【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件学案
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
考试说明 1.理解命题的概念;
2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
考情分析
考点
考查方向
考例
考查热度
四种命题
及其关系
命题的四种形式及其真假判断
★☆☆
充要条件的判断
判断甲是乙的何种条件
★☆☆
充要条件的证明
充分条件、必要条件的证明
★☆☆
真题再现
■ [2017-2013 课标全国真题再现
■ [2017-2016 其他省份类似高考真题
1.[2017·北京卷 设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析 A 若存在负数λ,使得m=λn,则m·n=λn·n=λn2<0成立,所以为充分条件;当“m·n<0”时,m与n不一定共线,所以“存在负数λ,使得m=λn”不一定成立,所以为不必要条件.综上可知,“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件,故选A.
2.[2017·天津卷 设θ∈R,则“θ-<”是“sin θ<”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析 A 当θ-<时,可解得0<θ<,即0
0”是“S4+S6>2S5”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析 C 由题意,得Sn=na1+d,则S4+S6-2S5=(4a1+6d)+(6a1+15d)-2(5a1+10d)=d.因此当d>0时,S4+S6-2S5>0,则S4+S6>2S5;当S4+S6>2S5时,S4+S6-2S5>0,则d>0.所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.因此选C.
4.[2016·天津卷 设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的 ( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
[解析 C 设数列的首项为a1,则a2n-1+a2n=a1q2n-2(1+q)<0,即q<-1,故选C.
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.真假 判断为真 判断为假
2.(1)充分 (2)必要 (3)充要
对点演练
1.④ [解析 ①是疑问句,不是命题;②是祈使句,不是命题;③不能判断真假,不是命题;④是命题.
2.0 [解析 ①为假命题,集合N中最小的数是0;②为假命题,如a=不满足;③为假命题,如a=0,b=1,a+b=1,比2小;④为假命题,所给集合中的元素不满足互异性.
3.若整数a不是奇数,则a能被2整除 [解析 以原命题结论的否定作条件,原命题条件的否定作结论得出逆否命题.
4.充分不必要 [解析 由a=3,可得M⊆N;反之由M⊆N可得a≤3.所以“a=3”是“M⊆N”的充分不必要条件.
5.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0 [解析 “若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”,又a=b=0的实质为a=0且b=0,故其否定为a≠0或b≠0.
6.∀a,b∈R,若ab≤0,则a≤0 [解析 ∀a,b∈R是大前提,在否命题中不变,又因为ab>0,a>0的否定分别为ab≤0,a≤0,所以原命题的否命题为“∀a,b∈R,若ab≤0,则a≤0”.
7.[-3,0 [解析 由已知可得ax2-2ax-3≤0恒成立.
当a=0时,-3≤0恒成立;
当a≠0时,得解得-3≤a<0.
故-3≤a≤0.
8.充分不必要 [解析 依题意有p⇒r,r⇒s,s⇒q,∴p⇒r⇒s⇒q.又∵r⇒/ p,∴q⇒/ p.故p是q的充分不必要条件.
【课堂考点探究】
例1 [思路点拨 (1)根据原命题、逆命题、否命题、逆否命题之间的关系进行判断;(2)对于①②,按照要求写出相应的逆命题、否命题,再判断真假,对于③,可以直接利用原命题与逆否命题的等价性判断原命题的真假,对于④⑤直接判断.
(1)A (2)①③ [解析 (1)逆命题是互换原命题的条件与结论,否命题是把原命题的条件和结论都否定,逆否命题是把原命题中的条件和结论先否定,再互换得到.故①正确,②错误,③正确.
(2)①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然①为真命题;②否命题为“不全等三角形的面积不相等”,但不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;③原命题为真,所以它的逆否命题也为真,故③为真命题;④若ab是正整数,则a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故④为假命题;⑤构造函数f(x)=x,g(x)=-x,则f(x)- g(x)=2x,显然f(x)- g(x)单调递增,故⑤为假命题.
变式题 (1)D (2)B [解析 (1)把原命题结论的否定作为条件,原命题条件的否定作为结论构成逆否命题,即“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”.
(2)因为原命题“若x>1,则2x<3x”为真命题,所以其逆否命题也为真命题;由于它的逆命题“若2x<3x,则x>1”为假命题,所以其否命题也是假命题.故选B.
例2 [思路点拨 (1)根据向量数量积的性质和充分必要条件的概念判断;(2)先求出两个不等式的解集,再判断这两个集合的包含关系.
(1)A (2)A [解析 (1)若存在负数λ,使得m=λn,则m·n=λn·n=λn2<0成立,所以为充分条件;当“m·n<0”时,m与n不一定共线,所以“存在负数λ,使得m=λn”不一定成立,所以为不必要条件.综上可知,“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件,故选A.
(2)当θ-<时,可解得0<θ<,即00,所以p对应的集合为(0,+∞),由log2x<0知0b”不能推出“a-1>b”,故选项A不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a+1>b”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故满足题意;“a>b”不能推出“|a|>|b|”,故选项C不是“a>b”的必要条件,不满足题意;“a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要条件,不满足题意.故选B.
(2)直线x-y- =0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点等价于<,解得 ∈(-1,3).四个选项中只有(0,3)是(-1,3)的真子集,故充分不必要条件可以是“0< <3”.
【备选理由】例1旨在加深 生对四种命题的认识;例2强化了充分、必要条件的判断方法和对不等式性质的理解与应用;例3与分段函数结合考查充分、必要条件的判断.
1 [配合例1使用 命题“若a2b,则a>或a<-
C.若a≥或a≤-,则a2≥b
D.若a>或a<-,则a2>b
[解析 C 由于-
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