人教大纲版高考数学题库考点13 解斜三角形及应用举例

人教大纲版高考数学题库考点13 解斜三角形及应用举例

‎ ‎ 考点13 解斜三角形及应用举例 ‎1.（2010·湖北高考理科·Ｔ3）在△ABC中，=15，b=10, ∠A=，则( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【命题立意】本题主要考查解三角形时正、余弦定理的应用，以及三角形边角的性质.‎ ‎【思路点拨】先由正弦定理求出sinB，再结合三角形“大边对大角”的性质判断角B的范围，最后利用平方关系求出cosB.‎ ‎【规范解答】选C.由正弦定理知 知 ‎，又，故，从而,.‎ ‎【方法技巧】利用“大边对大角”判断出∠B是锐角是本题解题关键.‎ ‎2.（2010·上海高考理科·Ｔ１8）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，‎ 则此人能（ ）‎ ‎（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形 ‎（C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形 ‎【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质及用余弦定理判定三角形形状的应用．‎ ‎【思路点拨】先由高转化到边长，再由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负．‎ ‎【规范解答】选D.设三角形的面积为S，则，所以，同理可得另两边长，，‎ 由余弦定理，所以A为钝角．所以能作出一个钝角三角形.‎ ‎【方法技巧】‎ 由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．‎ ‎3.（2010·上海高考文科·Ｔ１8）若△的三个内角满足，‎ 则△（ ）‎ ‎（A）一定是锐角三角形 （B）一定是直角三角形 ‎（C）一定是钝角三角形 (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质、正弦定理及余弦定理判定三角形形状等有关知识．‎ ‎【思路点拨】由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负．‎ ‎【规范解答】选C .由正弦定理可得，设，则，，由余弦定理得 ‎，所以C为钝角．‎ ‎【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．‎ ‎4.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ17）中，为边上的一点，，，，求.‎ ‎【命题立意】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式及解三角形知识.‎ ‎【思路点拨】由已知可得cosB，利用两角和的正弦公式可得sin∠BAD。在三角形ABD中用正弦定理求AD.‎ ‎【规范解答】由cos∠ADC=>0知，B<.由已知得cosB=,sin∠ADC=　，‎ 从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=‎ 由正弦定理得 所以 AD=‎ ‎5.（2010·重庆高考文科·Ｔ18）设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为，且.‎ ‎（1）求的值.‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【命题立意】本小题考查解三角形的基础知识，考查余弦定理及其应用，考查三角函数的恒等变换和求值，考查运算求解能力，考查方程的思想.‎ ‎【思路点拨】（1）先用余弦定理求出角A的余弦值，再求正弦值.（2）熟练应用有关的三角函数公式, 进行三角恒等变形.‎ ‎【规范解答】（Ⅰ）由余弦定理得：，又因为，所以，所以，‎ 因为，所以，即的值是.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎.‎ ‎【方法技巧】将余弦定理公式中的部分式子看作一个整体，采用整体代入、化简的方法.‎ ‎6.（2010·重庆高考理科·Ｔ１6）设函数.‎ ‎（1）求的值域.‎ ‎（2）记的内角A，B，C的对边长分别为，若=1，b=1,c=，求的值.‎ ‎【命题立意】本小题考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式的应用及函数的性质，同时考查正、余弦定理及其应用及运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】把函数化为一个正弦（或余弦）函数求得值域，再根据求出角B；最后利用正弦定理或余弦定理求的值.‎ ‎【规范解答】（1）‎ ‎，‎ 因为，所以，因此的值域是 .‎ ‎（2）因为，所以，即，‎ 又因为，所以，所以，.‎ ‎（方法一）由余弦定理得，解得或2.‎ ‎（方法二）由正弦定理得，所以或；‎ 当时，，所以；‎ 当时，，所以；故的值是1或2.‎ ‎【方法技巧】运算能力与公式应用、变形技巧是解答关键.‎ ‎7.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ17） 已知的内角，及其对边，满足，求内角．‎ ‎【命题立意】本小题主要考查考生处理三角形边角关系问题的能力，能否通过恰当使用正弦定理、余弦定理以及三角形中的三内角间的关系将有关边角确定，是否掌握处理有关三角形边角关系的一般方法.本题突出考查三角恒等变形，两角和与差的正余弦公式及三角中的运算技巧.‎ ‎【思路点拨】利用正弦定理，将变形为，移项后利用两角和的正弦求解，注意到.‎ ‎【规范解答】由及正弦定理得 ‎,‎ ‎,‎ 从而,‎ ‎.‎ 又,‎ 故,‎ ‎,‎ 所以.‎ ‎【方法技巧】巧妙利用正弦定理进行边化角并注意到判断出. ‎