2018-2019学年福建省三明市高二上学期期末质量检测数学（理）试题 解析版

2018-2019学年福建省三明市高二上学期期末质量检测数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 福建省三明市2018-2019学年高二上学期期末质量检测数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．对于任意的，“”是“”的（ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分必要条件的定义进行判断可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由，解得：x=0且y=0，‎ 由解得：x=0或y=0，‎ 故v对于任意的，“”是“”成立的必要不充分条件，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分必要条件，是一道基础题.‎ ‎2．若事件，相互独立，它们发生的概率分别为，，则事件，都不发生的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由事件A与事件B相互独立, 得出与相互独立, 所以=P()=然后利用公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解:由事件A与事件B相互独立,可得与相互独立,‎ 所以=P()==‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相互独立事件的概率乘法公式, 正确解答本题的关键是理解“事件A与事件B相互独立”的意义及相互独立事件概率乘法公式的意义.‎ ‎3．事件一：假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人.为了了解该地区学生的视力健康状况，从中抽取的学生进行调查.事件二：某校为了了解高一年级学生对教师教学的满意率，打算从高一年级500名学生中抽取50名进行调查.对于事件一和事件二，恰当的抽样方法分别是（ ）‎ A．系统抽样，分层抽样 B．系统抽样，简单随机抽样 C．简单随机抽样，系统抽样 D．分层抽样，系统抽样 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样与系统抽样的定义可得结论.‎ ‎【详解】‎ 解：事件一，由于学生的近视情况与学生的年龄有一定的关系，故此事件应选用分层抽样；事件二，本事件中总体容量较大，样本容量也较大，可以采取系统抽样的方法进行抽样，可保证每个个体有同样的机会被抽到，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样与系统抽样的相关知识，需牢记各抽样的定义与适用条件.‎ ‎4．执行如图的程序框图，如果输出的，那么判断框内可填入的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图，模拟运行条件，根据程序输出的S的值，可得出判断框内应填入的条件.‎ ‎【详解】‎ 解：进入循环前，i=2，S=1，‎ 计算S=,应满足循环条件，i=3；‎ 执行循环后S=,应满足循环条件，i=4；‎ 执行循环后S=,应满足循环条件，i=5；‎ 执行循环后S=,应不满足循环条件，输出S=；‎ 故判断框内应填入的条件是：，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查根据程序框图内的条件补充问题，需注意运算准确.‎ ‎5．已知和向量，且，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，且，可得的值，同时已知，可得的坐标.‎ ‎【详解】‎ 解： ，且， =(-6,8,24),‎ ‎ , B=(-6+1,8-2,24+0)=,‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量的数乘运算，是一个基础题，解题的关键是牢记公式，在数字运算的时候要细心.‎ ‎6．某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，记它的中位数为，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，求得它的方差为，则（ ）‎ A．57 B．58 C．59 D．60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由中位数的定义可求得a的值，同时可求得去掉一个最高分，去掉一个最低分的数据的方差，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：可得原数据的中位数为a==45，‎ 掉一个最高分，去掉一个最低分的数据为：42，44，46，52，‎ 可得其平均数为：46，‎ 方差为：，‎ 故a+b=59，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查茎叶图及中位数、平均数、方差的概念，充分了解其概念并灵活运用是解题的关键.‎ ‎7．如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可求出阴影部分的面积与矩形的面积，利用几何概型可求出豆子落在图中阴影部分的概率.‎ ‎【详解】‎ 解：图中阴影部分的面积为：，‎ 矩形的面积为:,‎ 可得豆子落在图中阴影部分的概率为，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何概率的求法，属于容易题，难度不大，正确求出阴影部分的面积是解题的关键.‎ ‎8．设点是曲线上的任意一点，则到直线的距离的最小值为（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，当点P是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时，距离最小，从而可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：因为点是曲线上的任意一点，当点P是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时，距离最小，由的斜率是-1，得，解得：x=1，所以可得P点坐标（1，1），点P到直线的距离的最小值为：，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义及点到直线距离公式的应用，理解P点是曲线的切线中与直线平行的直线的切点是解题的关键.‎ ‎9．某种智能新产品市场价为每部6000元，若一次采购数量达到一定量，可享受折扣.如图为某位采购商根据折扣情况设计的程序框图，若输出的，则一次采购该智能新产品的部数为（ ）‎ A．80 B．90 C．105 D．125‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图列出y随x变化的解析式，再列方程求解可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：根据程序框图可得，x为一次采购的智能手机的数量，y为购买该手机的总价钱，则，‎ 若6000x=513000，解得x=85.5，不符合题意；‎ 若=513000，解得x=90；‎ 若=513000，解得x≈100.6，不符合题意，‎ 综上所述，x=90，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题将实际问题与程序框图相结合，主要考查条件结构的程序框图、分段函数的知识，意在考查学生的运算求解能力.‎ ‎10．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价元 ‎9‎ ‎9.2‎ ‎9.4‎ ‎9.6‎ ‎9.8‎ ‎10‎ 销量件 ‎100‎ ‎94‎ ‎93‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎78‎ 预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为（ ）‎ ‎（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率的最小二乘估计值为.参考数值：，）‎ A．9.4元 B．9.5元 C．9.6元 D．9.7元 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求出和，得出回归方程，再设利润为，依题意列出函数解析式，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，，所以，‎ ‎，‎ 故回归方程为；‎ 设该产品的售价为元，工厂利润为元，利润=销售收入-成本，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时，取得最大值.‎ 因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程，最小二乘法求出和，即可求出回归方程，属于常考题型.‎ ‎11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线与圆相切与M,则，OM⊥,取的中点N，连接，可得=2c，，由双曲线的定义可得：，即：4b-2c=2a，可得双曲线的离心率的值.‎ ‎【详解】‎ 解：如图 设直线与圆相切与M,则，OM⊥,取的中点N，连接,‎ 由,可得=2c，则⊥,,‎ 由，则，即有,‎ 由双曲线的定义可得：，即：4b-2c=2a，2b=c+a，‎ 可得：，，解得：3c=5a，‎ 即：e=，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的方程与性质，考查离心率的求法，利用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键.‎ ‎12．已知函数，若在区间上存在，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出f(x)的导函数，根据，将此转化为导函数的性质，进而根据函数零点的情况确定参数a所满足的条件，解之即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由，可得，‎ 由==，‎ 即: =在有两个解，且，‎ 令g(x)== ,‎ 可得： ，由①可得,由②可得，可得，‎ 同理由③可得，可得，由④可得a，‎ 综上所述可得：，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查学生对函数的性质的理解与应用，考查导数的运算，函数与零点以及二次函数的图像与性质等，综合性大，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．命题“，”的否定为__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将全称量词改为存在量词，同时否定原命题的结论可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：将全称量词改为存在量词，同时否定原命题的结论可得答案，可得命题“，”的否定为“，”，‎ 故答案：，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题及其关系和全称量词与存在量词，对于含有全称量词的命题的否定，需将全称量词改为存在量词，同时否定原命题的结论.‎ ‎14．已知为椭圆：的左焦点，过作轴的垂线交与，两点，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可得F点坐标，由过作轴的垂线交与，两点，可得A、B点坐标，可得的值.‎ ‎【详解】‎ 解：由为椭圆：的左焦点，可得F(),‎ 由过作轴的垂线交与，两点，设A点在B点上方，可得A(,1),B A(,-1),可得=2，‎ 故答案：2.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的性质，考查运算能力，属于基础题.‎ ‎15．如图，在三棱柱中，是的中点，，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，可用、、表示，可得、、的值，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意的：，‎ ‎==‎ ‎==,‎ 故可得 ，=-1，=，‎ 可得： .‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间向量的运算,‎ 解题的关键是要善于把握三棱柱的性质，把所求向量用基本向量表示..‎ ‎16．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可得为偶函数，且在x＞0时单调递增，可得等价于，结合，解不等式可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：由，可得，可得，故为偶函数，‎ 由，设g(x)=,h(x)=,可得= g(x) h(x)，‎ 当x＞0时，由对勾函数性质可得，g(x)单调递增；‎ 同理当x＞0时，可得h(x)单调递增，可得当， 单调递增 又因为为偶函数，可得当时， 可得，‎ ‎ ， ， ，‎ 可得：，当时，可得， ，‎ 故可得的取值范围是，‎ 故答案：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数恒成立的问题，是函数图像与性质的综合应用，难度中档.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线；命题：函数在上单调递增.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题为假命题，且“”为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由命题为真命题，结合函数的单调性，即可求出结果；‎ ‎（2）根据（1）先求出命题为假命题时的取值范围，再由“”为真命题确定为真，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由函数在上单调递增得恒成立，‎ 因为，‎ 即，即在上恒成立，‎ 所以，即，‎ 因为命题为真命题，所以.‎ ‎（2）由已知命题为假命题，为真命题，故真假，‎ 由（1）知，命题为假命题，可得.‎ 由为真命题，得，即.‎ 故，得.‎ 所以实数的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查根据复合命题的真假求参数的范围问题，先判断出命题的真假，再结合命题的内容，即可求出结果，属于常考题型.‎ ‎18．是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国 标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为优；在之间空气质量为良；在之间空气质量为轻度污染.某市环保局从该市2018年上半年每天的日均值数据中随机抽取20天的数据作为样本，将日均值统计如下：‎ 日均值（）‎ 天数 ‎4‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎（1）在空气质量为轻度污染的数据中，随机抽取两天日均值数据，求其中恰有一天日均值数据在之间的概率；‎ ‎（2）将以上样本数据绘制成频率分布直方图（直接作图）：‎ ‎（3）该市规定：全年日均值的平均数不高于，则认定该市当年的空气质量达标.现以这20天的日均值的平均数来估计2018年的空气质量情况，试预测该市2018年的空气质量是否达标.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）不达标 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用列举法分别列举出“在空气质量为轻度污染的数据中，随机抽取两天”的事件个数，以及“恰有一个数据在之间”的基本事件数，即可求出结果；‎ ‎（2）结合题中数据，即可求出结果；‎ ‎（3）计算出这20天的日均值的平均数，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由表中日均值数据可知，空气质量为轻度污染的天数共5天，用，，‎ 表示抽到的日均值在之间的数据，用，表示抽到的日均值在之间的数据，则在空气质量为轻度污染的数据中，随机抽取两天的数据，‎ 有，，，，，，，，，，共10种，‎ 恰有一个数据在之间的有，，，，，，共6种，‎ 所以恰有一个数据在之间的概率为.‎ ‎（2）样本数据的频率分布直方图如下：‎ ‎（3）这20天的日均值的平均数为 ‎，‎ 所以全年日均值的平均数的估计值为.‎ 因为，‎ 所以，预测该市2018年的空气质量不达标.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查列举法求古典概型的概率，以及频率分布图等问题，熟记公式，即可求解，属于基础题型.‎ ‎19．已知抛物线：上一点到焦点的距离为2.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）2；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可得准线方程为，由点到焦点距离为2，可得P的值；‎ ‎（2）分析可得当斜率不存在时，可得不满足题意；当斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与抛物线可得，由，可得k的值，可得直线的方程.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）抛物线焦点为，准线方程为，‎ 因为点到焦点距离为2，所以，解得.‎ ‎（2）抛物线的焦点坐标为，‎ 当斜率不存在时，可得不满足题意，‎ 当斜率存在时，设直线的方程为.‎ 联立方程，得，‎ 显然，设，，‎ 则，‎ 所以，解得，.‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的几何性质与直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎20．如图，在直三棱柱中，点在棱上，，分别是，的中点，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当为的中点时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)可推导出，，所以平面，可得，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明.‎ ‎(2)可求得的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）在直三棱柱中，有，‎ 又因为，所以平面，‎ 因为平面，所以.‎ 所以，，，‎ 如图，分别以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，.‎ 设，则，，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎（2）当为的中点时，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，则 ‎，即，‎ 令得，，‎ 容易知平面的法向量为，‎ 所以，‎ 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解题的关键，属中档题.‎ ‎21．已知动点与点的距离和它到直线：的距离的比是.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知定点，若，是轨迹上两个不同动点，直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）斜率为定值，该值为1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由动点与点的距离和它到直线：的距离的比是，可得方程，化简可得的轨迹的方程；‎ ‎（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为,可得所以直线的方程为，直线的方程为. 设点，，由，因为点在椭圆上,可得的值，的值，可得直线的斜率为定值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设是点到直线：的距离，依题意可得，‎ 点的轨迹就是集合：，‎ 由此得，‎ 将上式两边平方，并化简得，‎ 即点的轨迹方程是.‎ ‎（2）因为，‎ 设直线的斜率为，则直线的斜率为.‎ 所以直线的方程为，‎ 直线的方程为.‎ 设点，，由，‎ 得 （1）‎ 因为点在椭圆上，所以是方程（1）的一个根，‎ 则，所以.‎ 同理，所以，.‎ 又，‎ 所以直线的斜率，‎ 所以直线的斜率为定值，该值为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)可得函数的定义域为，求出的导数，分当，当的情况讨论，可得的单调性；‎ ‎(2)可构造函数，可得，可设，则，可得的最小值，可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）函数的定义域为，‎ ‎，，‎ 当时，，所以在上单调递增；‎ 当时，由得，，‎ 则函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上所述，当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）设，‎ 则题意等价于：当时，恒成立，‎ ‎，‎ 设，则，所以在上单调递增.‎ 又，，‎ 所以存在唯一，使，即，‎ 且当时，，即，函数单调递减，‎ 当时，，即，函数单调递增.‎ 所以， .‎ 即.‎ 所以，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，及求参数的范围，着重考查分类讨论思想