高中数学人教a版选修4-1知能达标演练：2-5与圆有关的比例线段 含解析

高中数学人教a版选修4-1知能达标演练：2-5与圆有关的比例线段 含解析

一、选择题 ‎1．如图所示，PC切⊙O于A，PO的延长线交⊙O于B，BC切⊙O于 B，若AC∶CP＝1∶2，则PO∶OB等于 ‎(　　)．‎ A．2∶1　　　　　 　　　　 B．1∶1‎ C．1∶2 D．1∶4‎ 解析　连接OA，则OA⊥PC，‎ ‎∴△PAO∽△PBC，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 又∵OA＝OB，AC∶CP＝1∶2，设AC＝x，则CP＝2x，‎ ‎∴CA＝x＝BC，∴＝＝2，∴PO∶OB＝2∶1.‎ 答案　A ‎2．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连接OP交AB于C，连接OA、OB，则图中等腰三角形、直角三角形的个数分别为 ‎(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．1,2 B．2,‎2 ‎‎ C．2,6 D．1,6‎ 解析　∵PA、PB为⊙O切线，∴OA⊥AP，OB⊥PB，‎ PA＝PB，OP平分∠APB，∴OP⊥AB.‎ ‎∴直角三角形有6个，等腰三角形有2个．‎ 即直角三角形有：△OAP，△OBP，△OCA，△OCB，△ACP，△CBP；等腰三角形有：△OAB，△ABP.‎ 答案　C ‎3．设圆内两条相交弦，其中一弦长为‎8 cm，且被交点平分，另一条弦被交点分成1∶4两部分，则这条弦长是 ‎(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．‎2 cm B．‎8 cm C．‎10 cm D．‎‎12 cm 解析　由相交弦推论即可得．‎ 设另一条弦被分成x cm，‎ ‎4x cm.则2＝x·4x，所以x＝‎2 cm.‎ 所以弦长为‎10 cm.‎ 答案　C ‎4．如图所示，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM＝MC，AM＝1.5，BM＝4，则OC等于 ‎(　　)．‎ A．2 　　　　 B. C．2 　　　　 D．2 解析　延长CO交⊙O于D，则DM＝‎3CM，CM·MD＝MA·MB，所以1.5×4＝‎3CM 2，CM＝，OC＝2.‎ 答案　D 二、填空题 ‎5．如图所示，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为________．‎ 解析　由相交弦定理知 EA·EB＝EC·ED.　　(*)‎ 又∵E为AB中点，AB＝4，DE＝CE＋3，‎ ‎∴(*)式可化为22＝EC(CE＋3)＝CE2＋3CE，‎ ‎∴CE＝－4(舍去)或CE＝1.‎ ‎∴CD＝DE＋CE＝2CE＋3＝2＋3＝5.‎ 答案　5‎ ‎6．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C，图中互相垂直的线段有________⊥________.(只要求写出一对线段)‎ 解析　如题图所示，由于PA、PB均为⊙O切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB ‎.又由切线长定理知PA＝PB，OP为∠APB的角平分线，∴AB⊥OP，故应填PA⊥OA或PB⊥OB或AB⊥OP.‎ 答案　AB　OP ‎7．如图所示，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC的长为________．‎ 解析　∵CE为⊙O切线，D为切点，‎ ‎∴ED2＝EA·EB.‎ 又∵EA＝1，ED＝2，∴EB＝4，‎ 又∵CB、CD均为⊙O切线，∴CD＝CB.‎ 在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.‎ 由勾股定理：EB2＋BC2＝EC2‎ 得42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.‎ 答案　3‎ ‎8．(2012·湖南高考)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．‎ 解析　设半径为R，由相交弦定理得(PO－R)(PO＋R)＝PA·PB，(3－R)·(3＋R)＝1×3,9－R2＝3，R2＝6，R＝.‎ ‎ 答案　 三、解答题 ‎9．如图所示，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于点L、M、N、P.‎ 求证：AB＋CD＝AD＋BC 证明　因为AB、BC、CD、DA都与⊙O相切，L、M、N、P为切点，所以AL＝AP，LB＝MB，DN＝DP，NC＝MC.‎ 所以AB＋CD＝AL＋LB＋DN＋NC＝AP＋MB＋DP＋MC＝AD＋BC.即AB＋CD＝AD＋BC.‎ ‎10．如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线，垂足是点E.分别交⊙O于C、D两点. ‎ 求证：PC·PD＝AE·AO.‎ 证明　连接OP，∵P为AB的中点，‎ ‎∴OP⊥AB，AP＝PB.‎ ‎∵PE⊥OA，‎ ‎∴AP2＝AE·AO.‎ ‎∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，‎ ‎∴PD·PC＝AE·AO.‎ ‎11．(拓展深化)如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝‎10 cm，AP∶PB＝1∶5，求⊙O的半径．‎ 解　法一　连接OC，设AP＝k cm，PB＝5k (k>0) cm，因为AB为⊙O直径，所以半径OC＝AB＝(AP＋PB)＝(k＋5k)＝3k，且OP＝OA－PA＝3k－k＝2k.‎ 因为AB垂直CD于P，‎ 所以CP＝CD＝‎5 cm.‎ 在Rt△COP中，‎ 由勾股定理，‎ 得OC2＝PC2＋PO2，‎ 所以(3k)2＝52＋(2k)2，‎ 即5k2＝25，所以k＝．‎ 所以半径OC＝3k＝3 (cm)．‎ 法二　设AP＝k，PB＝5k，‎ 由相交弦定理：‎ CP·PD＝AP·PB，‎ 即2＝k·5k.‎ ‎∴k＝，‎ ‎∴＝＝3，‎ 即⊙O的半径为‎3 cm.‎