2018-2019学年重庆市部分区县高二上学期期末测试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年重庆市部分区县高二上学期期末测试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年重庆市部分区县高二上学期期末测试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角是（）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】算出斜率后可得倾斜角.‎ ‎【详解】‎ 直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，‎ 因为，所以，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的倾斜角的计算，属于基础题.‎ ‎2．在一个命题和它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，真命题的个数不可能是（ ）‎ A．0 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据四种命题间的关系，可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 在一个命题和它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，互为逆否命题的命题有2对，根据互为逆否命题的两个命题真假性相同，这四个命题中真命个数可以为0、2或4.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查四种命题间的关系，考查学生的推理能力，属于基础题.‎ ‎3．命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据全称命题的否定为特称命题，写出答案即可.‎ ‎【详解】‎ 命题“，”的否定是，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 全程命题：，，它的否定：，.‎ ‎4．已知空间中的三条直线，，满足且，则直线与直线的位置关系是（ ）‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或相交或异面 ‎【答案】D ‎【解析】画出图形，在直三棱柱中，列举对应情况，可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 如图，直三棱柱中，侧棱底面，‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，异面，‎ 所以，空间中的三条直线，，满足且，则直线与直线的位置关系是平行或相交或异面.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中直线的位置关系，考查学生的空间想象能力与推理能力，属于基础题.‎ ‎5．若圆的半径为，则实数（ ）‎ A． B．-1 C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意，圆的方程可化为，‎ 所以半径为，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.‎ ‎6．已知直线与平面，，则下列说法正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】结合空间中点、线、面的位置关系，对四个选项逐个分析，即可选出答案.‎ ‎【详解】‎ A、B选项中，直线都可以在平面内，故错误；‎ C选项中，内要有两条相交直线均与平行，才有，故错误；‎ D选项中，内有一条直线与垂直，则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点、线、面的位置关系，考查学生的空间想象能力，属于基础题.‎ ‎7．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图为正方形，则该几何体的表面积是（ ）‎ A．1 B．2 C． D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三视图画出直观图，进而求出该几何体的表面积即可.‎ ‎【详解】‎ 该几何体的直观图为如图所示的正四棱锥，且，，其中于，故表面积为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图，考查几何体表面积的求法，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.‎ ‎8．已知某圆柱形容器的轴截面是边长为2的正方形，容器中装满液体，现向此容器中放入一个实心小球，使得小球完全被液体淹没，则此时容器中所余液体的最小容量为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】小球恰好与圆柱侧面和底面同时相切时，容器中所余液体最小，求出圆柱的体积及小球的体积，相减可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 圆柱的轴截面是边长为2的正方形，可知圆柱底面半径为1，母线长为2，故圆柱体积为，‎ 当小球与圆柱的侧面、上下底面都相切时所余液体容量最小，此时，小球的体积为，所余液体容量为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆柱的性质，考查圆柱的内切球问题，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎9．条件甲：关于的不等式的解集为空集，条件乙：，则甲是乙的（ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分别求出条件甲、乙所对应的的关系式，比较两个关系式所表示的图形，可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 由题意，当时，不等式的解集为空集，‎ 当不都为0时，，，.‎ 因为的解集为空集，所以，即.‎ 如下图，表示以原点为圆心，半径为1的圆及其内部，表示为圆内接正方形及其内部，所以甲是乙的必要不充分条件.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分性与必要性的判断，考查三角函数的恒等变换，考查不等式表示的平面区域，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.‎ ‎10．已知椭圆：的左焦点为，点，为椭圆上一动点，则的周长的最小值为（ ）‎ A．3 B．4 C．7 D．10‎ ‎【答案】B ‎【解析】计算可得，，可知的周长为，结合，可求得周长的最小值.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的右焦点为，，点在椭圆内，点，且，，，‎ 的周长为，当且仅当位于射线与椭圆的交点时，等号成立，所以周长的最小值为4.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的性质，考查三角形周长，考查学生的计算求解能力，属于中档题.‎ ‎11．椭圆：的左右焦点分别为，，抛物线以为焦点，且椭圆与抛物线在第一象限交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线的准线与轴交点为，过点向直线作垂线，垂足为，设，可得，从而可表示的坐标，分别代入抛物线及椭圆方程，可得到的关系式，进而可求出离心率.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的右焦点坐标为，则抛物线方程为，‎ 抛物线的准线与轴交点为，过点向直线作垂线，垂足为，‎ 设，由抛物线的定义知，，‎ 因为，所以，，，‎ 则，代入抛物线方程得，整理得，即，‎ 故，又点在椭圆上，则，整理得，即，所以，又，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离心率的求法，考查椭圆与抛物线的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.‎ ‎12．斜棱柱中，，分别为棱，的中点，过，，三点的平面将三棱柱分为两部分，则这两部分体积之比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】在上取靠近的四等分点，连接，，易知，则梯形为截面，设斜棱柱的体积为，分别求出截得的两部分的体积，即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 在上取靠近的四等分点，连接，，易知，故梯形为截面，‎ ‎，设斜棱柱的体积为，‎ 则，‎ 又，故，‎ 故，‎ ‎∴两部分的体积比为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间几何体的体积，考查学生的计算求解能力和空间想象能力，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．过原点且与直线平行的直线方程是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据平行直线的性质，可设出所求直线方程，进而将代入，可求出该直线方程.‎ ‎【详解】‎ 设与直线平行的直线方程为，‎ 将代入，得，即所求直线为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程，考查平行直线的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.‎ ‎14．已知三棱锥中，，，两两相互垂直，且，，，则三棱锥外接球的表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，，两两垂直，可将三棱锥补成长方体，此长方体的外接球即为三棱锥的外接球，体对角线即为外接球的直径，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由，，两两垂直，可将三棱锥补成如图所示的长方体，此长方体的外接球即为三棱锥的外接球，外接球直径为：，‎ 所以三棱锥外接球的表面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间几何体的外接球，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.‎ ‎15．已知过原点的动直线与椭圆交于，两点，为椭圆的上顶点，若直线，的斜率存在且分别为，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】易知，可设，，即可得到的表达式，又点在椭圆上，可求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由题知，可设，，则，‎ 又在椭圆上，故，即，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率，考查学生的计算求解能力，属于基础题.‎ ‎16．若圆上存在两点，，使得，圆外一动点，则点到原点距离的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对于点，若圆上存在两点，使得，只需由点引圆的两条切线所夹角不小于即可，可知动点在以为圆心，半径为的圆环内运动，当在线段上时，最小，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 如图，圆的半径为，圆心为，‎ 对于点，若圆上存在两点，使得，只需由点引圆的两条切线所夹角不小于即可，‎ 从而点距圆心的距离要不超过，故动点在以为圆心，半径为的圆环内运动，‎ 当在线段上时，最小，最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的性质，考查数形结合的数学思想的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知，命题：，命题：.‎ ‎（1）当时，若命题为真，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分条件，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由命题为真，可知都是真命题，结合对应的的范围，可求出答案；‎ ‎（2）利用充分条件对应的关系列出不等式，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，，即命题：，‎ 当时，命题：，即：，‎ 若为真，则都是真命题，则；‎ ‎（2）由题意，：，：，‎ 若是的充分条件，则，‎ 即，解得.‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题间的关系，考查充分性的应用，考查不等式的解法，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.‎ ‎18．在中，边，，所在直线的方程分别为，，.‎ ‎（1）求边上的高所在的直线方程；‎ ‎（2）若圆过直线上一点及点，当圆面积最小时，求其标准方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）联立直线和的方程，可求出点坐标，由直线的斜率，可求得边上的高所在的直线的斜率，然后利用点斜式可求得所求直线方程；‎ ‎（2）过点向直线作垂线，垂足记为，当圆以线段为直径时面积最小，求出点的坐标，进而可求出圆心的坐标和半径，即可得到该圆的标准方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）联立，解得点，又直线的斜率为，‎ 故边上的高所在直线方程为，即；‎ ‎（2）过点向直线作垂线，垂足记为，显然，当圆以线段为直径时面积最小，‎ 易知直线的斜率为，则直线的方程为，‎ 由，解得点，故圆的圆心为，半径为，‎ 所以圆面积最小时，标准方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程与圆的方程，考查圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.‎ ‎19．如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求异面直线和所成角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）连接，则，又，可得，即可证明直线平面；‎ ‎（2）取棱的中点，连接，，，易知，，则异面直线与所成的角即为，利用余弦定理求出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接，则，又，‎ ‎∴，又平面，平面，‎ 故直线平面；‎ ‎（2）取棱的中点，连接，，，‎ 易知，，‎ 故异面直线与所成的角即为，‎ 由题知，，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明，考查异面直线夹角的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.‎ ‎20．已知抛物线：的焦点为，为抛物线上一点，且.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点的直线与抛物线交于，两点，求线段的垂直平分线的横截距的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由抛物线的定义知，即可求出的值，进而求出抛物线的方程；‎ ‎（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，可求得，两点的中点坐标，进而求得线段的垂直平分线方程，令，可求得横截距的表达式，求出取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由抛物线的定义知，即，∴，故抛物线的方程为；‎ ‎（2）由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，‎ 联立，得，‎ ‎∴线段中点纵坐标为，横坐标为，‎ ‎∴的垂直平分线方程为，令得，‎ 由题知直线不与轴垂直，否则中垂线的横截距不存在，即，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.‎ ‎21．如图，四棱锥中，底面为菱形，直线平面，‎ ‎，，是上的一点，.‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）设，连接，由平面，可得，证明和相似，可得，从而可知平面；‎ ‎（2）由，可知为正方形，以为原点，，，所在方向分别为，，轴的正半轴建立空间直角坐标系，分别求得平面和的法向量，进而可求得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，连接，∵平面，‎ ‎∴，又，∴面，∴，‎ 在直角中，，，故，∴，‎ 则，∴和相似，故，‎ 又，∴平面；‎ ‎（2）由，可知为正方形，，‎ 又平面，故以为原点，，，所在方向分别为，，轴的正半轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎∵，故，‎ 显然平面的一个法向量为，，，‎ 设平面的一个法向量为，则，即，令，得，‎ 设二面角的大小为，则，‎ 故二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直的证明，考查利用空间向量求二面角，考查学生的空间想象能力和计算求解能力，属于基础题.‎ ‎22．如图，、是离心率为的椭圆：的左、右焦点，过作轴的垂线交椭圆所得弦长为，设、是椭圆上的两个动点，线段的中垂线与椭圆交于、两点，线段的中点的横坐标为1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）将代入椭圆方程，可得，再结合离心率为 ‎，联立可求得，即可求出椭圆方程；‎ ‎（2）结合的横坐标为1，可表示出直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，可得到的表达式，进而求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将代入椭圆方程得，则，即，‎ 又离心率，即，所以，解得，，‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）设，，，若直线的斜率存在且不为0，设为，则，‎ 两式相减得，又，∴，直线的方程为，‎ 即，与椭圆的方程联立得，‎ 则，，‎ 故 ‎，‎ 将代入椭圆方程，得，所以，则，‎ 故.‎ 当直线的斜率为0时，不满足的中点的横坐标为1；‎ 当直线的斜率不存在时，，即为椭圆的左右顶点，‎ 故，‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查平面向量的坐标运算，考查学生的计算求解能力，属于难题.‎