2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 ‎【答案】D ‎【解析】根据复数的乘法运算，化简得复数，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，复数，所以复数对应的点位于第一象限，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数乘法运算，以及复数的表示，其中熟记复数的乘法运算，准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎2．一个物体的位移(米)与时间(秒)的关系为，则该物体在3秒末的瞬时速度是（ ）‎ A．6米/秒 B．5米/秒 C．4米/秒 D．3米/秒 ‎【答案】C ‎【解析】由，求得，当时，代入即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，物体的位移(米)与时间(秒)的关系为，则，‎ 当时，，即3秒末的瞬时速度为4米/秒，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了瞬时速度的计算，其中熟记函数在某点处的导数的几何意义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎3．曲线在点处的切线斜率为（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数，则，求得 ‎，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，所以，‎ 即曲线在点处的切线斜率，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线的斜率，其中解答中熟记导数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎4．设的周长为，的面积为，内切圆半径为，则，类比这个结论可知：四面体的表面积分别为，内切球半径为，体积为，则等于(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设四面体的内切球的球心为，可得四面体的体积等于以球心为顶点，分别以四个面为底面的四个三棱锥的体积和，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都是，‎ 所以四面体的体积等于以球心为顶点，分别以四个面为底面的四个三棱锥的体积和，‎ 又由四面体的表面积为，所以四面体的体积为，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了类比推理的应用，其中类比推理是依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对应的性质类比到另一类数学对象上却，其一般步骤：（1）找出两类事物的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得很一个明确的结论，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎5．函数的单调递增区间为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求得，令，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 令，即且，解得，‎ 即函数的单调递增区间为，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数和函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎6．已知 (为虚数单位)，则复数的共轭复数等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由复数的运算法则，化简复数，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，复数满足，即，‎ 所以复数的共轭复数等于，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎7．已知函数,则的值等于（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数，根据定积分的运算性质，得，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，‎ 根据定积分的运算性质，可得，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了定积分的计算，其中解答中熟记定积分的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎8．函数在内有极小值，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求得函数的导数，要使得函数在内有极小值，则满足，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 要使得函数在内有极小值，则满足，‎ 解答，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的极值问题，其中解答中熟记导数与函数的极值之间的关系，以及极值的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎9．用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题设中的等式，当时，等式的左边为，当时，等式的左边为，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得当时，等式的左边为，‎ 当时，等式的左边为，‎ 当时，等式的左边为，‎ 所以从到时，左边需增加的代数式是，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数学归纳法的应用，其中解答中熟记数学归纳法的基本形式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎10．由曲线，，围成的封闭图形的面积为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】联立方程组，确定被积区间和被积函数，得出曲边形的面积，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，联立方程组，解得，‎ 所以曲线，，围成的封闭图形的面积为 ‎，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题意求解交点的坐标，确定被积分区间和被积函数，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎11．直线与曲线相切于点，则的值为（ ）‎ A．2 B．－1 C．1 D．－2‎ ‎【答案】A ‎【解析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，直线与曲线相切于点，‎ 则点满足直线，代入可得，解得，‎ 又由曲线，则，‎ 所以，解得，即，‎ 把点代入，可得，解答，‎ 所以，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎12．函数的定义域为，对任意则的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，求得，得到函数为上的单调递增函数，‎ 又由，得出则不等式的解集，即为，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，令，则，‎ 因为，所以，即函数为上的单调递增函数，‎ 又由，则，‎ 则不等式的解集，即为，解得，‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的应用，其中解答中通过构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，合理求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于基础题．‎ 二、填空题 ‎13．若复数 ()，则_________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由复数相等的充要条件，求得，进而利用复数的化简，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，复数满足，所以，解得，‎ 所以复数．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的运算，其中解答中熟记复数相等的条件和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎14．__________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据积分的几何意义，原积分的值即为单元圆在第一象限的面积 则 ‎15．曲线上的任意一点处切线的倾斜角的取值范围是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求得函数的导数，得到，进而得出在点处切线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 即曲线上的任意一点处切线的斜率，‎ 设直线的倾斜角为，即，‎ 又因为，所以，‎ 即曲线上的任意一点处切线的倾斜角的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，再利用直线的斜率与倾斜角的关系，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎16．如图所示的数阵中，第64行第2个数字是________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从第2行开始，每一行的第2个数字的分母组成一个数列，得出数列则满足递推关系式，进而求得数列的通项公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，从第2行开始，每一行的第2个数字的分母组成一个数列，其中，‎ 则满足，‎ 则 ‎ 当时，则，‎ 所以第64行的第2个数字为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的应用问题，其中解答中根据题意把从第2行开始，每一行的第2个数字的分母组成一个数列，求得数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ 三、解答题 ‎17．若复数，，且为纯虚数，求 ‎【答案】13‎ ‎【解析】由复数为纯虚数，求得，得到，进而求得，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，复数为纯虚数， ‎ 则，解得，所以，‎ 又，所以，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的分类，以及复数的运算其中解答中熟记复数的分类，以及复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（I）求在处的切线方程；‎ ‎（II）讨论函数的单调性。‎ ‎【答案】（I）（Ⅱ）在和上单调递增，在和上单调递增 ‎【解析】（I）求得函数的导数，得到 ‎，利用直线的点斜式方程，即可求解在处的切线方程；‎ ‎（II）设，求得则，令，解得，进而可求得函数的单调区间．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由题意，函数，得，可得，‎ 故在处的切线方程为，即．‎ ‎（II）设，‎ 则 令，解得 则随的变化情况如下表： ‎ 极小 极大 极小 所以在和上单调递增，在和上单调递增．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程，以及利用导数求解函数的单调性，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．‎ ‎19．（1）已知为实数，用分析法证明；‎ ‎（2）用数学归纳法证明；‎ ‎【答案】（I）见证明；（Ⅱ）见证明 ‎【解析】(Ⅰ)利用分析法，即可作出证明；‎ ‎（Ⅱ）利用数学归纳法，即可作出证明．‎ ‎【详解】‎ 证明：(Ⅰ)要证，‎ 只要证 ‎ 只要证 只要证 只要证 ‎ 只要证 ‎ 只要证 只要证显然成立，故原结论成立．‎ ‎（Ⅱ）①当时，左边，右边，‎ 左边＝右边，等式成立． ‎ ‎②假设当时等式成立，即，‎ 那么当时，左边 右边 左边＝右边，即当时等式也成立； ‎ 综合①②可知等式对任何都成立．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了间接证明，以及数学归纳法的证明方法，其中解答中明确分析法的证明方法，以及数学归纳证明方法是解答的关键，对于数学归纳法证明过程中，在到的推理中必须使用归纳假设，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．‎ ‎20．已知函数（为实数）．‎ ‎（I）讨论函数的单调性；‎ ‎（II）若在上的恒成立，求的范围；‎ ‎【答案】（I）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】(Ⅰ) 求得函数的导数令，解得或，根据根的大小三种情况分类讨论，即可求解．‎ ‎（II ）依题意有在上的恒成立，‎ 转化为在上的恒成立，设，，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ) 由题意，函数，‎ 则 ‎ 令，解得或，‎ ‎①当时，有，有，故在上单调递增； ‎ ‎②当时，有，随的变化情况如下表： ‎ 极大 极小 由上表可知在和上单调递增，在上单调递减； ‎ ‎③同②当时，有，‎ 有在和上单调递增，在上单调递减； ‎ 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递增；‎ 当时，在和上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（II ）依题意有在上的恒成立，‎ 即在上的恒成立，‎ 故在上的恒成立，‎ 设，，则有…（）‎ 易得，令，有，，‎ 随的变化情况如下表： ‎ 极大 由上表可知，‎ 又由（）式可知，‎ 故的范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎21．某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）。经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元。设余下工程的总费用为万元。‎ ‎（I）试将表示成关于的函数；‎ ‎（II）需要修建多少个増压站才能使总费用最小？‎ ‎【答案】（I）（Ⅱ）5个 ‎【解析】(Ⅰ)依题意可知余下工程有段管道，有个增压站，即可求得余下工程的总费用，得到函数的解析式；‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)知，求得，令，解得，‎ 得出函数的单调性与最值，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)依题意可知余下工程有段管道，有个增压站， ‎ 故余下工程的总费用为，‎ 所以将表示成关于的函数 ，‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，有，‎ 令，解得，‎ 随的变化情况如下表： ‎ ‎20‎ 极小 由上表易知，函数在时取得最小值，此时， ‎ 故需要修建5个増压站才能使总费用最小．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的实际应用问题，其中解答中根据题意，得出函数的解析式，合理利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎22．已知函数。‎ ‎（I）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（II）若函数有两个极值点且，求证 ‎【答案】（I）（Ⅱ）见证明 ‎【解析】（I）求得函数的导数，把函数在区间上是单调递增函数，转化为在上恒成立，即可求解．‎ ‎（II）求得，把函数有两个极值点，转化为在内有两根，设，根据二次函数的性质求得，同时利用韦达定理，化简得，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由题意，函数，则，‎ 又函数在区间上是单调递增函数，故在上恒成立，‎ 即在上恒成立，故在上恒成立，‎ 设，，则 ‎ 故实数的取值范围为； ‎ ‎（II）易知，‎ 依题意可知在内有两根，且，‎ 设，则有， ‎ 又， ‎ 由根与系数关系有，‎ 故， ‎ 令，‎ 则有，，‎ 又，，故存在唯一，使得 易知当时有，当时有，‎ 故在上单调递减，在上单调递增， ‎ 又，，故对，均有， ‎ 故在上单调递减，又，，故，‎ 即，命题得证．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎