2019-2020学年福建省平和一中、南靖一中等五校高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2019-2020学年福建省平和一中、南靖一中等五校高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2019-2020 学年福建省平和一中、南靖一中等五校高一上学期 期中联考数学试题 一、单选题 1．设集合 ，集合 ，则 等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集. 【详解】 交集是两个集合的公共元素，故 . 故选：D. 【点睛】 本小题主要考查两个集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）． A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】C 【解析】对选项逐一分析函数的定义域、值域和对应关系，由此判断出正确选项. 【详解】 对于 A 选项，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，故不是同 一函数. 对于 B 选项，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，故不是同一 函数. 对于 C 选项，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，且 ， 故是同一函数. 对于 D 选项，函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，故不是同 { }1 1A x x= − < < { }0 4B x x= < < A B { }1 4x x< < { }1 0x x− < < { }1 4x x− < < { }0 1x x< < A B { }0 1x x= < < ( ) 1f x = ( ) 0g x x= ( ) 2f x x= + ( ) 2 4 2 xg x x −= − ( )f x x= ( ) 2g x x= ( )f x x= ( ) ( )2 g x x= ( )f x R ( )g x { }| 0x x ≠ ( )f x R ( )g x { }| 2x x ≠ ( )f x R ( )g x R ( ) ( )g x x f x= = ( )f x R ( )g x { }| 0x x ≥ 一函数. 故选：C 【点睛】 本小题主要考查两个函数是否是同一函数的判断，考查函数的定义域、值域和对应关系， 属于基础题. 3．若函数 ，则 的值为（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【解析】利用分段函数求出 ，然后求解 的值． 【详解】 故选：D 【点睛】 本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题。 4．已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则点 的坐标是 （ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据 ，求得函数所过定点 的坐标. 【详解】 当 时， ，即 ，故 . 故选：D. 【点睛】 本小题主要考查指数型函数过定点问题，属于基础题. 5．若幂函数 的图象经过点 ，则 的值等于（ ）． ( ) 1, 1 2 , 0 x xf x x x + ≥=  − < ( )3f f −   ( )3f − ( )3f f −   ( ) 1, 1 2 , 0 x xf x x x + ≥=  − < ( )3 2 ( 3) 5f∴ − = − − = ( )3 (5) 5 1 6f f f∴ − = = + =   ( ) 2 2 3xf x a −= + 0a > 1a ≠ P P ( )0,3 ( )1,3 ( )0,4 ( )1,4 0 1a = P 2 2 0x − = 1x = ( ) 2 21 3 1 3 4f a −= + = + = ( )1,4P ( ) af x kx= ( )27,3 ( )8f A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】根据幂函数的概念和 所过点 ，求得 的值，由此求得 的 值. 【详解】 由于函数 为幂函数，故 ，即 ，将 代入得 ， 所以 ，故 . 故选：A 【点睛】 本小题主要考查幂函数的定义，考查幂函数函数值的求法，属于基础题. 6．已知 ， ， ，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用 分段法，比较出三者的大小关系. 【详解】 依题意可知 ，故 . 故选：B. 【点睛】 本小题主要考查利用 分段法比较对数、幂的大小，属于基础题. 7．已知函数 y=f（x）在 R 上为奇函数，且当 x≥0 时，f（x）=x2﹣2x，则当 x＜0 时， f（x）的解析式是（ ） A．f（x）=﹣x（x+2） B．f（x）=x（x﹣2） C．f（x）=﹣x（x﹣2） D．f（x）=x（x+2） 【答案】A 【解析】因为函数 在 时， ，所以 时， ，所 以 ，因为函数是奇函数，所以 ，所以选 A 点睛：本题考察分段函数的性质，注意每段函数所对应的范围为其切入点. 8．今有一组实验数据如下： 2− 4− ( )f x ( )27,3 ,k a ( )8f ( )f x 1k = ( ) af x x= ( )27,3 127 3, 3 a a= = ( ) 1 3f x x= ( ) 1 38 8 2f = = 0.50.2a = ln 0.2b = lg11c = a b c> > c a b> > a c b> > c b a> > 0,1 ( )0.50.2 0,1 , ln 0.2 0, lg11 lg10 1a b c= ∈ = < = > = c a b> > 0,1 ( )y f x= 0x ≥ ( ) 2 2f x x x= − 0x < 0x− > 2 2( ) ( ) 2( ) 2f x x x x x− = − − − = + 2 2( ) ( ) ( 2 ) 2f x f x x x x x− = − = − + = − − 12 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 （ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 代入选项中函数的解析式，由此判断最接近的函数. 【详解】 对于 A 选项， 时， ，与表格 差距较大，故排除. 对于 B 选项， 时， ， 时， ，与表格数据较为吻合. 对于 C 选项， 时， ，与表格 差距较大，故排除. 对于 D 选项， 时， ，与表格 差距较大，故排除. 故选：B. 【点睛】 本小题主要考查根据实验数据选取函数模型，属于基础题. 9．已知 ，则 的解析式为（ ） A． ，且 B． ，且 C． ，且 D． ，且 【答案】C 【解析】令 t= ，得到 x= ，∵x≠1，∴t≠1 且 t≠0， ∴ 且 t≠0) ∴ 且 x≠0)， 故选 C. 点睛：求函数解析式常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.12 y 1.5 4.0 7.5 18.1 2 2y x= − 2 1 2 xy −= 2 1xy = − 2logy x= 2,3x = 2x = 2y = 1.5y = 2x = 1.5y = 3x = 4y = 2x = 3y = 1.5y = 2x = 1y = 1.5y = 1( ) 1 xf x x = − ( )f x 1( ) ( 0xf x xx −= ≠ 1)x ≠ 1( ) ( 01f x xx = ≠− 1)x ≠ 1( ) ( 01f x xx = ≠− 1)x ≠ ( ) ( 01 xf x xx = ≠− 1)x ≠ 1 x 1 t ( ) 1 1 ( 11 11 tf t tt t = = ≠−− ( ) 1 ( 01f x xx = ≠− (2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)方程法：已知关于 f(x)与 或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一 个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)． 10．若函数 f(x)＝ax－1 的图象经过点(2，4)，则函数 的图象是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件知 ；函数 定义域 为 ，在定义域上是减函数；故选 D 11．函数 （ 且 ）在区间 上的值不大于 2，则函数 的值域是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据指数函数的单调性列不等式，求得 的取值范围，由此求得 的值域. 【详解】 由于 是指数函数，当 时， 在 上递增， ，解得 ；当 时， 在 上递减， ，解得 .所以 .注意到 在 上递增，故函数 的值域是 ，即 . 故选：A. 1f x      ( ) 1log 1ag x x = + 4 1 4 1(2) 4; ( ) log log ( 1)1f a g x xx = = ∴ = = ++ ( )g x ( 1, )− +∞ ( ) xf x a= 0a > 1a ≠ [ ]2 2− , ( ) 2logg a a= 1 1,0 0,2 2    − ∪      1 1, 0,2 2    −∞ −       1 1,2 2  −   1 1,0 ,2 2    − +∞      a ( )g a ( )f x 1a > ( )f x [ ]2 2− , ( ) 22 2f a= ≤ 1 2a< ≤ 0 1a< < ( )f x [ ]2 2− , ( ) 22 2f a−− = ≤ 2 12 a≤ < (2 ,1 1, 22a   ∈ ∪   2logy x= ( )0, ∞+ ( ) 2logg a a= (2 2 2 2 2log ,log 1 log 1,log 22   ∪   1 1,0 0,2 2    − ∪      【点睛】 本小题主要考查指数函数的单调性和最值，考查对数型函数的单调性和值域，属于基础 题. 12．函数 ，若方程 有且只有两个不等的实数根， 则实数 的取值范围为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数 的分段表达式，画出 的图像，画出 的图像， 根据 与 图像有两个不同的交点，求得实数 的取值范围. 【详解】 当 时， ，所以 ； 当 时， ，所以 ； 当 时， ，所以 ； 以此类推，画出 的图像如下图所示，在同一个图像中，画出 的图像， 由图可知，要使 与 图像有两个不同的交点，则需 ，即 ，解得 . 故选：B. ( ) ( ) 2 1, 0 1 , 0 x xf x f x x − − <=  − ≥ ( )f x a x= a ( )0,1 2 ,12      ( )1,+∞ 2 ,2  +∞    ( )f x ( )f x ( )g x a x= ( )f x ( )g x a x= a [ )0,1x∈ [ )1 1,0x − ∈ − ( ) ( ) 11 2 1xf x f x −= − = − [ )1,2x∈ [ )1 0,1x− ∈ ( ) ( ) ( )1 1 21 2 1 2 1x xf x f x − − −= − = − = − [ )2,3x∈ [ )1 1,2x − ∈ ( ) ( ) ( )2 1 31 2 1 2 1x xf x f x − − −= − = − = − ( )f x ( )g x a x= ( )f x ( )g x a x= ( ) ( ) 1 1 2 1 g g  ≤ > 1 2 1 a a ≤ > 2 12 a< ≤ 【点睛】 本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查方程的根、两个函数图像的交点的对应关 系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 二、填空题 13．式子 的值等于______． 【答案】0 【解析】根据根式运算公式，化简所求表达式. 【详解】 依题意，原式 . 故答案为： 【点睛】 本小题主要考查根式运算，考查运算求解能力，属于基础题. 14．函数 的定义域为______． 【答案】 【解析】根据分式分母不为零，求得函数的定义域. 【详解】 由于 为分式的形式，故 ，即 ，所以函数的定义域为 . 故答案为： 【点睛】 本小题主要考查具体函数的定义域的求法，属于基础题. 15．已知函数 的定义域是一切实数,则 m 的取值范围是 ______． 【答案】 【解析】对 分成 两种情况，根据函数 的定义域为 ，求得 的 取值范围. 【详解】 ( ) ( )34 34 2 2− + − ( )2 2 2 2 0= − + − = − = 0 ( ) 1 2019f x x = − { }2019x x ≠ ( )f x 2019 0x − ≠ 2019x ≠ { }2019x x ≠ { }2019x x ≠ ( ) 2 2f x mx mx= + + 0 8m≤ ≤ m 0, 0m m= ≠ ( )f x R m 当 时， ，定义域为 ，符合题意. 当 时，要使 在 上恒成立，则需 ，解得 . 综上所述，实数 的取值范围是 . 故答案为： 【点睛】 本小题主要考查函数定义域，考查一元二次不等式恒成立问题的求解，属于基础题. 16．已知函数 （ 为常数），若 时， 恒成立，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】令 ，分离常数 ，由此求得 的取值范围. 【详解】 依题意 时， 恒成立，即 ， ， ， 在 时成立.而在区间 上， 为单调递增函数，当 时有最 小值为 ，故 ，所以 . 故答案为： 【点睛】 本小题主要考查不等式恒成立问题的求解，考查指数函数和对数函数的性质，属于基础 题. 三、解答题 17．已知集合 ， ． （1）求 ； （2）已知 ，若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） 或 ． （2） 【解析】（1）先求得 和 ，然后求得 . 0m = ( ) 2f x = R 0m ≠ 2 2 0mx mx+ + ≥ R 2 0 8 0 m m m > ∆ = − ≤ 0 8m< ≤ m 0 8m≤ ≤ 0 8m≤ ≤ ( ) ( )lg 2xf x b= − b [ )1,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ b ( ],1−∞ ( ) 0f x ≥ b b [ )1,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ ( )lg 2 0x b− ≥ 2 1x b− ≥ 2 1xb ≤ − [ )1,x∈ +∞ [ )1,+∞ 2 1xy = − 1x = 12 1 1− = 2 1 1xy = − ≥ 1b ≤ ( ],1−∞ { }5 3 1 17A x x= ≤ − < { }3 9B x x= < < ( )R B A { }1C x a x a= ≤ < + C B⊆ a { 6x x < }9x ≥ ( ]3,8 R B A ( )R B A （2）根据 列不等式组，解不等式组求得 的取值范围. 【详解】 （1） ，因为 或 ， 所以 或 ． （2）因为 ，所以 ，得 ，所以 ． 【点睛】 本小题主要考查集合并集、补集的运算，考查根据集合的包含关系求参数，属于基础题. 18．已知函数 的图象在 内是连续不断的，对应值 表如下： 0 1 2 3 4 5 （1）计算上述表格中的对应值 和 ； （2）从上述对应填表中，可以发现函数 在哪几个区间内有零点？说明理由． 【答案】（1） ， （2）函数 分别在区间 ， ， 内有零点,理由见解析 【解析】（1）利用 ，求得 的值. （2）根据零点的存在性定理，判断出有零点的区间. 【详解】 （1）由题意可知 ， ． （2）∵ ， ， ， ∴函数 分别在区间 ， ， 内有零点． 【点睛】 本小题主要考查根据函数解析式求函数值，考查零点存在性定理的运用，属于基础题. 19．已知函数 ． C B⊆ a { }2 6A x x= ≤ < { 3R B x x= ≤ }9x ≥ ( ) { 6R B A x x∪ = < }9x ≥ C B⊆ 3 1 9 a a >  + ≤ 3 8a< ≤ ( ]3,8a∈ ( ) ( ) 3 2log 3 2 4f x x x x= + − + [ ]2,5− x 2− 1− ( )f x a 1− 1.58 b 5.68− 39.42− 109.10− 227− a b ( )f x 8a = 4b = ( )f x ( )2, 1− − ( )1,0− ( )1,2 ( ) ( )2 , 1f f− ,a b ( ) ( ) ( ) ( )3 22 log 2 3 2 2 4 2 0 16 8 8a f= − = − + − ⋅ − + ⋅ − = + − = ( ) 21 log 4 2 4 4b f= = − + = ( ) ( )2 1 0f f− ⋅ − < ( ) ( )1 0 0f f− ⋅ < ( ) ( )1 2 0f f⋅ < ( )f x ( )2, 1− − ( )1,0− ( )1,2 ( ) 2 1 4f x x = − （1）判断函数 在区间 上的单调性，并用单调性定义证明； （2）求函数 在区间 上的值域． 【答案】（1）单调递减，证明见解析 （2） 【解析】（1）利用函数单调性的定义，计算 ，由此证得函数在区间 上递减. （2）根据（1）中求得 的单调性，求得函数在区间 上的值域. 【详解】 （1）函数 在区间 上单调递减，证明如下： 任取 ，且 ， 则 ， ∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ， ， ， ∴ ，即 ． 由单调性的定义可知函数在区间 上单调递减． （2）由（1）知函数 在区间 上单调递减， 所以函数 的最大值为 ，最小值为 ， 所以函数 在区间 上的值域为 ． 【点睛】 本小题主要考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数的单调性求函 数的值域，属于基础题. 20．已知 是定义在 的奇函数，当 时， ．若函数 在 上单调递减． ( )f x ( )2,+∞ ( )f x [ ]3,4 1 1,12 5      ( ) ( )1 2 0f x f x− > ( )2,+∞ ( )f x [ ]3,4 ( ) 2 1 4f x x = − ( )2,+∞ ( )1 2, 2,x x ∈ +∞ 1 2x x< ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 1 2 12 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 4 4 4 4 4 4 x x x xx xf x f x x x x x x x − +−− = − = =− − − − − − 1 2x x< 2 1 0x x− > ( )1 2, 2,x x ∈ +∞ 2 1 0x x+ > 2 1 4 0x − > 2 2 4 0x − > ( )( ) ( )( )2 1 2 1 2 2 1 2 0 4 4 x x x x x x − + > − − ( ) ( )1 2f x f x> ( )2,+∞ ( )f x [ ]3,4 ( )f x ( ) 13 5f = ( ) 14 12f = ( )f x [ ]3,4 1 1,12 5      ( )f x R 0x ≥ ( ) 2f x x ax= − + ( )f x [ )0,+∞ （1）求 的取值范围； （2）若对实数 ， 恒成立，求实数 的取值范 围． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据函数 为奇函数，结合 以及二次函数的单调性，得到 ，由此求得 的取值范围. （2）根据函数 的奇偶性和单调性化简 ，分离常数 ， 根据 的取值范围，求得 的取值范围. 【详解】 （1）①∵ 是定义在 上的奇函数 ∵ ， 在 上单调递减 ∴ ，∴ ． （2）∵ 在 上单调递减且在 上是奇函数，故 在 上递减， 由 得 ∴ 恒成立， ． 令 ， ∵对称轴 ，∴ 时， 为增函数， ∴当 时， 取到最大值 ．∴ ． 【点睛】 本小题主要考查函数的单调性与奇偶性，考查函数不等式的解法，考查不等式恒成立问 题的求解策略，属于中档题. 21．某家具厂生产一种办公桌，每张办公桌的成本为 100 元，出厂单价为 160 元，该厂 为鼓励销售商多订购，决定一次订购量超过 100 张时，每超过一张，这批订购的全部办 公桌出厂单价降低 1 元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过 160 张． （1）设一次订购量为 张，办公桌的实际出厂单价为 元，求 关于 的函数关系式 ； a [ ]5, 2m∈ − − ( ) ( )21 0f m f m t− + + < t 0a ≤ 1t > − ( )f x ( )0 0f = 02 a ≤ a ( )f x ( ) ( )21 0f m f m t− + + < t m t ( )f x R ( )0 0f = ( ) 2f x x ax= − + [ )0,+∞ 02 a ≤ 0a ≤ ( )f x [ )0,+∞ R ( )f x R ( ) ( ) ( )2 21f m f m t f m t− < − + = − − 21m m t− > − − 2 1t m m> − − + [ ]5, 2m∈ − − ( ) 2 1h m m m= − − + 1 2m = − [ ]5, 2m∈ − − ( )h m 2m = − ( )h m 1− 1t > − x P P x ( )P x （2）当一次性订购量 为多少时，该家具厂这次销售办公桌所获得的利润 最大？ 其最大利润是多少元？（该家具厂出售一张办公桌的利润＝实际出厂单价－成本） 【答案】（1） （2）当第一次订购量为 100 张时，该家具厂在这次订购中所获得的利润最大，其最大 利润是 6000 元． 【解析】（1）将订购量 分为 两种情况，求得办公桌的实际 出厂单价的分段函数解析式. （2）利用单价减去成本，再乘以订购量，求得利润 的解析式.根据分段函数 的解析式，结合函数的单调性，求得 的最大值. 【详解】 （1）依题意得 即 ． （2）由（1）得 即 （i）当 ，则 时， ． （ii）当 ，则 在 单调递减． ∴ ∴ ． 综上所述， 的最大值为 6000． 答：当第一次订购量为 100 张时，该家具厂在这次订购中所获得的利润最大，其最大利 润是 6000 元． 【点睛】 本小题主要考查分段函数在实际生活中的应用，考查函数最值的求法，属于基础题. 22．已知定义在 上的函数 满足 . x ( )f x ( ) 160,0 100, 260 ,100 160, x xP x x x x < ≤ ∈=  − < ≤ ∈ N N x 0 100,100 160x x< ≤ < ≤ ( )f x ( )f x ( )f x ( ) ( ) 160,0 100, 160 100 ,100 160, x xP x x x x < ≤ ∈=  − − < ≤ ∈ N N ( ) 160,0 100, 260 ,100 160, x xP x x x x < ≤ ∈=  − < ≤ ∈ N N ( ) ( ) 60 ,0 100, 160 ,100 160, x x xf x x x x x < ≤ ∈=  − < ≤ ∈ N N ( ) 2 60 ,0 100, 160 ,100 160, x x xf x x x x x < ≤ ∈= − + < ≤ ∈ N N 0 100x< ≤ 100x = ( ) ( )max 100 6000f x f= = 100 150x< ≤ ( )f x ( ]100,150 ( ) ( ) ( )150 100f f x f≤ < ( )1500 6000f x≤ < ( )f x R ( )f x ( )( ) ( )2 2f f x x x f x x x− + = − + （1）当 时，求 ；当 时，求 . （2）若有且仅有一个实数 ，使得 ，求函数 的解析式. 【答案】（1） ；（2） 【解析】【详解】 （1）令 ，得 . 因为 ，所以 . 再令 ，得 . 因为 ，所以 . （2）因为对任意的 ，有 ，又有且仅有一个实 数 ，使得 ，所以， . 令 ，得 . 因为 ，则 .所以 或 . 若 则 即 .而 有两个相等的实根，矛盾. 若 则 ，即 .显然，方程 只有一个 实根，满足要求. 综上，所求函数为 . ( ) 3f x = ( )1f ( )0f a= ( )f a 0x ( )0 0f x x= ( )f x ( )f a a= ( ) ( )2 1f x x x x= − + ∈R 2x = ( )( ) ( )2 22 2 2 2 2 2f f f− + = − + ( )2 3f = ( ) ( )2 23 2 2 3 2 2 1 1f f− + = − + ⇒ = 0x = ( )( ) ( )0 0f f f= ( )0f a= ( )f a a= x R∈ ( )( ) ( )2 2f f x x x f x x x− + = − + 0x ( )0 0f x x= ( ) 2 0f x x x x− + = 0x x= ( ) 2 0 0 0 0f x x x x− + = ( )0 0f x x= 2 0 0 0x x− = 0 0x = 0 1x = 0 0x = ( ) 2 0f x x x− + = ( ) 2f x x x= − 2x x x− = 0 1x = ( ) 2 1f x x x− + = ( ) 2 1f x x x= − + 2 1x x x− + = ( ) ( )2 1f x x x x R= − + ∈