2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市第一中学高二下学期期末考试数学（文)试题 解析版

2018-2019学年内蒙古鄂尔多斯市第一中学高二下学期期末考试数学（文)试题 解析版

绝密★启用前 内蒙古鄂尔多斯市第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合 ，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.‎ ‎【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算 ‎【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.‎ ‎2．是虚数单位，复数满足，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用复数除法的运算法则可以直接求出复数的表达式.‎ ‎【详解】‎ ‎，故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的除法运算法则，考查了数学运算能力.‎ ‎3．已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析： 因为双曲线的离心率为,所以,又因为双曲线中,所以,而焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,所以此双曲线的渐近线方程为,故选C.‎ 考点：1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程.‎ ‎4．设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是（ ）‎ A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 ‎【答案】D ‎【解析】A错，如 在上无单调性；‎ B. 错，如 在上无单调性；‎ C. 错，如 在上无单调性；‎ 故选D.‎ ‎5．从(40,30), (50,10), (20,30),(45,5),(10,10)中任取一个点，这个点在圆内部的概率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断出每个点的横坐标和纵坐标的平方和是否小于2016，然后利用古典概型概率计算公式求出概率.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，‎ ‎，，所以只有点(20,30),(10,10)这两个点在圆内部，因此这个点在圆内部的概率是，故本题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型概率计算公式，考查了数学运算能力.‎ ‎6．定义矩阵，若，则的图象向右平移个单位得到函数，则函数解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由定义矩阵，可知 ‎，‎ 所以，故选A.‎ 考点：三角函数图象的变换.‎ ‎7．已知，函数的图像经过点，则的最小值为 A． B．6 C． D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的图像经过点，可以得到一个等式，利用这个等式结合已知的等式，根据基本不等式，可以求的最小值.‎ ‎【详解】‎ 因为函数的图像经过点，所以有 ‎，因为，所以有 ‎（当且仅当时取等号），故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式的应用，用1巧乘是解题的关键.‎ ‎8．若点P在抛物线上，点Q（0,3），则|PQ|的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：如图所示，设，其中，则，故选B.‎ 考点：抛物线.‎ ‎9．以下四个命题中，真命题的个数是 ‎①“若，则中至少有一个不小于1”的逆命题；‎ ‎② 存在正实数，使得；‎ ‎③；‎ ‎④ 函数是奇函数，则的图像关于对称.‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①：写出命题的逆命题，然后判断真假；‎ ‎②：判断方程有无正实数解即可；‎ ‎③：通过不等式的性质可以判断出是否正确；‎ ‎④：通过函数图像的平移可以判断出该命题是否正确.‎ ‎【详解】‎ ‎①：“若，则中至少有一个不小于1”的逆命题是：若中至少有一个不小于1，则.显然当符合条件，但是不成立，故本命题是假命题；‎ ‎②：由可得，显然当时，等式成立，所以本命题是真命题；‎ ‎③：，所以本命题是真命题；‎ ‎④：因为函数是奇函数，所以函数的图像关于原点对称，‎ 函数的图像向右平移一个单位长度得到图像，因此的图像关于对称.，所以本命题是真命题，故一共有三个命题是真命题，故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题的真假判断，考查了对数的运算、函数的对称性、逆命题、不等式等相关知识.‎ ‎10．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为；当正视图为对角面时，其面积最大为，因此满足棱长为的正方体的俯视图是一个面积为的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围是，因此皆有可能，而，故不可能的为.‎ 考点：1.三视图；2.正方体的几何特征.‎ ‎11．函数的图象大致为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由于,故排除选项.,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除选项.,排除选项,故选B.‎ ‎12．已知函数，若对，均有，则的最小值为（ ）‎ A． B． C．-2 D．0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可知函数f(x)的对称轴为x=1,显然f(0)=f(-1)=0，由对称性知f(2)=f(3)=0,所以，所以，,即 f(x)=,不妨令，函数为，，所以 当,时y取最小值，选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题首先充分利用对称性的某些值相等，而没有利用定义，从而简化了运算，更重要采用了换元法求最值，而不是利用求导求最值，更简化了运算。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若满足约束条件则的最大值为_______________.‎ ‎【答案】12.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在平面直角坐标系内，画出不等式组所表示的平面区域，平行移动直线，在平面区域内找到使得直线在纵轴上的截距最大时所经过的点，求出该点的坐标，代入目标函数中,求出目标函数的最大值.‎ ‎【详解】‎ 在平面直角坐标系内，画出不等式组所表示的平面区域，如下图所示；‎ 平行移动直线，当平移到点时，直线在纵轴上的截距最大，此时点坐标满足方程组：，‎ 目标函数最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性规划问题，考查了求目标函数的最值问题，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的关键.‎ ‎14．已知平面向量满足与垂直，则________.‎ ‎【答案】7.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用平面向量的坐标的加法运算公式，求出的坐标表示，再利用平面向量垂直时，数量积为零，可得方程，求解方程即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，又因为与垂直，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的坐标加法运算，考查了两个平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.‎ ‎15．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为___________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据奇函数的定义，得到，即，从而确定出函数的解析式，之后对函数求导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成一般式，得到结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数是奇函数，‎ 所以，从而得到，即，‎ 所以，所以，所以切点坐标是，‎ 因为，所以，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，‎ 故答案是.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，导数的几何意义，属于简单题目.‎ ‎16．已知等差数列满足，且，，成等比数列，则的所有值为________.‎ ‎【答案】3，4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设等差数列公差为，根据题意求出公差，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列公差为，‎ 因为，且，，成等比数列，‎ 所以，即，解得或.‎ 所以或.‎ 故答案为3，4‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的基本量的计算，熟记等差数列的通项公式即可，属于基础题型.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2 +acos2 = c．‎ ‎（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列； ‎ ‎（Ⅱ）若C= ，△ABC的面积为2 ，求c．‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：(1)先根据二倍角公式降次，再根据正弦定理将边化为角，结合两角和正弦公式以及三角形内角关系化简得sinB+sinA=2sinC ，最后根据正弦定理得a+b=2c (2)先根据三角形面积公式得ab=8，再根据余弦定理解得c．‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：由正弦定理得：‎ 即，‎ ‎∴sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinC∴sinB+sinA+sin（A+B）=3sinC ‎∴sinB+sinA+sinC=3sinC…∴sinB+sinA=2sinC ∴a+b=2c ‎∴a，c，b成等差数列． ‎ ‎（Ⅱ）…,‎ c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=4c2﹣24．…∴c2=8得 ‎18．某市为了考核甲，乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：‎ ‎（1）分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数；‎ ‎（2）分别估计该市的市民对甲，乙两部门的评分高于90的概率；‎ ‎（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价．‎ ‎【答案】（1）该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数的估计值分别为75,67；（2）；（3）详见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）50名市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的平均数即为甲部门评分的中位数．同理可得乙部门评分的中位数．（2）甲部门的评分高于90的共有5个，所以所求概率为；乙部门的评分高于90的共8个，所以所求概率为．（3）市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，且甲部门的评分较集中，乙部门的评分相对分散，即甲部门的评分的方差比乙部门的评分的方差小．‎ 试题解析：解：（1）由所给茎叶图知，将50名市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故甲样本的中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数估计值是75．‎ ‎50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67．‎ ‎（2）由所给茎叶图知，50位市民对甲，乙部门的评分高于90的比率为 ‎，故该市的市民对甲，乙部门的评分高于90的概率的估计分别为；‎ ‎（3）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高，评价较为一致，对乙部门的评价较低，评价差异较大．（注：考生利用其它统计量进行分析，结论合理的同样给分）．‎ 考点：1平均数，古典概型概率；2统计．‎ ‎19．如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，为线段上一点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）当平面时，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用线面垂直判定定理得平面，可得；根据等腰三角形三线合一得，利用线面垂直判定定理和面面垂直判定定理可证得结论；（2）利用线面平行的性质定理可得，可知为中点，利用体积桥可知，利用三棱锥体积公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：， 平面 又平面 ‎ ‎，为线段的中点 ‎ 平面 平面 平面平面 ‎（2）平面，平面平面 为中点 为中点 三棱锥的体积为 ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明、三棱锥体积的求解，涉及到线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的判定定理、线面平行的性质定理、棱锥体积公式、体积桥方法的应用，属于常考题型.‎ ‎20．已知椭圆满足：过椭圆C的右焦点且经过短轴端点的直线的倾斜角为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为坐标原点，若点在直线上，点在椭圆C上，且，求线段长度的最小值.‎ ‎【答案】（I）；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设出短轴端点的坐标，根据过右焦点与短轴端点的直线的倾斜角为，可以求出斜率，这样就可以求出，再根据右焦点，可求出，最后利用求出，最后写出椭圆标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设点的坐标分别为，其中，由，可得出等式，求出线段长度的表达式，结合求出的等式和基本不等式，可以求出线段长度的最小值 ‎.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）设椭圆的短轴端点为（若为上端点则倾斜角为钝角），则过右焦点与短轴端点的直线的斜率，‎ ‎（Ⅱ）设点的坐标分别为，其中,即就是，‎ 解得.又 ‎ ‎，且当时等号成立，所以长度的最小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查了求椭圆的标准方程，考查了利用基本不等式求线段长最小值问题，考查了数学运算能力.‎ ‎21．已知函数，其中 ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）函数的单调区间与导数的符号相关，而函数的导数为，故可以根据的符号讨论导数的符号，从而得到函数的单调区间.（2）若不等式 在 上有解，那么在上， .但在上的单调性不确定，故需分 三种情况讨论.‎ 解析：（1），‎ ‎①当时，在上， 在上单调递增；‎ ‎②当时，在上；在上；所以 在上单调递减，在上单调递增.‎ 综上所述，当时， 的单调递增区间为，当时， 的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）若在上存在，使得成立，则在上的最小值小于.‎ ‎①当，即时，由（1）可知在上单调递增， 在上的最小值为，由，可得，‎ ‎②当，即时，由（1）可知在上单调递减， 在上的最小值为，由，可得 ；‎ ‎③当，即时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 在上的最小值为，因为，所以，即，即，不满足题意，舍去.‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ 点睛：函数的单调性往往需要考虑导数的符号，通常情况下，我们需要把导函数变形，找出能决定导数正负的核心代数式，然后就参数的取值范围分类讨论.又不等式的恒成立问题和有解问题也常常转化为函数的最值讨论，比如：“在 上有解”可以转化为“在 上，有”，而“在恒成立”可以转化为“在 上，有”.‎ ‎22．已知在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数).‎ ‎(1)以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆的极坐标方程；‎ ‎(2)已知,圆上任意一点,求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)圆的参数方程为(为参数).‎ 所以普通方程为,‎ ‎∴圆的极坐标方程：. ‎ ‎(2)设点,‎ 则点M到直线的距离为,‎ 的面积,‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．‎ ‎23．‎ 设.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立, 求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用零点分段法将去绝对值，分成三段，令每一段大于，求解后取并集；（2）由（1）时，‎ ‎，分离常数得，右边函数为增函数，所以，解得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）,‎ 所以当时,, 满足原不等式；‎ 当时,, 原不等式即为,‎ 解得满足原不等式；‎ 当时,不满足原不等式；‎ 综上原不等式的解集为.‎ ‎（2）当时,, 由于原不等式在上恒成立,, 在上恒成立,, 设,易知在上为增函数,.‎ 考点：不等式选讲.‎