【数学】2019届一轮复习人教A版　直线与圆学案

【数学】2019届一轮复习人教A版　直线与圆学案

第11讲　直线与圆 题型1　圆的方程 ‎(对应 生用书第38页)‎ ‎■核心知识储备………………………………………………………………………·‎ ‎1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.‎ ‎2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－‎4F＞0，表示以为圆心，为半径的圆．‎ ‎■典题试解寻法………………………………………………………………………·‎ ‎【典题1】　(考查应用圆的几何性质求圆的方程)(2017·山西运城二模)已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为________. ‎ ‎【导 号：07804079】‎ ‎[解析]　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.由题意可知 ‎∴或 故所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎[答案]　(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2‎ ‎【典题2】　(考查待定系数法求圆的方程)(2017·广东七校联考)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为________．‎ ‎[思路分析]　法一：利用圆心在直线x－3y＝0上设圆心坐标为(‎3a，a)→利用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形列出关于a的方程，求解a的值→得出圆的方程；‎ 法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2→利用条件列出关于a，b，r的方程组→解方程组，得出圆的方程；‎ 法三：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0→利用条件列出关于D、E、F的方程组→解方程组，得出圆的方程．‎ ‎[解析]　法一：(几何法)∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，‎ ‎∴设所求圆的圆心为(‎3a，a)，‎ 又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，‎ 又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，圆心(‎3a，a)到直线y＝x的距离d＝，‎ ‎∴d2＋()2＝r2，即‎2a2＋7＝‎9a2，∴a＝±1.‎ 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.‎ 法二：(待定系数法：标准方程)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则{ ①‎ 由于所求圆与y轴相切，∴r2＝a2， ②‎ 又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0， ③‎ 联立①②③，解得或 故所求圆的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝9或(x－3)2＋(y－1)2＝9.‎ 法三：(待定系数法：一般方程)设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为，半径r＝.‎ 在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.‎ 由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，则E2＝‎4F. ①‎ 圆心到直线y＝x的距离为d＝，‎ 由已知得d2＋()2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－‎4F)． ②‎ 又圆心在直线x－3y＝0上，‎ ‎∴D－3E＝0. ③‎ 联立①②③，解得或 故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.‎ ‎[答案]　x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0‎ ‎[类题通法] 求圆的方程的两种方法 ‎1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．‎ ‎2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．‎ ‎■对点即时训练………………………………………………………………………·‎ ‎1．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则点(k，b)所在的圆为(　　)‎ A.＋(y＋5)2＝1‎ B.＋(y－5)2＝1‎ C.＋(y－5)2＝1‎ D.＋(y＋5)2＝1‎ A　[由题意知直线y＝kx与直线2x＋y＋b＝0互相垂直，所以k＝.又圆上两点关于直线2x＋y＋b＝0对称，故直线2x＋y＋b＝0过圆心(2,0)，所以b＝－4，结合选项可知，点在圆＋(y＋5)2＝1上，故选A.]‎ ‎2．抛物线y2＝4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x 轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为________. ‎ ‎【导 号：07804080】‎ ‎(x－1)2＋y2＝4　[∵抛物线y2＝4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，‎ ‎∴A，B两点的坐标分别为：(1,2)，(1，－2)，‎ 又准线与x轴的交点为M，∴M点的坐标为(－1,0)，‎ 则过M，A，B三点的圆的圆心在x轴，‎ 设圆心坐标为O(a,0)，‎ 则|OA|＝|OM|，即＝a－(－1)，‎ 解得a＝1.∴圆心坐标为(1,0)，半径为2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.]‎ ‎■题型强化集训………………………………………………………………………·‎ ‎(见专题限时集训T1、T3、T11、T13)‎ 题型2　直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎(对应 生用书第39页)‎ ‎■核心知识储备………………………………………………………………………·‎ ‎1．直线与圆的位置关系 相交、相切和相离，直线与圆的位置关系的判断方法主要有点线距离法和判别式法．‎ ‎(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d＜r⇔直线与圆相交，d＝r⇔直线与圆相切，d＞r⇔直线与圆相离．‎ ‎(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，联立消去y，得关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ＜0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ＞0.‎ ‎2．圆与圆的位置关系 设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：‎ ‎(1)d＞r1＋r2⇔两圆外离；‎ ‎(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；‎ ‎(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔两圆相交；‎ ‎(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；‎ ‎(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．‎ ‎■典题试解寻法………………………………………………………………………·‎ ‎【典题1】　(考查弦长问题)(2016·全国Ⅲ卷)已知直线l：mx＋y＋‎3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.‎ ‎[解析]　由直线l：mx＋y＋‎3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.‎ 由|AB|＝2得2＋()2＝12，解得m＝－.又直线l的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝.‎ 画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.‎ ‎[答案]　4‎ ‎【典题2】　(考查直线与圆位置关系的综合应用)(2017·广东汕头高三期末)如图111，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．‎ 图111‎ ‎(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；‎ ‎(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围. ‎ ‎【导 号：07804081】‎ ‎[解]　圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6,7)，半径为5.‎ ‎(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)，因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0＜y0＜7.于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1，因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝＝.因为BC＝OA＝＝2，而MC2＝d2＋，所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.‎ ‎(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．因为A(2,4)，T(t,0)，＋＝，所以①.因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，所以5－5≤≤5＋5，解得2－2≤t≤2＋2.因此实数t的取值范围是[2－2，2＋2]．‎ ‎[类题通法]　 解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.‎ (2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.‎ ‎■对点即时训练………………………………………………………………………·‎ ‎1．已知P是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的最小面积为2，则k的值为(　　)‎ A．3　　 B．2‎ C．1 D． B　[将圆C的方程化为标准方程，即x2＋(y－1)2＝1，所以圆C的半径为1.S四边形PACB＝|PA|·|AC|＝|PA|＝＝，可知当|CP|最小，即CP⊥l时，四边形PACB的面积最小，由最小面积＝2得|CP|min＝，由点到直线的距离公式得|CP|min＝＝，因为k＞0，所以k＝2.故选B.]‎ ‎2．已知双曲线x2－y2＝1的左、右两个焦点分别是F1、F2，O为坐标原点，圆O是以F‎1F2为直径的圆，直线l：x－y＋t＝0与圆O有公共点，则实数t的取值范围是(　　)‎ A．[－2,2] B．[0,2]‎ C．[－4,4] D．[0,4]‎ C　[双曲线x2－y2＝1的两个焦点分别是F1(－，0)，F2(，0)，从而圆O的方程为x2＋y2＝2.因为直线x－y＋t＝0与圆O有公共点，所以有≤，即|t|≤4，从而实数t的取值范围是[－4,4]，故选C.]‎ ‎■题型强化集训………………………………………………………………………·‎ ‎(见专题限时集训T2、T4、T5、T6、T7、T8、T9、T10、T12、T14)‎ 三年真题| 验收复习效果 ‎(对应 生用书第40页)‎ ‎1．(2016·全国Ⅱ卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)‎ A．－　　　 B．－ C. D．2‎ A　[圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2‎ ‎＝4，由圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1可知＝1，解得a＝－，故选A.]‎ ‎2．(2015·全国Ⅱ卷)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　)‎ ‎【导 号：07804082】‎ A．2 B．8‎ C．4 D．10‎ C　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ 则解得 ‎∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.‎ 令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，‎ ‎∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4，故选C.]‎ ‎3．(2015·全国Ⅰ卷)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．‎ ＋y2＝　[由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(00)，则解得所以圆的标准方程为＋y2＝.]‎ ‎4．(2017·全国Ⅲ卷)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．‎ ‎(1)证明：坐标原点O在圆M上；‎ ‎(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．‎ ‎[解]　(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，‎ 由 可得y2－2my－4＝0，‎ 则y1y2＝－4.‎ 又x1＝，x2＝，‎ 故x1x2＝＝4.‎ 因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，‎ 所以OA⊥OB，‎ 故坐标原点O在圆M上．‎ ‎(2)由(1)可得y1＋y2＝‎2m，‎ x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝‎2m2‎＋4，‎ 故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，‎ 圆M的半径r＝.‎ 由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，‎ 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，‎ 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.‎ 由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4，‎ 所以‎2m2‎－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.‎ 当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，‎ 圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.‎ 当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，‎ 圆M的方程为2＋2＝.‎