迹”与“轨迹方程”导致错误 点与方程表示的曲线的位置关系的判断 如果曲线C的方程是，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是．‎ 它可用于判定点是否在曲线上：如果点的坐标满足曲线方程，则说明点在曲线上，否则说明点不在曲线上．‎ ‎（1）已知方程x2＋y2－2y－3＝0，判断点A(2，1)，B(1，3)是否在此方程表示的曲线上；‎ ‎（2）若点C(m＋2，m)在方程(x－2)2＋y2＝18表示的曲线上，求实数m的值；‎ ‎（3）若方程x2＋xy－ny＋6＝0表示的曲线经过点(2，5)，求n的值．‎ ‎【答案】（1）点A在方程表示的曲线上，点B不在方程表示的曲线上；（2）m＝－3或3；（3）n＝4．‎ ‎【解析】（1）因为22＋12－2×1－3＝0，12＋32－2×3－3＝1≠0，‎ 所以点A(2，1)在方程x2＋y2－2y－3＝0表示的曲线上；‎ 点B(1，3)不在方程x2＋y2－2y－3＝0表示的曲线上．‎ ‎（2）因为点C(m＋2，m)在方程(x－2)2＋y2＝18表示的曲线上，‎ 所以(m＋2－2)2＋m2＝18，即2m2＝18，即m2＝9，解得m＝－3或3．‎ ‎（3）因为方程x2＋xy－ny＋6＝0表示的曲线经过点(2，5)，‎ 所以22＋2×5－5n＋6＝0，解得n＝4．‎ ‎【名师点睛】判断点与曲线的位置关系需从曲线与方程的定义入手：‎ ‎（1）要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；‎ ‎（2）若所给点在已知曲线上，则点的坐标满足已知曲线的方程，由此可求参数的值．‎ 判断曲线与方程的关系及曲线类型 曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系，而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形．‎ ‎（1）判断过点(2，1)且平行于y轴的直线l与方程|x|＝2之间的关系；‎ ‎（2）判断命题“以坐标原点为圆心，半径为1的圆的方程是”是否正确；‎ ‎（3）求方程(x－y)＝0所表示的曲线．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）不正确；（3）射线和直线．‎ ‎【解析】（1）过点(2，1)且平行于y轴的直线l与方程|x|＝2之间的关系只具备定义中的条件（1）而不具备条件（2），因此，方程|x|＝2不是直线l的方程，直线l只是方程|x|＝1所表示图形的一部分．‎ ‎（2）不正确．‎ 设(x0，y0)是方程的解，则，即．‎ 两边同开平方取算术平方根，得，即点(x0，y0)到原点的距离等于1，‎ 点(x0，y0)是这个圆上的点，因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．‎ 但是，易知以坐标原点为圆心，半径为1的圆上一点(0，－1)，却不是的解，‎ 所以命题“以坐标原点为圆心，半径为1的圆的方程是”不正确．‎ ‎（3）根据题意可得或，即或，‎ 故原方程表示的是射线和直线．‎ ‎【名师点睛】判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形，化为我们熟悉的形式后根据方程的特征进行判断．变形过程一定要注意原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线，另外，变形的方法有配方法、因式分解等．‎ 求曲线的方程 求曲线方程的常用方法：‎ 方法一 直接法．根据题中的已知条件能直接建立所求曲线上的动点(x，y)的横纵坐标x，y满足的关系式，从而得到曲线方程．这是求曲线方程最基本的方法． ‎ 方法二 定义法．若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出曲线方程．‎ 方法三 代入法（即相关点法）．若动点P(x，y)依赖于另一个动点Q(x1，y1)的变化而变化，且已知动点Q(x1，y1)满足的条件或轨迹方程，则可用x，y表示x1，y1，并代入已知条件或轨迹方程，整理即得动点P的轨迹方程．‎ ‎（1）已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，过原点O作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程；‎ ‎（2）已知在中，|BC|＝6，求直角顶点A的轨迹方程．‎ ‎【答案】（1）(x－1)2＋y2＝1 (去掉原点)；（2）x2＋y2＝9 ()．‎ ‎【解析】（1）方法1(直接法)：如图1，连接CQ，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°．‎ 设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋[(x－2)2＋y2]＝4， ‎ 所以中点Q的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1 (去掉原点)．‎ 方法2(定义法)：如图2所示，连接CQ，‎ 因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则点Q在以OC为直径的圆上，‎ 故点Q的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1 (去掉原点)．‎ 方法3(代入法)：设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，得 ，即，‎ 又(x1－2)2＋y12＝4，所以(2x－2)2＋4y2＝4，即(x－1)2＋y2＝1 (去掉原点)．‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎（2）以BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，‎ 则有B(－3，0)， C(3，0)，设顶点A(x，y)．‎ 方法1：由是直角三角形可知|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，‎ 即(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝62，化简得x2＋y2＝9．‎ 依题意可知，．‎ 故所求直角顶点A的轨迹方程为x2＋y2＝9 ()．‎ 方法2：由是直角三角形可知AC⊥BC，所以，则，‎ 化简得直角顶点A的轨迹方程为x2＋y2＝9 ()．‎ 方法3：由是直角三角形可知|OC|＝|OA|＝|OB|，且点A与点B，C不重合，‎ 所以x2＋y2＝32()，所以直角顶点A的轨迹方程为x2＋y2＝9 ()． ‎ ‎【名师点睛】（1）求曲线的方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程，一般步骤为：建系、设点、列式、化简、检验；（2）求曲线方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性；（3）由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．‎ 混淆“轨迹”与“轨迹方程”导致错误 如图，已知点，直线，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且，求动点P的轨迹．‎ ‎【错解】设点P(x，y)，则Q(－1，y)，‎ 由，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得y2＝4x．‎ ‎【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程，而不是轨迹，混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别．‎ ‎【正解】设点P(x，y)，则Q(－1，y)，‎ 由，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得y2＝4x．‎ 故动点P的轨迹为焦点坐标为(1，0)的抛物线．‎ ‎1．已知直线和曲线，则点满足 A．在直线上，但不在曲线上 B．既在直线上，也在曲线上 C．既不在直线上，也不在曲线上 D．不在直线上，但在曲线上 ‎2．已知点，，动点满足，则点的轨迹方程是 A． B．‎ C． D．‎ ‎3．方程表示的曲线是图中的 ‎4．“曲线上的点的坐标都是方程的解”是“曲线的方程是”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．平面上有三点，若，则动点的轨迹方程是 A． B．‎ C． D．‎ ‎6．已知，点在曲线上，则的值为_____________．‎ ‎7．在等腰中，，已知点，，则点的轨迹方程为 ‎_____________．‎ ‎8．已知两曲线的方程为C1：，C2：，判断两曲线有无交点，若有交点，求出交点坐标；若无交点，请说明理由．‎ ‎9．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且．求点的轨迹方程．‎ ‎10．方程表示的曲线是 A．一条直线 B．两条直线 C．一个圆 D．两个半圆 ‎11．如果曲线上的点满足方程，则下列说法正确的是 A．曲线的方程是 B．方程表示的曲线是 C．坐标满足方程的点在曲线上 D．坐标不满足方程的点不在曲线上 ‎12．已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎13．曲线与的交点坐标是 A．(2，1) B．(±2，1)‎ C．(2，1)或(，5) D．(±2，1)或(，5)‎ ‎14．已知直线，为上的动点，为坐标原点，点分线段为两部分，则点的轨迹方程为_____________．‎ ‎15．如图所示，已知，两点分别在轴和轴上运动，点为延长线上一点，并且满足，，试求动点的轨迹方程．‎ ‎16．已知坐标平面上一点与两个定点，，且．‎ ‎（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；‎ ‎（2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为，求直线的方程．‎ ‎17．（2011北京理）曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C过坐标原点；‎ ‎②曲线C关于坐标原点对称；‎ ‎③若点P在曲线C上，则的面积不大于．‎ 其中，所有正确结论的序号是______________．‎ ‎18．（2016四川）在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为 ‎；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，现有下列命题：‎ ‎①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A．‎ ‎②单位圆上的“伴随点”还在单位圆上．‎ ‎③若两点关于x轴对称，则它们的“伴随点”关于y轴对称．‎ ‎④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．‎ 其中的真命题是______________．‎ ‎19．（2014新课标全国I）已知点P(2，2)，圆C：，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．‎ ‎（1）求M的轨迹方程；‎ ‎（2）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及的面积．‎ ‎20．（2017新课标全国II理）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x 轴的垂线，垂足为N，点P满足．‎ ‎（1）求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）设点Q在直线上，且．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． ‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】把的坐标代入直线方程和曲线方程验证即可．故选A．‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】分，；，；，；，四种情形去绝对值号，即可作出判断，其图形为条线段围成的图形，故选D．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】“曲线的方程是”包括“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”两个方面，所以“曲线上的点的坐标都是方程的解”是“曲线的方程是”的其中一个条件，所以后者能推出前者，前者推不出后者，是必要不充分条件．故选B．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】∵，，‎ ‎∵，∴，∴，即．故选A．‎ ‎6．【答案】或 ‎【解析】由，得．又，所以或．‎ ‎7．【答案】（除去点和）‎ ‎【解析】设点的坐标为，因为，所以，整理得．因为三点不共线，所以要除去与确定的直线的交点，．故点的轨迹方程为（除去点和）．‎ ‎8．【答案】曲线C1：与C2：无交点．‎ ‎【解析】由方程组消去y得③，‎ 因为，所以方程③无实数解，从而方程组无实数解，‎ 因此曲线C1：与C2：无交点．‎ ‎9．【答案】‎ 由，可得．‎ 故点的轨迹方程为．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】由题意，得，即或，方程两边平方整理得，当时，是以为圆心，以为半径的右半圆；当时，是以为圆心，以为半径的左半圆．‎ 综上，方程表示的曲线是以为圆心，以为半径的右半圆与以为圆心，以 为半径的左半圆合起来的图形，故选D．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】曲线的方程是需满足以下两个条件：①曲线上的点都满足方程；②满足方程的点都在曲线上．所以A，B，C都不完全正确．因为曲线上的点都满足方程，所以若点坐标不满足方程，则该点也不会在曲线上，D正确，故选D．‎ ‎12．【答案】B ‎【解析】设，由可得，整理得，即．所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，故点的轨迹所包围的图形的面．故选B．‎ ‎13．【答案】B ‎【解析】将代入，得，即，解得或，由于不符合题意，应舍去，所以，则，解得．故曲线与的交点坐标是(±2，1)，故选B．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】设点的坐标为，点的坐标为．∵分线段为，∴，‎ 即，∴，即，∵点在直线上，‎ ‎∴．把，代入上式并化简，得．故点的轨迹方程为．‎ ‎15．【答案】．‎ 又，∴，．‎ 由，得，∴，得，‎ 故动点的轨迹方程为．‎ ‎16．【答案】（1），轨迹是以为圆心，以为半径的圆；（2）或．‎ ‎【解析】（1）由，得，‎ 化简得，‎ 所以点的轨迹方程是，该轨迹是以为圆心，以为半径的圆．‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，，此时所截得的线段的长为，‎ 所以符合题意．‎ 当直线的斜率存在时，设的方程为，‎ 即，‎ 圆心到的距离，由题意，得，解得．‎ 所以直线的方程为，即．‎ 综上，直线的方程为或．‎ ‎18．【答案】②③‎ ‎【解析】对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故①错误；‎ 对于②，令单位圆上点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故②正确；‎ 对于③，设曲线关于轴对称，则与曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又伴随曲线分别为与的图象关于轴对称，所以③正确；对于④，在直线上取三个点：，，，得其伴随点分别为，，，显然这三个点不在一条直线上，故④错误．所以真命题为②③．‎ ‎19．【答案】（1）；（2）．‎ ‎（2）由（1）可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．‎ 由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，‎ 又P在圆N上，从而ON⊥PM．‎ 因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为，‎ 故直线l的方程为．‎ 又|OM|＝|OP|＝，点O到直线l的距离为，|PM|＝，‎ 所以的面积为．‎ ‎20．【答案】（1） ；（2）证明见解析．‎ ‎【思路分析】（1）设出点P的坐标，利用得到点P与点M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为；（2）利用可得坐标之间的关系：，结合（1）中的结论整理可得 ，即，据此即可得出结论．‎ ‎【解析】（1）设，，则．‎ 由得．‎ 因为在C上，所以．‎ 因此点P的轨迹方程为．‎ ‎（2）由题意知．设，‎ 则，‎ ‎．‎ 由得，‎ 又由（1）知，故．‎ 所以，即．‎ 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F．‎ ‎【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：‎ ‎（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．‎ ‎（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．‎ ‎（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．‎ ‎（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎