陕西省西安市未央区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

陕西省西安市未央区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

‎2019－2020学年度第一学期期末质量检测 高一年级数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号写在答题卡相应位置.‎ ‎2.将第Ⅰ卷的选择题填涂在答题卡上，答在试卷上无效.‎ ‎3.将第Ⅱ卷非选择题的答案写在答题卡该题相应位置，答在试卷上无效.‎ 第Ⅰ卷选择题（共40分）‎ 一、选择题（共10个小题，每个小题4分，共40分）‎ ‎1.若A（-2，3），B（3，-2），C（，m）三点共线，则m值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本道题目利用三点共线,得到,说明向量对应坐标成比例,建立等式,即可.‎ ‎【详解】因为A,B,C三点共线,故,而,建立等式 ‎ ,,故选B.‎ ‎【点睛】本道题目考查了向量平行问题,向量平行满足对应坐标成比例,即可得出答案.‎ ‎2.半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．‎ ‎【详解】设底面半径为r，则，所以.‎ 所以圆锥的高.‎ 所以体积.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥的性质及体积，圆锥问题抓住两个关键点：（1）圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长；（2）圆锥底面半径r、高h、母线l组成直角三角形，满足勾股定理，本题考查这两种关系的应用，属于简单题.‎ ‎3.直线与圆的位置关系是（ ）‎ A. 相切 B. 直线过圆心 C. 直线不过圆心但与圆相交 D. 相离 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断圆心到直线的距离，即可容易求得结果.‎ ‎【详解】容易知圆心到直线的距离，‎ 故直线过圆心.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，属基础题.‎ ‎4.圆：在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求圆心与切点连线的斜率，再利用切线与连线垂直求得切线的斜率即可.‎ ‎【详解】圆：，圆心， ‎ ‎ ，‎ 所以切线的斜率为 ，‎ 所以在点处的切线方程为 ，‎ 即.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查圆的切线的求法，要注意几何法的应用，属于基础题.‎ ‎5.若直线与直线互相垂直,则等于(   )‎ A. 1 B. ‎-1 ‎C. ±1 D. -2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论：两条直线的斜率存在与不存在两种情况，再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可．‎ ‎【详解】解：①当时，利用直线的方程分别化为：，，此时两条直线相互垂直．‎ ‎②如果，两条直线的方程分别为与，不垂直，故；‎ ‎③，当时，此两条直线的斜率分别为，．‎ 两条直线相互垂直，‎ ‎，化为，‎ 综上可知：．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论思想方法，属于基础题．‎ ‎6.已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. 都不对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得，再由球的表面积公式，即可求解．‎ ‎【详解】设球的半径为，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得，解得，所以球的表面积为.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎7.圆上的点到直线的最小距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得圆心到直线的距离，减去半径，即可求得结果.‎ ‎【详解】因为圆心到直线的距离，‎ 故可得圆上的点到直线距离的最小值为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查圆上的点到直线距离的最小值，属基础题.‎ ‎8.若圆与圆外切，则m的值为（ ）‎ A. 2 B. ‎-5 ‎C. 2或-5 D. 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的位置关系，求得圆心距和半径之和的关系，即可求得参数.‎ ‎【详解】容易知两圆圆心距，‎ 又因为两圆相外切，‎ 故可得，‎ 故可得，‎ 解得或.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查由两圆位置关系求参数值，属基础题.‎ ‎9.在空间四边形中，分别是中点.若，且与所成的角为，则四边形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD．‎ 同理，FG∥BD，且FG=BD，‎ 所以EH∥FG，且EH=FG．‎ 所以四边形EFGH为平行四边形．‎ 因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60°‎ 所以EF=EH．所以四边形EFGH为菱形，∠EFG=60°．‎ ‎∴四边形EFGH的面积是2××()2=a2‎ 故答案为a2，故选A.‎ 考点：本题主要是考查的知识点简单几何体和公理四，公理四：和同一条直线平行的直线平行，证明菱形常用方法是先证明它是平行四边形再证明邻边相等，以及面积公式属于基础题．‎ 点评：解决该试题的关键是先证明四边形EFGH为菱形，然后说明∠EFG=60°，最后根据三角形的面积公式即可求出所求．‎ ‎10.若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，则圆柱的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出圆柱的高，找到侧面积和之间的关系，即可求得体积.‎ ‎【详解】根据题意，不妨设圆柱的高为，又因为轴截面为正方形，‎ 故可得底面半径为.‎ 则，解得，‎ 故可得圆柱体积.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查圆柱的侧面积和体积的求解，属基础题.‎ 第Ⅱ卷非选择题（共60分）‎ 二、填空题（共5个小题，每个小题4分，共20分）‎ ‎11.与直线7x＋24y＝5平行且距离等于3的直线方程为__________________，‎ ‎【答案】7x＋24y＋70＝0或7x＋24y－80＝0‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设出平行直线系方程，根据两平行线间的距离等于3解出待定系数，从而得到所求的直线的方程．‎ 解：设所求的直线方程为 7x+24y+c=0，d==3，c=70，或﹣80，‎ 故所求的直线的方程为7x+24y+70=0，或7x+24y﹣80=0，‎ 故答案为 7x+24y+70=0，或7x+24y﹣80=0．‎ 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎12.若正三棱锥底面边长为，侧棱为3，则它的体积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理，求得外接圆半径，利用勾股定理求得顶点到底面的距离，由体积公式即可求得结果.‎ ‎【详解】根据题意，取底面三角形的外心为，连接，作图如下：‎ 利用正弦定理，即可求得，故可得；‎ 又因为其为正三棱锥，故可得平面，‎ 由勾股定理可得，‎ 故该棱锥的体积.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查棱锥体积的求解，属基础题.‎ ‎13.直线被圆所截得的弦长为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得弦心距，利用弦长公式，即可容易求得结果.‎ ‎【详解】由题可知圆心坐标为，，‎ 故可得弦心距，‎ 故可得弦长为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线截圆所得弦长的计算公式，属基础题.‎ ‎14.如果对任何实数k，直线都过一个定点A，那么点A的坐标是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：方法一：一般取任意两个值，解二元一次方程就可以了.但是取合适的值会使计算简化，一般使一个未知数的系数为.取，方程就是，；取，方程就是，；所以点的坐标是；将点坐标代入方程得：，所以直线恒经过点；方法二：是将当做未知数，将方程写成，对于任意值，等式成立，所以，；解得，所以点的坐标是.故答案为.‎ 考点：直线过定点问题.‎ ‎15. 如图，一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 依题意可知该几何体的直观图如图示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积．即：.‎ 考点：三视图与立体图形的转化；正方体的体积；三棱锥的体积.‎ 三、解答题（共4个小题，每个小题10分，共40分）‎ ‎16.已知的三个顶点是 ‎(1)求边上的高所在直线的方程；‎ ‎（2）求边上的中线所在直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）作直线，垂足为点 由直线的点斜式方程可知直线的方程为：‎ 化简得：‎ ‎（2）如图，取的中点，连接 由中点坐标公式得，即点 由直线的两点式方程可知直线的方程为：‎ 化简得：‎ ‎17.如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，且平面ABCD ‎（1）求证：平面PAB；‎ ‎（2）过CD作一平面交平面PAB于EF，求证：//.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证，即可证明问题；‎ ‎（2）先证//平面，即可由线面平行推证线线平行.‎ ‎【详解】（1）因为四边形为矩形，故可得，‎ 又因平面，又平面，故可得，‎ 又因为平面，且，‎ 故可得平面.‎ ‎（2）∵//，平面PAB，平面PAB，‎ ‎∴//平面PAB.‎ 又平面平面，‎ ‎∴//.‎ ‎【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及由线面平行推证线线平行，属综合基础题.‎ ‎18.如图，长方体，，，点P为的中点 求证：（1）直线平面PAC；‎ ‎（2）平面平面PAC.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取交点为，连接，先证//，即可求证线面平行；‎ ‎（2）通过证明平面，即可由线面垂直推证面面垂直.‎ ‎【详解】（1）设，连接PO，‎ 在中，∵P、O分别是、BD的中点，‎ ‎∴//，‎ 又平面PAC，平面PAC，‎ ‎∴直线//平面PAC.‎ ‎（2）长方体中，，‎ ‎∴底面ABCD是正方形，∴.‎ 又平面ABCD，平面ABCD，‎ ‎∴.‎ 又，平面，平面，‎ ‎∴平面，∵平面PAC，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及由线面垂直推证面面垂直，属综合基础题.‎ ‎19.已知圆C：，直线过定点.‎ ‎（1）若与圆相切，求的方程；‎ ‎（2）若与圆相交于两点，线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1），;（2）是定值，且为6．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意 ‎②若直线斜率存在，设直线为，即．‎ 由题意知，圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，即：，‎ 解之得．‎ 所求直线方程是，．‎ ‎（2）直线与圆相交，斜率必定存在，‎ 且不为0,可设直线方程为 由得．‎ 又直线CM与垂直，由得 为定值． 故是定值，且为6．‎