【数学】2018届一轮复习人教A版9-5椭圆学案
§9.5 椭圆
考纲展示► 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．
2．了解圆锥曲线的简单应用．
3．理解数形结合的思想．
考点1 椭圆的定义
椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若________，则集合P为椭圆；
(2)若________，则集合P为线段；
(3)若________，则集合P为空集．
答案：椭圆 焦点 焦距
(1)a>c (2)a＝c (3)a
0且a为常数)；乙：P点的轨迹是椭圆．则甲是乙的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)
答案：必要不充分
解析：∵乙⇒甲，甲 乙，
∴甲是乙的必要不充分条件.
椭圆的定义：关键在于理解．
(1)动点P到两定点M(0，－2)，N(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是________．
答案：线段
解析：因为|PM|＋|PN|＝|MN|＝4，所以点P的轨迹是一条线段．
(2)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．
答案：8
解析：由椭圆定义知，△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，所以△ABC的周长是4×2＝8.
[典题1] (1)[2017·北京东城区期末]过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为( )
A．2 B．4 C．8 D．2
[答案] B
[解析] 因为椭圆的方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1.根据椭圆的定义知，△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.
(2)已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值是( )
A．8 B．2 C．10 D．4
[答案] A
[解析] 由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a
＝4，∴|PF1|·|PF2|≤2＝8(当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立)．
(3)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
[答案] A
[解析] 由折叠过程可知，点M与点F关于直线CD对称，故|PM|＝|PF|，所以|PO|＋|PF
|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝r.由椭圆的定义可知，点P的轨迹为椭圆．
[点石成金] 1.利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a＞|F1F2|这一条件．
2．当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，椭圆中焦点三角形的5个常用结论
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ(θ＝∠F1PF2)．
(3)当P为短轴端点时，θ最大．
(4)S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin θ ＝·b2＝b2tan ＝c·|y0|.
当y0＝±b，即P为短轴端点时，S△PF1F2有最大值为bc.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
考点2 椭圆的方程
标准
方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
(1)[教材习题改编]已知方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围为________．
答案：(－3,1)∪(1,5)
解析：方程表示椭圆的条件为
解得m∈(－3,1)∪(1,5)．
(2)[教材习题改编]椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，长轴长是短轴长的倍，焦距为4，则椭圆的标准方程为________．
答案：＋＝1
解析：设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
由已知得a＝b，c＝2，
所以c2＝a2－b2＝b2＝4，得b2＝4，则a2＝8，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
椭圆的标准方程：关注焦点的位置．
已知椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于________．
答案：4或8
解析：由 得20，n>0，m≠n
)的形式.
1.一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：A
解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
即2a＝2×2c，＝，
又c2＝a2－b2，联立
得a2＝8，b2＝6，
故椭圆的方程为＋＝1.
2．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－)；
(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；
(3)经过两点，.
解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2(t1，t2＞0)，
∵椭圆过点(2，－)，
∴t1＝＋＝2或t2＝＋＝.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)由于焦点的位置不确定，
∴设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得
解得a＝4，c＝2，
∴b2＝12.
故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
(3)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)，
由
解得m＝，n＝.
∴椭圆的方程为＋＝1.
考点3 椭圆的几何性质
椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
性
质
范围
______≤x≤______，______≤y≤______
______≤x≤______，______≤y≤______
对称性
对称轴：________，对称中心：________
顶点
A1________，
A2________，
B1________，
B2________
A1________，
A2________，
B1________，
B2________
轴
长轴A1A2的长为________，短轴B1B2的长为________
焦距
|F1F2|＝________
离心率
e＝，e∈________
a，b，c
的关系
c2＝________
答案：－a a －b b －b b －a a
坐标轴 (0,0) (－a,0) (a,0) (0，－b) (0，b) (0，－a) (0，a) (－b,0) (b,0) 2a
2b 2c (0,1) a2－b2
(1)[教材习题改编]椭圆＋＝1的离心率为________．
答案：
解析：由＋＝1可得a2＝16，b2＝8，
∴c2＝a2－b2＝8，∴e2＝＝，∴e＝.
(2)[教材习题改编]已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．
答案： 或
解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，
由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，
把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，
又x＞0，所以x＝，
所以点P的坐标为 或 .
1.焦点三角形问题：定义法．
若椭圆＋＝1上的点P与椭圆两焦点F1，F2的连线互相垂直，则△F1PF2的面积为________．
答案：3
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n.
椭圆的长轴长为2a＝4，焦距为2c＝2，
因为PF1⊥PF2，所以m＋n＝4且m2＋n2＝4，
解得mn＝6，
所以△F1PF2的面积为mn＝3.
2．直线与椭圆的位置关系：代数法．
直线y＝x＋k与椭圆x2＋＝1只有一个公共点，则k＝________.
答案：－或
解析：将y＝x＋k代入x2＋＝1中，
消去y，得5x2＋2kx＋k2－4＝0.
因为直线与椭圆只有一个公共点，
所以Δ＝(2k)2－4×5(k2－4)＝0，解得k＝－或.
[典题3] (1)[2017·安徽淮南模拟]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 如图，设|AF|＝x，
则cos∠ABF＝＝，
解得x＝6，所以∠AFB＝90°，
由椭圆及直线关于原点对称可知，|AF1|＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1是直角三角形，
所以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，
所以＝.
(2)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
[答案] A
[解析] 如图，设PF1的中点为M，连接PF2.
因为O为F1F2的中点，
所以OM为△PF1F2的中位线．
所以OM∥PF2，
所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.
因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|.
由勾股定理，得
|F1F2|＝＝|PF2|，
由椭圆定义，得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，
即a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|，
即c＝，
则e＝＝·＝.
[题点发散1] [典题3](2)条件变为“若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且cos α＝，sin(α＋β)＝”，则椭圆的离心率为________．
答案：
解析：∵cos α＝⇒sin α＝.
sin(α＋β)＝⇒cos(α＋β)＝－.
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝.
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.
由正弦定理，得＝＝，
∴＝⇒e＝＝.
[题点发散2] [典题3](2)条件变为“P到两焦点的距离之比为2∶1”，试求椭圆的离心率的取值范围．
解：设P到两个焦点的距离分别是2k，k，
根据椭圆定义可知3k＝2a，
又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，
∴2a≤6c，即e≥.
又0＜e＜1，∴≤e＜1.
故椭圆的离心率的取值范围为.
[题点发散3] [典题3](2)条件中方程变为“x2＋2y2＝2”，P是该椭圆上的一个动点．求|＋|的最小值．
解：将方程变形为＋y2＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)．设P(x0，y0)，
则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，
∴＋＝(－2x0，－2y0)，
∴|＋|＝＝2
＝2
∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，
∴当y＝1时，|＋|的最小值为2.
[点石成金] 应用椭圆几何性质的两个技巧与一种方法
1．两个技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
2．一种方法
求椭圆的离心率的方法
(1)直接求出a，c，从而求解e，通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e，由已知条件得出a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率.
1.设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F1，F2，过F2 作x 轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B 与y 轴交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．
答案：
解析：由题意知，F1(－c,0)，F2(c,0)，
其中c＝，
因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，
由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.
因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，
所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，
所以点D的坐标为，
又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，
即×＝－1，
整理得b2＝2ac，
所以(a2－c2)＝2ac，
又e＝，0b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
答案：
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A，B在椭圆上，
则有＋＝0，
∴＋＝0，
由题意知x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，＝－，
∴＋＝0，
∴a2＝2b2，∴e＝.
考点4 直线与椭圆的位置关系
[考情聚焦] 直线与椭圆的综合问题是高考命题的一个热点问题，主要以解答题的形式出现，考查椭圆的定义、几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力．
主要有以下几个命题角度：
角度一
由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质
[典题4] 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求椭圆C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b的值．
[解] (1)根据a2－b2＝c2及题设知，
M，所以＝，得2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝或＝－2(舍去)．
故椭圆C的离心率为.
(2)设直线MN与y轴的交点为D，
由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，
所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及a2－b2＝c2代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，
故a＝7，b＝2.
[点石成金] 解决此类问题的关键是依据条件寻找关于a，b，c的关系式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆的几何性质．
角度二
由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质
[典题5] 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F与抛物线y2＝4x的焦点重合，短轴的下、上两个端点分别为 B1，B2，且·＝a.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(km＜0)与椭圆C交于M，N两点，AB是椭圆C经过原点O的弦，AB∥l，且＝4，问是否存在直线l，使得·＝2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由题意可知，抛物线的焦点为(，0)，
∴F(，0)，
＝(－，－b)，＝(－，b)，
·＝3－b2＝a，
又b2＝a2－3，解得a＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y，得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
∴Δ＝16(4k2－m2＋1)＞0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
则|MN|＝·
＝4·，
令m＝0，可得|AB|＝.
∴＝＝4，
化简得 m＝－k 或 m＝k(舍去)，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋3]
＝(1＋k2)x1x2－k2(x1＋x2)＋3k2
＝－＋3k2
＝＝2，
解得 k＝±，
故直线的方程为 y＝x－或y＝－x＋.
[点石成金] 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题用“点差法”解决，往往会更简单．
2．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝(k为直线斜率).
[方法技巧] 1.求椭圆标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．
(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．
2．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：
(1)求得a，c的值，直接代入公式e＝求得；
(2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解．
[易错防范] 1.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．
2．注意椭圆的范围，在设椭圆＋＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
真题演练集训
1．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：设E(0，m)，则直线AE的方程为－＋＝1，由题意可知，M，和B(a,0)三点共线，则＝，化简得a＝3c，则C的离心率e＝＝.
2．[2016·江苏卷]如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
答案：
解析：由题意可得B，C，F(c,0)，则由∠BFC＝90°得·＝·
＝c2－a2＋b2＝0，化简得c＝a，则离心率e＝＝＝.
3．[2016·天津卷]设椭圆＋＝1(a＞)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．
解：(1)设F(c,0)，由＋＝，即＋＝，可得a2－c2＝3c2，
又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．设B(xB，yB)，
由方程组消去y，整理得
(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
解得x＝2或x＝，
由题意得xB＝，从而yB＝.
由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有＝(－1，yH)，＝.由BF⊥HF，得·＝0，所以＋＝0，解得yH＝.因此直线MH的方程为y＝－x＋.
设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM＝.
在△MAO中，∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|，
即(xM－2)2＋y≤x＋y，化简得xM≥1，
即≥1，解得k≤－或k≥.
所以，直线l的斜率的取值范围为
∪.
4．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
解：(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，
故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx－2代入＋y2＝1得
(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝.
从而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝，
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d|PQ|＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0，
所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
课外拓展阅读
利用转化与化归思想求圆锥曲线离心率的取值(范围)
[典例] (1)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，上顶点为B2，右顶点为A2，过点A2作x轴的垂线交直线F1B2于点P，若|PA2|＝3b，则椭圆C的离心率为________．
(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
[审题视角] 求椭圆的离心率利用方程思想，只需利用题目条件得到a，b，c的一个关系式即可，若得到的关系式含b，可利用a2＝b2＋c2转化为只含a，c的关系式．
[解析] (1)由题设知，＝＝＝＝，则e＝.
(2)依题意及正弦定理，得
＝(注意到P不与F1F2共线)，
即＝，
∴－1＝，
∴＝＋1>，
即e＋1>，∴(e＋1)2>2.
又0
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