2019届高考数学二轮复习（教案·文）第一篇三三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质、三角恒等变换

2019届高考数学二轮复习（教案·文）第一篇三三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质、三角恒等变换

第1讲　三角函数的图象与性质、三角恒等变换 ‎1.(2018·全国Ⅲ卷,文4)若sin α=,则cos 2α等于(　B　)‎ ‎(A) (B) (C)- (D)-‎ 解析:因为sin α=,‎ 所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×2=.故选B.‎ ‎2.(2016·全国Ⅱ卷,文3)‎ 函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　A　)‎ ‎(A)y=2sin2x-‎ ‎(B)y=2sin2x-‎ ‎(C)y=2sinx+‎ ‎(D)y=2sinx+‎ 解析:T=2+=π=得ω=2,A=2.‎ 当x=时,y=2sinπ+φ=2,‎ ‎+φ=+2kπ,k∈Z,φ=-+2kπ,k∈Z.故选A.‎ ‎3.(2018·全国Ⅲ卷,文6)函数f(x)=的最小正周期为(　C　)‎ ‎(A) (B) (C)π (D)2π 解析:由已知得f(x)====sin x·cos x=sin 2x,‎ 所以f(x)的最小正周期为T==π.故选C.‎ ‎4.(2018·全国Ⅰ卷,文8)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则(　B　)‎ ‎(A)f(x)的最小正周期为π,最大值为3‎ ‎(B)f(x)的最小正周期为π,最大值为4‎ ‎(C)f(x)的最小正周期为2π,最大值为3‎ ‎(D)f(x)的最小正周期为2π,最大值为4‎ 解析:因为f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos 2x-+2=cos 2x+,所以f(x)的最小正周期为π,最大值为4.故选B.‎ ‎5.(2017·全国Ⅲ卷,文6)函数f(x)=sinx++cosx-的最大值为(　A　)‎ ‎(A) (B)1 (C) (D)‎ 解析:f(x)=sin x+cos x+sin x+cos x,　‎ f(x)=sin x+cos x=sinx+,‎ 所以f(x)max=,故选A.‎ ‎6.(2018·全国Ⅱ卷,文10)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是(　C　)‎ ‎(A) (B) (C) (D)π 解析:f(x)=cos x-sin x=cosx+.‎ 当x∈[0,a]时,x+∈,a+,‎ 所以结合题意可知,a+≤π,即a≤,‎ 故所求a的最大值是.故选C.‎ ‎7.(2018·全国Ⅱ卷,文15)已知tanα-=,则tan α=　　　　. ‎ 解析:tanα-=tanα-==,‎ 解得tan α=.‎ 答案:‎ ‎8.(2017·全国Ⅰ卷,文15)已知α∈0,,tan α=2,则cosα-=　　　. ‎ 解析:α∈0,,sin α>0,cos α>0,‎ 因为tan α=2,所以=2.‎ sin α=2cos α.sin2α+cos2α=1.‎ ‎4cos2α+cos2α=1,5cos2α=1,cos α=,sin α=.‎ cosα-=(cos α+sin α)=.‎ 答案:‎ ‎1.考查角度 考查三角函数的图象与性质、三角函数求值(利用三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式、和差三角函数公式、倍角公式等).‎ ‎2.题型及难易度 选择题、填空题,试题难度中等.‎ ‎(对应学生用书第17~19页)‎ ‎　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 三角函数的图象 考向1　三角函数的图象变换 ‎【例1】 (1)(2018·广东省珠海市九月摸底)已知曲线C1:y=sin x,C2:y=sinx-,则下列说法正确的是(　　)‎ ‎(A)把曲线C1向左平移个单位长度,得到曲线C2‎ ‎(B)把曲线C1向右平移个单位长度,得到曲线C2‎ ‎(C)把曲线C1向左平移个单位长度,得到曲线C2‎ ‎(D)把曲线C1向右平移个单位长度,得到曲线C2‎ ‎(2)(2018·湖南省两市九月调研)若将函数f(x)=2sinx+ 的图象向右平移个单位,再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的一条对称轴为(　　)‎ ‎(A)x= (B)x=‎ ‎(C)x= (D)x=‎ 解析:(1)因为y=sinx-=sinx-‎ 所以把C1中的x换为x-得到C2,‎ 即把C1向右平移个单位长度,得到C2,选B.‎ ‎(2)将函数f(x)=2sinx+的图象向右平移个单位得y=2sinx-+=2sinx-的图象,‎ 将y=2sinx-图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍得g(x)=2sinx-,‎ 令x-=+kπ,(k∈Z),‎ 得x=π+2kπ,k∈Z,k=0时,x=π.选D.‎ 三角函数图象变换中容易出错的地方是沿x轴方向的平移和伸缩变换:把函数f(x)=sin ωx的图象向右(左)平移φ个单位长度,得到函数g(x)=sin ω(x-φ)(g(x)=sin ω(x+φ))的图象,把函数f(x)=sin ω1x的图象上各点的横坐标变为原来的倍0<ω2<1称为扩大到原来的倍、ω2>1称为缩小为原来的,得到函数g(x)=sin(ω1ω2x)的图象.‎ 考向2　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式 ‎【例2】 (1)(2018·湖北省5月冲刺卷)已知函数f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,ω>0,|θ|<π)的部分图象如图所示,将函数y=f(x)的图象向右平移个单位得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的解析式为(　　)‎ ‎(A)y=2sin 2x (B)y=2sin2x+‎ ‎(C)y=2sin2x+ (D)y=2sin2x-‎ ‎(2)(2018·天津市滨海新区八校联考)函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ|<的一部分图象如图所示,将函数上的每一个点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到的图象表示的函数可以为(　　)‎ ‎(A)y=sinx+ (B)y=sin4x+‎ ‎(C)y=sinx+ (D)y=sin4x+‎ 解析:(1)由题图得A=2,T=--=π,‎ 所以ω==2,‎ 因为x==时y=2,‎ 所以2×+θ=+2kπ(k∈Z),‎ 所以θ=+2kπ(k∈Z),‎ 因为|θ|<π,‎ 所以θ=,‎ 因此g(x)=2sin2x-+=2sin2x-.‎ 故选D.‎ ‎(2)由题意得A=1,T=--=π⇒ω==2,‎ ‎=-⇒φ=,‎ f(x)=sin2x+纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得y=sin2×+=sinx+,选A.‎ 根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式的基本步骤是一般可以先确定A值,然后确定ω利用最小正周期T=,其中函数图象上一个对称中心与相邻的对称轴之间的距离为、两相邻的对称轴或两相邻的对称中心之间的距离为T等,最后再根据其最值点或特殊点的坐标代入函数解析式求得φ.‎ 热点训练1:(1)(2018·陕西西工大附中六模)为得到函数y=-sin 2x的图象,可将函数y=sin2x-的图象(　　)‎ ‎(A)向右平移个单位 (B)向左平移个单位 ‎(C)向左平移个单位 (D)向右平移个单位 ‎(2)(2018·山东省实验中学二模)将f(x)=sin 2x-cos 2x+1的图象向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,则下列关于函数y=g(x)的说法错误的是(　　)‎ ‎(A)函数y=g(x)的最小正周期是π ‎(B)函数y=g(x)的一条对称轴是x=‎ ‎(C)函数y=g(x)的一个零点是 ‎(D)函数y=g(x)在区间,上单调递减 ‎(3)(2018·陕西咸阳三模)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的图象向右平移2个单位后,得到g(x)的图象,则g(x)的解析式为(　　)‎ ‎(A)g(x)=2sin (B)g(x)=-2sin ‎(C)g(x)=2cos (D)g(x)=-2cos 解析:(1)因为y=-sin 2x=sin(2x-π)‎ ‎=sin2x--‎ 所以将函数y=sin2x-中的x换为x-,得到 y=-sin 2x,‎ 即把y=sin2x-的图象向右平移个单位,‎ 得到y=-sin 2x.选A.‎ ‎(2)由题意可知 f(x)=sin 2x-cos 2x+1=2sin2x-+1,‎ 图象向左平移个单位,再向下平移1个单位的函数解析式为 g(x)=2sin2x+-+1-1=2sin2x+.‎ 则函数g(x)的最小正周期为T==π,A选项说法正确,不符合题意;‎ 当x=时,2x+=,函数y=g(x)的一条对称轴是x=,B选项说法正确,不符合题意;‎ 当x=时,2x+=π,函数y=g(x)的一个零点是,C选项说法正确,不符合题意;‎ 若x∈,,则2x+∈,,函数y=g(x)在区间,上不单调,D选项说法错误,符合题意;故选D.‎ ‎(3)根据函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象,‎ 可得A=2,‎ 因为·=6+2,所以ω=.‎ 再结合五点法作图可得×6+φ=π,求得φ=π,‎ 所以f(x)=2cosx+π.‎ 把f(x)的图象向右平移2个单位后,可得 g(x)=2cos(x-2)+π=2cosx+=-2sinx的图象,故选B.‎ 三角函数的性质 ‎【例3】 (1)(2018·安徽江南十校二模)函数y=sin x·sinx+的图象沿x轴向右平移m(m>0)个单位后,得到y=g(x)为偶函数,则m的最小值为(　　)‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(2)(2018·河北石家庄二中八月模拟)已知f(x)=sin2x+sin xcos x+2sinx+cos x+.‎ ‎①当x∈,时,求f(x)的值域;‎ ‎②若函数f(x)的图象向右平移个单位后,所得图象恰与函数g(x)的图象关于直线x=对称,求函数g(x)的单调递增区间.‎ ‎(1)解析:y=sin x·sinx+‎ ‎=sin2x+sin xcos x ‎=+‎ ‎=sin2x-+,‎ 将y=sin2x-+的图象沿x轴向右平移m(m>0)个单位后,得到g(x)=sin2x-2m-+的图象,‎ 因为g(x)=sin2x-2m-+为偶函数,‎ 所以2m+=+kπ,k∈Z,‎ 即m=+,k∈Z,‎ 即正数m的最小值为.故选D.‎ ‎(2)解:①f(x)=sin2x+sin x cos x+2sinx+cosx+‎ ‎=+sin 2x+sin2x+‎ ‎=+(sin 2x-cos 2x)+cos 2x ‎=(sin 2x+cos 2x)+‎ ‎=sin2x++,‎ 由x∈,,得≤2x+≤π,‎ 所以-≤sin2x+≤1,0≤f(x)≤,‎ 即f(x)在,上的值域是0,.‎ ‎②函数f(x)的图象向右平移个单位后得到h(x)的图象,‎ 则h(x)=fx-=sin 2x+,‎ 设点P(x,y)是g(x)图象上任意一点,‎ 则点P关于直线x=对称的点Q-x,y在h(x)的图象上,‎ 所以g(x)=h-x=sin-2x+‎ ‎=sin2x++.‎ 所以当-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),‎ 即-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)时,g(x)单调递增,‎ 所以g(x)的单调递增区间是-+kπ,+kπ(k∈Z).‎ 三角函数的主要性质为奇偶性、周期性、单调性和最值.(1)y=sin(ωx+φ)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z)、为偶函数的充要条件是φ=kπ+(k∈Z),函数y=cos(ωx+φ)为奇函数的充要条件是φ=kπ+(k∈Z)、为偶函数的充要条件是φ=kπ(k∈‎ Z);(2)函数y=sin(ωx+φ),y=cos(ωx+φ)的最小正周期为,函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期T=;(3)确定y=sin(ωx+φ),y=cos(ωx+φ)的单调性时首先化ω为正值,然后把ωx+φ看作整体,利用y=sin x,y=cos x的单调区间,得出关于ωx+φ的不等式,解不等式即得所求函数的单调区间;(4)确定函数y=sin(ωx+φ)的值域时,一定要准确求出ωx+φ的取值范围,结合函数y=sin x的单调性得出所求的值域.‎ 热点训练2:(1)(2018·广东广州市海珠区一模)设函数f(x)=cos2x-,则下列结论错误的是(　　)‎ ‎(A)f(x)的一个周期为-π ‎(B)y=f(x)的图象关于直线x=对称 ‎(C)fx+的一个零点为x=-‎ ‎(D)f(x)在区间上单调递减 ‎(2)(2018·安徽宿州第三次质检)将函数y=2sin-xcos+x-1的图象向左平移φ(φ>0)个单位,所得的图象恰好关于原点对称,则φ的最小值为(　　)‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(3)(2018·山东青岛二模)已知向量a=cos x,-,b=(sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.‎ ‎①求f(x)的最小正周期;‎ ‎②求函数f(x)的单调递减区间;‎ ‎③求f(x)在0,上的最大值和最小值.‎ ‎(1)解析:f(x)=cos2x-的周期为T=kπ,k∈Z,‎ 所以A对,不符合题意;‎ 当x=时,2x-=π,cos π=-1,所以B对,不符合题意;‎ fx+=cos2x+π-=cos2x+,‎ 当x=-时,fx+=1;‎ 所以x=-不是fx+的零点.‎ 所以C错,符合题意;‎ x∈时,2x-∈,y=cos x在上递减,所以D对,不符合题意.故选C.‎ ‎(2)解析:由于sin-x=sin-+x=cos+x,‎ 故三角函数的解析式即 y=2cos2+x-1=cos+2x,‎ 令cos+2x=0可得+2x=kπ+(k∈Z),‎ 则x=+(k∈Z),‎ 取k=0可得x=,即函数图象与x轴正半轴的第一个交点坐标为P,0,‎ 函数图象如图所示,数形结合可知φ的最小值为.故选B.‎ ‎(3)解:f(x)=cos x,-·(sin x,cos 2x)‎ ‎=cos xsin x-cos 2x ‎=sin 2x-cos 2x ‎=cossin 2x-sincos 2x ‎=sin2x-.‎ ‎①f(x)的最小正周期为T==π,‎ 即函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎②+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,‎ 得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,‎ 所以f(x)的单调递减区间是+kπ,+kπ,k∈Z.‎ ‎③因为0≤x≤,‎ 所以-≤2x-≤.‎ 由正弦函数的性质,‎ 当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值1.‎ 当2x-=-,即x=0时,f(0)=-,‎ 当2x-=π,即x=时,f=,‎ 所以f(x)的最小值为-.‎ 因此,f(x)在0,上的最大值是1,最小值是-.‎ 利用三角恒等变换求值 ‎【例4】 (1)(2018·湖南两市九月调研)已知sin α=,则cos (π+2α)等于(　　)‎ ‎(A) (B)- (C) (D)-‎ ‎(2)(2018·吉林省百校联盟联考)已知cos+α=3sinα+,则tan +α等于(　　)‎ ‎(A)4-2 (B)2-4‎ ‎(C)4-4 (D)4-4‎ 解析:(1)因为sin α=,‎ 所以cos(π+2α)=-cos 2α=-1-2sin2α ‎=2×2-1=-,故选D.‎ ‎(2)由题意可得-sin α=-3sinα+,‎ 即sinα+-=3sinα++,‎ 展开得 sinα+cos -cosα+sin ‎ ‎=3sinα+cos +3cosα+sin ,‎ 整理可得tan α+=-2tan =-2tan -=-2×=2-4.选B.‎ ‎(1)利用三角恒等变换求值中使用的知识点:任意角三角函数的定义、同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,以及上述公式的变形.‎ ‎(2)利用三角恒等变换求值的基本思路:变换函数名称、变换角、整体代入等.‎ 热点训练3:(1)(2018·河北武邑中学调研)下列式子结果为的是(　　)‎ ‎①tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°;②2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°);③;④.‎ ‎(A)①② (B)③ (C)①②③ (D)②③④‎ ‎(2)(2018·安徽安庆一中高考热身)已知tan(α+β)=,tanβ-=,则的值为　　　　; ‎ ‎(3)(2018·河南最后一模)已知x∈0,,tan x=,则=　　　　. ‎ 解析:(1)对于①,tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°‎ ‎=tan(25°+35°)(1-tan 25°tan 35°)+tan 25°tan 35°‎ ‎=-tan 25°tan 35°+tan 25°tan 35°‎ ‎=;‎ 对于②,‎ ‎2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°)‎ ‎=2(sin 35°cos 25°+cos 35°sin 25°)‎ ‎=2sin 60°‎ ‎=;‎ 对于③,==tan 60°=;‎ 对于④,=×=×tan=,‎ 所以结果为的是①②③.‎ 故选C.‎ ‎(2)因为==‎ ‎=tanα+,‎ 且tanα+=tan(α+β)-β-‎ ‎=,‎ 将tan(α+β)=,tanβ-=代入可得 ‎==.‎ ‎(3)因为x∈0,,tan x=,‎ 所以sin x=.‎ 又==2sin x,‎ 所以=.‎ 答案:(1)C　(2)　(3)‎ ‎　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎【例1】 (1)(2018·福建厦门二检)函数f(x)=cos(2x+φ)(0<φ<π)在区间-,上单调递减,在区间-,0上有零点,则φ的取值范围是(　　)‎ ‎(A), (B),‎ ‎(C), (D),‎ ‎(2)(2018·广东省六校联考)已知函数f(x)=cos x sin 2x,下列结论中不正确的是(　　)‎ ‎(A)y=f(x)的图象关于点(π,0)中心对称 ‎(B)y=f(x)的图象关于直线x=对称 ‎(C)f(x)的最大值为 ‎(D)f(x)既是奇函数,又是周期函数 解析:(1)当x∈-,时,‎ ‎2x+φ∈-+φ,+φ,‎ 又因为φ∈(0,π),则-+φ,+φ⊆[0,π],‎ 即≤φ≤,‎ 由cos(2x+φ)=0得2x+φ=kπ+,k∈Z,‎ x=+-,‎ 所以-<-<0,‎ 解得<φ<,‎ 综上,<φ≤.故选C.‎ ‎(2)对于A中,因为f(π+x)=cos (π+x)sin 2(π+x)=-cos xsin 2x,　‎ f(π-x)=cos (π-x)sin 2(π-x)=cos xsin 2x,‎ 所以f(π+x)+f(π-x)=0,‎ 可得y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称,故A正确,不符合题意;‎ 对于B,因为f+x=cos+xsin 2+x=-sin x(-sin 2x)=sin xsin 2x,‎ f-x=cos-xsin 2-x ‎=sin xsin 2x,‎ 所以f+x=f-x,‎ 可得y=f(x)的图象关于x=对称,故B正确,不符合题意;‎ 对于C,化简得f(x)=cos x sin 2x=2cos2x sin x=‎ ‎2sin x(1-sin2x),‎ 令t=sin x,f(x)=g(t)=2t(1-t2),-1≤t≤1,‎ 因为g(t)=2t(1-t2)的导数 g'(t)=2-6t2=2(1+t)(1-t),‎ 所以当t∈-1,-或t∈,1时,g'(t)<0,函数g(t)为减函数;‎ 当t∈-,时,g'(t)>0,函数g(t)为增函数,‎ 因此函数g(t)的最大值为t=-1或t=时的函数值,结合g(-1)=00,|φ|<的图象过点B(0,-1),f(x)在区间,上为单调函数,且f(x)的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合,则等于(　　)‎ ‎(A)- (B) (C) (D)-‎ 解析:(1)对于A,y=sin x→y=sinx→y=sinx-≠cosx-;‎ 对于B,y=sin x→y=sinx→y=sinx-=cosx-;‎ 对于C,y=sin x→y=sinx-→y=sin2x-≠cosx-;‎ 对于D,y=sin x→y=sinx-→y=sin2x-≠cosx-.故选B.‎ ‎(2)对于函数f(x),令+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),‎ 当x∈(0,π)时,令k=0,则≤x≤;‎ 对于函数g(x),令2kπ≤x+≤π+2kπ(k∈Z),‎ 解得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),‎ 当x∈(0,π)时,令k=0,则00,ω>0,|φ|<的图象时,在列表过程中,列出了部分数据如表:‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π x f(x)‎ ‎3‎ ‎-1‎ ‎(1)请根据上表求f(x)的解析式;‎ ‎(2)将y=f(x)的图象向左平移个单位,再向下平移1个单位得到y=g(x)的图象,若gθ+=-(θ为锐角),求f(θ)的值.‎ 解:(1)B==1,所以A==2,‎ 又所以 所以f(x)=2sin2x-+1.‎ ‎(2)g(x)=2sin2x+-+1-1=2sin 2x,‎ 因为gθ+=2sin2θ+=-,‎ 所以cos 2θ=-,‎ 又θ为锐角,所以sin 2θ=,‎ 所以f(θ)=2sin2θ-+1‎ ‎=2sin 2θcos-cos 2θsin+1‎ ‎=2×--×+1=.‎