高中数学北师大版新教材必修一同步课件：1-1-1-2 集合的表示
第
2
课时 集合的表示
必备知识
·
自主学习
1.
列举法
(1)
方法
:
把集合中的元素一一列举出来写在花括号“
{ }”
内
.
(2)
一般形式
:{a,b,c,…}.
(3)
关注点
:
元素的排列
_____
可以不同
.
导思
1.
用列举法表示集合要注意哪些问题
?
2.
用描述法表示集合要注意哪些问题
?
3.
有限集、无限集、空集的含义是什么
?
4.
用区间表示集合要注意哪些问题
?
顺序
【
思考
】
一一列举元素时
,
需要考虑元素的顺序吗
?
提示
:
用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序
.
例如
:{a,b}
与
{b,a}
表示同一个集合
.
2.
描述法
定义
通过描述元素满足的条件表示集合的方法
形式
_________________________
方法
在花括号内先写出集合中元素的
_________
及
_____,
再画一条
竖线“
|”,
在竖线后写出集合中元素所具有的
_________
{x
及
x
的范围
|x
满足的条件
}
一般符号
范围
共同特征
【
思考
】
{(x,y)|y=x
2
+2}
能否写为
{x|y=x
2
+2}
或
{y|y=x
2
+2}
呢
?
为什么
?
提示
:
不能
,(x,y)
表示集合的元素是有序实数对或点
,
而
x
或
y
则表示集合的元素是数
,
所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么
.
3.
有限集、无限集和空集
(1)
有限集
:
含有
_______
元素的集合叫作有限集
;
(2)
无限集
:
含有
_______
元素的集合叫作无限集
;
(3)
空集
:
不含
_____
元素的集合叫作空集
,
记作∅
.
有限个
无限个
任何
【
思考
】
∅与
0,{0},{∅}
有何区别
?
提示
:
∅
与
0
∅
与
{0}
∅
与
{∅}
相同点
都表示无的意思
都是集合
都是集合
不同点
∅
是集合
;
0
是实数
∅
不含任何元素
;
{0}
含一个元素
0
∅
不含任何元素
;
{∅}
含一个元素
,
该元素是空集
4.
区间
定义
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
______
{x|a
a}
________
{x|x≤b}
________
{x|x3}
与集合
{t|t>3}
表示同一个集合
. (
)
提示
:
(1)×.
由
1,1,2,3
组成的集合可用列举法表示为
{1,2,3}.
(2)×.
集合
{(1,2)}
中的元素是
(1,2).
(3)√.
列举法表示集合时
,
元素的排列顺序可以不同
,
故此说法正确
.
(4)√.
虽然两个集合的代表元素的符号
(
字母
)
不同
,
但实质上它们均表示大于
3
的实数
,
故此说法正确
.
2.
用描述法表示函数
y=3x+1
图象上的点的集合是
(
)
A.{x|y=3x+1}
B.{y|y=3x+1}
C.{(x,y)|y=3x+1} D.{y=3x+1}
【
解析
】
选
C.
该集合是点集
,
故可表示为
{(x,y)|y=3x+1}.
3.(
教材二次开发
:
习题改编
)
由大于
-1
小于
5
的自然数组成的集合用列举法表示为
______
,
用描述法表示为
______
.
【
解析
】
大于
-1
小于
5
的自然数有
0,1,2,3,4.
故用列举法表示集合为
{0,1,2,3,4},
用描述法表示可用
x
表示代表元素
,
其满足的条件是
-13};
(3)
平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合
,
用描述法可表示为
{(x,y)|xy<0};
(4){1,3,5,7,
…
}
用描述法可表示为
{x|x=2k-1,k∈N
+
}.
【
补偿训练
】
已知集合
A={x|x=2m-1,m∈Z},B={x|x=2n,n∈Z},
且
x
1
,x
2
∈A,x
3
∈B,
则下列判断不正确的是
(
)
A.x
1
·x
2
∈A B.x
2
·x
3
∈B
C.x
1
+x
2
∈B D.x
1
+x
2
+x
3
∈A
【
解析
】
选
D.
因为集合
A
表示奇数集
,
集合
B
表示偶数集
,
所以
x
1
,x
2
是奇数
,x
3
是偶数
,
所以
x
1
+x
2
+x
3
为偶数
,
故
D
错误
.
类型三 集合表示方法的综合应用
(
数学抽象、数学运算
)
角度
1
用适当的方法表示集合
【
典例
】
用适当的方法表示下列集合
:
(1)
函数
y=x
2
-2x
的图象与
x
轴的公共点的集合
;
(2)
不等式
2x-3<5
的解组成的集合
;
(3)3
和
4
的正的公倍数构成的集合
;
(4)
大于
4
的奇数构成的集合
.
【
思路导引
】
根据集合中元素的个数和特征
,
选择恰当的方法表示集合
.
【
解析
】
(1)
列举法
:{(0,0),(2,0)}.
(2)
不等式
2x-3<5
的解组成的集合可表示为
{x|2x-3<5},
即
{x|x<4}.
也可用区间表示为
(-∞,4).
(3)3
和
4
的最小公倍数是
12,
因此
3
和
4
的所有正的公倍数构成的集合是
{x|x=12n,n∈N
*
}.
(4)
用描述法表示为
D={x|x=2k+1,k≥2,k∈N}
或
D={x|x=2k+3,k∈N
*
}.
角度
2
方程、不等式等知识与集合交汇
【
典例
】
(2020·
朔州高一检测
)
已知集合
A={x|kx
2
-8x+16=0}
只有一个元素
,
试求实数
k
的值
,
并用列举法表示集合
A.
【
思路导引
】
将问题转化为方程
kx
2
-8x+16=0
只有一个实数根
,
求实数
k
的值
.
应注意分
k=0
和
k≠0
两种情况讨论
.
【
解析
】
(1)
当
k=0
时
,
方程
kx
2
-8x+16=0
变为
-8x+16=0,
解得
x=2,A={2};
(2)
当
k≠0
时
,
要使集合
A={x|kx
2
-8x+16=0}
中只有一个元素
,
则方程
kx
2
-8x+16=0
只有一个实数根
,
所以
Δ=64-64k=0,
解得
k=1,
此时集合
A={4}.
综上所述
,k=0
时
,
集合
A={2};k=1
时
,
集合
A={4}.
【
变式探究
】
本例的条件“只有一个元素”若改为“有两个元素”其他条件不变
,
求实数
k
的值组成的集合
.
【
解析
】
由题意可知
,
方程
kx
2
-8x+16=0
有两个不等实根
.
故 即
k<1
且
k≠0.
所以实数
k
组成的集合为
{k|k<1
且
k≠0}.
【
解题策略
】
1.
解答集合表示方法综合题的策略
(1)
若已知集合是用描述法给出的
,
读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键
.
(2)
若已知集合是用列举法给出的
,
整体把握元素的共同特征是解题的关键
.
2.
方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理
(1)
准确理解集合中的元素
,
明确元素的特征性质
.
(2)
解题时还应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用
.
【
题组训练
】
1.
以方程
x
2
-5x+6=0
和方程
x
2
-x-6=0
的解为元素的集合为
________
.
【
解析
】
解方程
x
2
-5x+6=0,
得
x=2
或
x=3,
解方程
x
2
-x-6=0,
得
x=-2
或
3,
所以以方程
x
2
-5x+6=0
和方程
x
2
-x-6=0
的解为元素的集合为
{-2,2,3}.
答案
:
{-2,2,3}
2.
下列三个集合
:
①{x|y=x
2
+1};②{y|y=x
2
+1};
③{(x,y)|y=x
2
+1}.
(1)
它们是不是相同的集合
?
(2)
它们各自的含义是什么
?
【
解析
】
(1)
它们不是相同的集合
.
(2)
集合①是函数
y=x
2
+1
的自变量
x
所允许的值组成的集合
.
因为
x
可以取任意实数
,
所以
{x|y=x
2
+1}=R.
集合②是函数
y=x
2
+1
的所有函数值
y
组成的集合
.
由二次函数图象知
y≥1,
所以
{y|y=x
2
+1}={y|y≥1}.
集合③是函数
y=x
2
+1
图象上所有点的坐标组成的集合
.
【
补偿训练
】
1.
已知集合
{b|b∈R}={x∈R|ax
2
-4x+1=0,a∈R},
其中
a,b
为常数
,
则
a+b= (
)
A. 0
或
1
B.
C. D.
或
【
解析
】
选
D.
因为集合
{b|b∈R}
为单元素集合
,
所以集合
{x∈R|ax
2
-4x+1=0,a∈R}
也只有一个元素
b,
所以方程
ax
2
-4x+1=0
只有一个解
,
①
当
a=0
时
,
方程只有一个解
x= ,
即
b= ,
满足题意
,
此时
a+b=0+ = ;
②
当
a≠0
时
,
则
Δ=4
2
-4a=0,
解得
a=4,
方程只有一个解
x= ,
即
b= ,
满足题意
,
此时
a+b=4+ = .
综上所述
,a+b=
或
.
2.
用适当的方法表示下列集合
.
(1)36
与
60
的公约数组成的集合
.
(2)
在自然数集内
,
小于
1 000
的奇数构成的集合
.
(3)
不等式
x-2>6
的解的集合
.
(4)
大于
0.5
且不大于
6
的自然数构成的集合
.
【
解析
】
(1)36
与
60
的公约数有
1,2,3,4,6,12,
所求集合为
{1,2,3,4,6,12}.
(2){x|x=2n+1
且
x<1 000,n∈N}.
(3){x|x>8}.
(4){1,2,3,4,5,6}.
课堂检测
·
素养达标
1.
已知集合
A={x|-1≤x<4,x∈Z},
则集合
A
中元素的个数为
(
)
A.3 B.4 C.5 D.6
【
解析
】
选
C.
因为
-1≤x<4,x∈Z,
所以
x=-1,0,1,2,3,
所以集合
A={-1,0,1,2,3}
共有
5
个元素
.
2.
给出下列四个集合
,
(1){0}.(2){x|x>7,
且
x<1}.
(3){x|x>4}.(4){x∈Z|x
2
-2=0}.
其中空集的个数为
(
)
A.1 B.2 C.3 D.4
【
解析
】
选
B.
满足
x>7
且
x<1
的实数不存在
,
故
{x|x>7,
且
x<1}=∅.
因为
x
2
-2=0
的解为
± ,
不是整数
,
所以
{x∈Z|x
2
-2=0}=∅.
另外两个集合显然不是空集
.
故空集的个数为
2.
3.
已知
a∈ ,
则实数
a
的值为
________
.
【
解析
】
由题意得
,a=1
或
a= ,
当
a=1
时
, =1
不满足集合中元素的互异性
;
当
a=
时
,a=0
或
a=1,
经检验
,a=0
符合题意
,
综上可知
,a=0.
答案
:
0
4.(
教材二次开发
:
练习改编
)
使
y=
有意义的所有实数
x
取值的集合为
________
.(
用区间表示
)
【
解析
】
为使 有意义
,
实数
x
应满足
x-1>0,
组成的集合用区间表示为
(1,+∞).
答案
:
(1,+∞)
5.
用列举法表示
A={x|x= ,x∈Z,k∈N}.
【
解析
】
因为
A={x|x= ,x∈Z,k∈N}.
所以
k=0,2,4,6,8,18,
故
A={-15
，
-5
，
1
，
3
，
5
，
15 }.
