2021高考数学人教版一轮复习多维层次练:第一章 第5节 从函数观点看一元二次不等式
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多维层次练5
[A级 基础巩固]
1.已知集合A={y|y=ex,x∈R},B={x∈R|x2-x-6≤0},则A∩B等于( )
A.(0,2) B.(0,3]
C.[-2,3] D.[2,3]
解析:因为A=(0,+∞),B=[-2,3],
所以A∩B=(0,3].
答案:B
2.(2018·北京卷)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则( )
A.对任意实数a,(2,1)∈A
B.对任意实数a,(2,1)∉A
C.当且仅当a<0时,(2,1)∉A
D.当且仅当a≤时,(2,1)∉A
解析:若(2,1)∈A,则有解得a>.结合四个选项,D正确.
答案:D
3.已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是( )
A.0≤k≤1 B.0
1 D.k≤0或k≥1
解析:当k=0时,不等式kx2-6kx+k+8≥0可化为8≥0
,其恒成立;当k≠0时,要满足关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立.
只需
解得00的解集为{x|-20的解集为{x|-2f(x),则实数x的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-1,2) D.(-2,1)
解析:易知f(x)在R上是增函数,因为f(2-x2)>f(x),
所以2-x2>x,解得-20,且1,m是方程ax2-6x+a2=0的根.
则a-6+a2=0(a>0),所以a=2,
从而2m2-6m+4=0(m>1),则m=2.
答案:2 2
8.在R上定义运算:=ad-bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为________.
解析:原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1,
则问题转化为x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意x恒成立,
x2-x-1=-≥-,
所以-≥a2-a-2,解得-≤a≤.
则实数a的最大值为.
答案:
9.设a<0,若不等式-cos2 x+(a-1)cos x+a2≥0对于任意的x∈
R恒成立,则a的取值范围是________.
解析:令t=cos x,t∈[-1,1],则不等式可转化为-t2+(a-1)t+a2≥0对t∈[-1,1]恒成立,即f(t)=t2-(a-1)t-a2≤0对t∈[-1,1]恒成立,因此⇒因为a<0,所以a≤-2.
答案:a≤-2
10.某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数解析式y=f(x),并写出定义域;
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x的取值范围.
解:(1)由题意得,y=100·100.
因为售价不能低于成本价,所以100-80≥0,
解得0≤x≤2.
所以y=f(x)=40(10-x)(25+4x),
定义域为{x|0≤x≤2}.
(2)由题意得40(10-x)(25+4x)≥10 260,
化简得8x2-30x+13≤0,解得≤x≤.
又因为0≤x≤2,
所以x的取值范围是.
[B级 能力提升]
11.(2020·湖南益阳模拟)已知函数f(x)=ax2+(a+2)x+a2为偶函数,则不等式(x-2)f(x)<0的解集为( )
A.(-,)∪(2,+∞) B.(-,+∞)
C.(2,+∞) D.(-,2)
解析:因为函数f(x)=ax2+(a+2)x+a2为偶函数,
所以a+2=0,得a=-2,所以f(x)=-2x2+4.
所以不等式(x-2)f(x)<0可转化为或
即或
解得-2.
故原不等式的解集为(-,)∪(2,+∞).
答案:A
12.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c<0的解集是________,不等式<0的解集是________.
解析:由函数图象知,ax2+bx+c<0的解集为(1,2).
从而且a>0.
解之得b=-3a且c=2a(a>0).
所以不等式<0等价于<0.
解之得-f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-) B.(-,0)
C.(-∞,0)∪(,+∞) D.(-∞,-)∪(,+∞)
解析:因为f(x)在R上为奇函数,且在[0,+∞)上为增函数,
所以f(x)在R上是增函数,
对任意t∈R,f(-4t)>f(2m+mt2),
所以-4t>2m+mt2对t∈R恒成立.
故mt2+4t+2m<0恒成立(t∈R),
因此解之得m<-.
答案:A