【数学】2018届一轮复习人教A版 基本不等式 学案
第3讲 基本不等式：≤
最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
知 识 梳 理
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当a≥0，b≥0时，≥.( )
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.( )
(3)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为2.( )
(5)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.( )
解析 (2)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；
不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.
(3)函数y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.
(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为－5.
(5)x>0且y>0是＋≥2的充分条件.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
2.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A.80 B.77 C.81 D.82
解析 xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.
答案 C
3.(2015·福建卷)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.
答案 C
4.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A.1＋ B.1＋ C.3 D.4
解析 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C.
答案 C
5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为______m，宽为________m时菜园面积最大.
解析 设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.
答案 15
6.(2017·浙江五校联考)已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，＋的最小值为________.
解析 ∵正数x，y满足x＋y＝1，
∴y＝1－x，0
1)的最小值为________.
解析 (1)因为函数f(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)＝x＋1＋－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)在[1，＋∞)的最小值为g(1)＝，因此对∀x≥1不等式x＋－1≥a恒成立，所以a≤g(x)最小值＝，故实数a的取值范围是.
(2)y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立.
答案 (1) (2)2＋2
考点二 常数代换或消元法求最值
【例2】 (1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________.
(2)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
解析 (1)法一 由x＋3y＝5xy可得＋＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)
＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，
∴3x＋4y的最小值是5.
法二 由x＋3y＝5xy，得x＝，
∵x>0，y>0，∴y>，
∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4
≥＋2＝5，
当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.
(2)由已知得x＝.
法一 (消元法)
因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，
所以x＋3y＝＋3y
＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6，
当且仅当＝3(y＋1)，
即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.
法二 ∵x＞0，y＞0，
9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，
当且仅当x＝3y时等号成立.
设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，
∴(t－6)(t＋18)≥0，
又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.
答案 (1)5 (2)6
规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.
易错警示 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.
【训练2】 (1)已知x>0，y>0且x＋y＝1，则＋的最小值为________.
(2)(2016·东阳检测)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为( )
A.8 B.4 C.2 D.0
解析 (1)(常数代换法)
因为x>0，y>0，且x＋y＝1，
所以＋＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当＝，即x＝2y时等号成立，
所以当x＝，y＝时，＋有最小值18.
(2)由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0.
∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8.
答案 (1)18 (2)A
考点三 基本不等式在实际问题中的应用
【例3】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
解 (1)设所用时间为t＝(h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50，100].
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100]
(或y＝＋x，x∈[50，100]).
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，
即x＝18时等号成立.
故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
规律方法 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解.
【训练3】 (2017·湖州月考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时.
解析 (1)当l＝6.05时，F＝，
∴F＝＝≤＝1 900，
当且仅当v＝，即v＝11时取“＝”.
∴最大车流量F为1 900辆/时.
(2)当l＝5时，F＝＝，
∴F≤＝2 000，
当且仅当v＝，即v＝10时取“＝”.
∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时.
答案 (1)1 900 (2)100
[思想方法]
1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.
2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性.
[易错防范]
1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
