【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版高考专题突破二高考中的三角函数与解三角形问题学案

【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版高考专题突破二高考中的三角函数与解三角形问题学案

高考专题突破二　高考中的三角函数与解三角形问题 题型一　三角函数的图象和性质 例1 (2016·山东)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．‎ 解　(1)由f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2‎ ‎＝2sin2x－(1－2sin xcos x)‎ ‎＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1‎ ‎＝sin 2x－cos 2x＋－1‎ ‎＝2sin＋－1.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ 所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，‎ 把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，‎ 得到y＝2sin＋－1的图象，‎ 再把得到的图象向左平移个单位长度，‎ 得到y＝2sin x＋－1的图象，‎ 即g(x)＝2sin x＋－1.‎ 所以g＝2sin ＋－1＝.‎ 思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．‎ 跟踪训练1 已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：‎ ‎(1)函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)函数f(x)的单调区间；‎ ‎(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．‎ 解　(1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ‎＝5＝5sin，‎ 所以函数的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．‎ 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．‎ ‎(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．‎ 由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，‎ 所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．‎ 题型二　解三角形 例2 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.‎ ‎(1)求角A和边长c；‎ ‎(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．‎ 解　(1)∵sin A＋cos A＝0，‎ ‎∴tan A＝－，‎ 又00，故A＝2.‎ 周期T＝×＝×＝π，‎ 又T＝＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，‎ 由题干图象知f＝2sin＝2，‎ ‎∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝－＋2kπ，k∈Z，‎ 又|φ|<，∴φ＝－，故f(x)＝2sin.‎ ‎(2)∵x∈，∴2x－∈，‎ ‎∴sin∈，2sin∈[－1，2].‎ 当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值，‎ f(x)max＝f＝2.‎ 当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(0)＝－1.‎ ‎2．设函数f(x)＝2tan ·cos2－2cos2＋1.‎ ‎(1)求f(x)的定义域及最小正周期．‎ ‎(2)求f(x)在[－π，0]上的最值．‎ 解　(1)f(x)＝2sin cos －cos ‎＝sin －cos＝sin －cos ＋sin ＝sin.‎ 由≠＋kπ(k∈Z)，‎ 得f(x)的定义域为{x|x≠2π＋4kπ(k∈Z)}，‎ 故f(x)的最小正周期为T＝＝4π.‎ ‎(2)∵－π≤x≤0，∴－≤－≤－.‎ ‎∴当－∈，‎ 即x∈时，f(x)单调递减，‎ 当－∈，‎ 即x∈时，f(x)单调递增，‎ ‎∴f(x)min＝f＝－，‎ 又f(0)＝－，f(－π)＝－，‎ ‎∴f(x)max＝f(0)＝－.‎ ‎3．已知函数f(x)＝sin＋sin－2cos2，x∈R(其中ω>0)．‎ ‎(1)求函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调递增区间．‎ 解　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1)‎ ‎＝2－1＝2sin－1.‎ 由－1≤sin≤1，‎ 得－3≤2sin－1≤1，‎ 所以函数f(x)的值域为[－3,1]．‎ ‎(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，所以＝π，即ω＝2.‎ 所以f(x)＝2sin－1，‎ 再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ 所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎4．(2016·北京)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.‎ ‎(1)求B的大小；‎ ‎(2)求cos A＋cos C的最大值．‎ 解　(1)由a2＋c2＝b2＋ac，得a2＋c2－b2＝ac.‎ 由余弦定理，得cos B＝＝＝.‎ 又00)，‎ 则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，‎ 即＝25x2＋×49x2－2×5x××7x×，‎ 解得x＝1(负值舍去)，所以a＝7，c＝5，‎ 故S△ABC＝acsin B＝10.‎ ‎6．已知函数f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋t(ω>0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为，图象过点(0,0)．‎ ‎(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间；‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(‎ 纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若函数F(x)＝g(x)＋k在区间上有且只有一个零点，求实数k的取值范围．‎ 解　(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋t＝2sin＋t，‎ f(x)的最小正周期为＝，∴ω＝2，‎ ‎∵f(x)的图象过点(0,0)，∴2sin ＋t＝0，‎ ‎∴t＝－1，即f(x)＝2sin－1.‎ 令2kπ－≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 求得－≤x≤＋，k∈Z，‎ 故f(x)的单调增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，可得 y＝2sin－1＝2sin－1的图象，‎ 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2sin－1的图象．‎ ‎∵x∈，∴2x－∈，‎ ‎∴sin∈，‎ 故g(x)＝2sin－1在区间上的值域为.‎ 若函数F(x)＝g(x)＋k在区间上有且只有一个零点，‎ 由题意可知，函数g(x)＝2sin－1的图象和直线y＝－k有且只有一个交点，‎ 根据图象(图略)可知，k＝－1或1－

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