数学理卷·2018届江西省南康中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届江西省南康中学高二下学期期中考试（2017-04）

南康中学2016～2017学年度第二学期高二期中考试 数学（理）试卷 ‎ ‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1、若复数z满足(3－4i)z＝5，则z的虚部为(　　)‎ A. B.－ C.4 D.－4‎ ‎2、已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 p1：|a＋b|＞1⇔θ∈ p2：|a＋b|＞1⇔θ∈ p3：|a－b|＞1⇔θ∈ p4：|a－b|＞1⇔θ∈ 其中的真命题是(　　)‎ A.p1，p4 B.p1，p3 C.p2，p3 D.p2，p4‎ ‎3、已知当x＜0时，2x2－mx＋1＞0恒成立，则m的取值范围为(　　)‎ A.[2，＋∞) B.(－∞，2] C.(－2，＋∞) D.(－∞，－2)‎ ‎4、已知实数x、y满足则的取值范围为(　　)‎ A. B. C.∩[7，＋∞) D.∩[5，＋∞)‎ ‎5、二项式的展开式中中的第二项的系数为－，则x2dx的值为(　　)‎ A.3 B. C.3或 D.3或－ ‎6、若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，－2] B.(－∞，－1] C.[2，＋∞) D.[1，＋∞)‎ ‎7、将长和宽分别为8和6的矩形ABCD沿对角线BD折成120°的二面角，则此时三棱锥A—BCD的外接球表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8、如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)‎ A.24 B.18 C.12 D.9‎ ‎9、函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是(　　)‎ A.[0，1) B.(－1，1) C. D.(0，1)‎ ‎10、4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎11、已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(　　)‎ A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1‎ C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜1‎ ‎12、函数与是一对反函数，若点P、Q分别是f(x)和g(x)图象上的点，则|PQ|的最小值为(　　)‎ A. B. C. D.2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13、 .‎ ‎14、甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是________.(用数字作答)‎ ‎15、关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________.‎ ‎16、过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，直线EF交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率是________.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17、（本小题满分10分）三男三女站成一排，‎ ‎⑴男生彼此相邻，女生也彼此相邻的站法有多少种？‎ ‎ ⑵男生彼此不相邻，女生也彼此不相邻的站法有多少种？‎ ‎18、（本小题满分12分）已知函已知函数f(x)＝4sin3xcos x－2sin xcos x－cos 4x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；[来源]‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ ‎19、（本小题满分12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，‎ ‎∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点.‎ ‎(1)求证：EF⊥BC；‎ ‎(2)求二面角E－BF－C的正弦值.‎ ‎20、（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x2ex.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)证明：‎ ‎21、（本小题满分12分）已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点 ‎(c，0)，(0，b)的直线的距离为c.‎ ‎(1)求椭圆E的离心率；‎ ‎(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，‎ 若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程.‎ ‎22、（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax＋＋c(a＞0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程 为y＝x－1.‎ ‎(1)用a表示出b，c；‎ ‎(2)若f(x)≥ln x在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎(3)证明：1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)＋(n≥1).‎ 南康中学2016～2017学年度第二学期高二期中考试 数学（理）参考答案 命题人：卓邦南 审题人：李雪峰 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1—5：AACBC 6—10：DCBDD 11—12：AD 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13、 14、24 15、 (－4，0) 16、 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17、解：⑴捆绑法：种…………………………5分 ‎ ⑵插空法：先排男生种，有4个空；女生只能插前3个空或后3个空，有种 种……………………………………10分 ‎18、解　f(x)＝2sin xcos x－cos 4x ‎＝－sin 2xcos 2x－cos 4x＝－sin 4x－cos 4x ‎＝－sin.…………………………………………3分 ‎(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝.‎ 令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得＋≤x≤＋，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.……6分 ‎(2)因为0≤x≤，所以≤4x＋≤.‎ 此时－≤sin≤1，‎ 所以－≤－sin≤，即－≤f(x)≤.‎ 所以f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－.…………12分 ‎19、法一　(1)证明　由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂 直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系.易得B(0，0，0)， A(0，－1，)，D(，－1，0)，C(0，2，0).‎ 因而E(0，，)，F，‎ 所以＝，＝(0，2，0)，‎ 因此·＝0.从而⊥，所以EF⊥BC.………………6分 ‎(2)解　平面BFC的一个法向量为n1＝(0，0，1).‎ 设平面BEF的法向量n2＝(x，y，z)，‎ 又＝，＝.‎ 由得其中一个n2＝(1，－，1).‎ 设二面角E－BF－C大小为θ，且由题意知θ为锐角，则 cos〈n1，n2〉＝＝，∴cos θ＝，‎ 因此sin θ＝＝，即所求二面角的正弦值为.………………12分 ‎20、(1)解　f′(x)＝x(x＋2)ex.‎ 令f′(x)＝x(x＋2)ex＝0，则x1＝－2，x2＝0.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表 x ‎(－∞，－2)‎ ‎－2‎ ‎(－2，0)‎ ‎0‎ ‎(0，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为(－2，0)，单调递增区间为(－∞，－2)，(0，‎ ‎＋∞).………………………………………………………………………………6分 ‎(2)证明　由(1)知f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，单调递减区间为(－2，0)，‎ 所以当x∈(－∞，0]时，f(x)最大值＝f(－2)＝.‎ 因为当x∈(－∞，－2]时，f(x)＞0，f(0)＝0，‎ 所以当x∈(－∞，0]时，f(x)最小值＝f(0)＝0.‎ 所以f(x)最大值－f(x)最小值＝.‎ 所以对∀x1，x2∈(－∞，0]，都有f(x1)－f(x2)≤f(x)最大值－f(x)最小值＝.…………12分 ‎21、解　(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，‎ 则原点O到该直线的距离d＝＝，‎ 由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.……………………5分 ‎(2)法一　由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①‎ 依题意，圆心M(－2，1)是线段AB的中点，且|AB|＝.‎ 易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1) x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，‎ x1x2＝，‎ 由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝，‎ 从而x1x2＝8－2b2.‎ 于是|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝＝，‎ 由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，‎ 故椭圆E的方程为＋＝1.…………………………………………12分 法二　由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2，②‎ 依题意，点A，B关于圆心M(－2，1)对称，且|AB|＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，‎ 得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0，‎ 易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝＝，‎ 因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，‎ 代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，‎ 所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，‎ 于是|AB|＝ |x1－x2|‎ ‎＝＝.‎ 由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，‎ 故椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎22、(1)解　f′(x)＝a－，则有解得………………3分 ‎(2)解　由(1)知，f(x)＝ax＋＋1－2a.‎ 令g(x)＝f(x)－ln x＝ax＋＋1－2a－ln x，x∈[1，＋∞)，‎ 则g(1)＝0，g′(x)＝a－－＝＝，‎ ‎(ⅰ)当0＜a＜时，＞1.‎ 若1＜x＜，则g′(x)＜0，g(x)是减函数，所以g(x)＜g(1)＝0，即f(x)＜ln x.‎ 故f(x)≥ln x在[1，＋∞)上不成立.‎ ‎(ⅱ)当a≥时，≤1. 若x＞1，则g′(x)＞0，g(x)是增函数，所以g(x)＞g(1)＝0，‎ 即f(x)＞ln x，故当x≥1时，f(x)≥ln x.‎ 综上所述，所求a的取值范围为.……………………7分 ‎(3)证明　法一　由(2)知：当a≥时，有f(x)≥ln x(x≥1).‎ 令a＝，有f(x)＝≥ln x(x≥1)， 且当x＞1时，＞ln x.‎ 令x＝，有ln ＜＝，‎ 即ln(k＋1)－ln k＜，k＝1，2，3，…，n.‎ 将上述n个不等式依次相加得ln(n＋1)＜＋＋，‎ 整理得1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)＋.…………………………12分 法二　用数学归纳法证明.‎ ‎①当n＝1时，左边＝1，右边＝ln 2＋＜1，不等式成立.‎ ‎②假设n＝k时，不等式成立，即 ‎1＋＋＋…＋＞ln(k＋1)＋.‎ 那么1＋＋＋…＋＋＞ln(k＋1)＋＋＝ln(k＋1)＋.‎ 由(2)知：当a≥时，有f(x)≥ln x(x≥1).‎ 令a＝，有f(x)＝≥ln x(x≥1).‎ 令x＝，得：≥ln ＝ln(k＋2)－ln(k＋1).‎ ‎∴ln(k＋1)＋≥ln(k＋2)＋.‎ ‎∴1＋＋＋…＋＋＞ln(k＋2)＋.‎ 这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立.‎