数学理卷·2017届山东省枣庄十八中高三4月阶段性自测（2017

数学理卷·2017届山东省枣庄十八中高三4月阶段性自测（2017

‎2017届山东省枣庄十八中高三数学（理）4月份阶段性自测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ ‎1.已知集合A={1，2，4}，集合，则集合B中元素的个数为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎2. “a＞b”是“3a＞2b”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（　　）‎ A．7 B．9 C．11 D．13‎ ‎4.已知函数f（x）=函数g（x）=f（2﹣x）﹣b，其中b∈R，若函数y=f（x）+g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　）‎ A．（7，8） B．（8，+∞） C．（﹣7，0） D．（﹣∞，8）‎ ‎5.等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d＞0，（S8﹣S5）（S9﹣S5）＜0，则（　　）‎ A．|a7|＞|a8| B．|a7|＜|a8| C．|a7|=|a8| D．|a7|=0‎ ‎6.已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x=对称，则函数y=f（﹣x）是（　　）‎ A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称 B．偶函数且它的图象关于点对称 C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称 ‎7.已知向量=（2，1），=（1，3），则向量2﹣与的夹角为（　　）‎ A．45° B．105° C．40° D．35°‎ ‎8.在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（　　）‎ A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2‎ ‎9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（　　）‎ A． B． C．4π D．‎ ‎10.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则输入的整数的可能值为 ‎ ‎ ‎ A.5 B.6 C.8 D.15‎ ‎11.若函数f（x）=lnx与函数g（x）=x2+2x+a（x＜0）有公切线，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（ln，+∞） B．（﹣1，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣ln2，+∞）‎ ‎12.已知点P（0，3），抛物线C：y2=4x的焦点为F，射线FP与抛物线c相交于点A，与其准线相交于点B，则|AF|：|AB|=（　　）‎ A． B． C．1：2 D．1：3‎ ‎13.函数，若的解集为，且中只有一个整数，则实数k的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ C. D． ‎14.若的展开式中各项系数和为64，则其展开式中的常数项为（　　）‎ A．540 B．﹣540 C．135 D．﹣135‎ ‎15.某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），已知p（80＜ξ≤100）=0.35，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（　　）‎ A．5份 B．10份 C．15份 D．20份 ‎ 16.若，则=　　．‎ ‎17.直线l1：（a+3）x+y﹣3=0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4=0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a=　　．‎ ‎18.‎ 已知直线过圆的圆心，则的最小值为 。‎ ‎19.‎ 设{an}是等比数列，公比q=，Sn为{an}的前n项和．记Tn=，n∈N*，设Bn为数列{Tn}的最大项，则n=　　．‎ ‎20.设,则二项式展开式中的第项为___________.‎ ‎21.函数f（x）=x2﹣mx（m＞0）在区间[0，2]上的最小值记为g（m）‎ ‎（Ⅰ）若0＜m≤4，求函数g（m）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数h（x）为偶函数，且当x＞0时，h（x）=g（x），若h（t）＞h（4），求实数t的取值范围．‎ ‎22.若数列{An}：a1，a2，…，an（n≥2）满足|ak+1﹣ak|=1（k=1，2，3，…，n﹣1），数列An为G数列，记S（An）=a1+a2+…+an．‎ ‎（1）写出一个满足a1=a7=0，且S（A7）＞0的G数列An；‎ ‎（2）若a1=2，n=2016，证明：G数列An是递增数列的充要条件是an=2017；‎ ‎（3）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的G数列An，使得S（An）=0？如果存在，写出一个满足条件的G数列An；如果不存在，说明理由．‎ ‎23. 设函数 f(x)=sinωx·cosωx-cos2ωx+(ω＞0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为.‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）若函数y=f(x+φ)(0＜φ＜)是奇函数，求函数g(x)=cos(2x-φ)在[0，2π]上的单调递减区间. ‎ ‎24.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．‎ ‎（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．‎ ‎25.‎ 已知函数f（x）=，其中a为常数；‎ ‎（1）当a=2时，解不等式f（x）≥1；‎ ‎（2）当a＜0时，求函数f（x）在x∈（1，3]上的值域．‎ ‎26.已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．‎ ‎（I）求椭圆M的方程；‎ ‎（II）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值，并求此时l的方程．‎ ‎27.某品牌汽车的店，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如下表所示.已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元.‎ 付款方式 分3期 分6期 分9期 分12期 频数 ‎20‎ ‎20‎ ‎（1）若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3为顾客，求事件：“至多有1位采用分6期付款“的概率；‎ ‎（2）按分层抽样方式从这100为顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量，求的分布列和数学期望.‎ ‎28.已知函数f（x）=﹣2x，g（x）=alnx．‎ ‎（1）讨论函数y=f（x）﹣g（x）的单调区间 ‎（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围．‎ 试卷答案 ‎1.B ‎2.D ‎3.A ‎4.A ‎5.B ‎6.D ‎7.A ‎8.B ‎9.B ‎10.C ‎11.A ‎12.B ‎13.B ‎14.C ‎15.C ‎16.‎ ‎17.﹣2‎ ‎18.：4‎ ‎19.4‎ ‎20.‎ ‎21.【解答】解：（I）f（x）=．‎ 当0＜m＜4时，，∴函数f（x）在上时单调递减，在上单调递增．‎ ‎∴当x=时，函数f（x）取得最小值， =﹣．‎ 当m=4时， =2，函数f（x）在[0，2]内单调递减，∴当x==2时，函数f（x）取得最小值， =﹣=﹣1．‎ 综上可得：g（m）=﹣．‎ ‎（II）由题意可得：当x＞0时，h（x）=g（x）=，∵h（x）是定义在（﹣∞，0）∪‎ ‎（0，+∞）的偶函数，‎ ‎∴h（x）=，x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）．‎ ‎∵h（t）＞h（4），及h（x）在（0，+∞）上单调递减，‎ ‎∴|t|＜4，‎ 解得﹣4＜t＜4，且t≠0．‎ ‎∴t的取值范围是（﹣4，0）∪（0，4）．‎ ‎22.【解答】解：（1）G数列{An}：0，1，2，1，2，1，0；‎ ‎（2）证明：必要性：因为G数列An是递增数列，‎ 所以ak+1﹣ak=1（k=1，2，…，2015）． ‎ 所以A2016是首项为2，公差为1的等差数列．‎ 所以a2016=2+×1=2017．‎ 充分性：由于a2016﹣a2015≤1，‎ a2015﹣a2014≤1‎ ‎…‎ a2﹣a1≤1，‎ 所以a2016﹣a1≤2015，即a2016≤a1+2015，‎ 又因为a1=2，a2016=2017，‎ 所以a2016=a1+2015．‎ 故an+1﹣an=1＞0（k=1，2，…，2015）即An是递增数列．‎ 综上，结论得证；‎ ‎（3）令ck=ak+1﹣ak（k=1，2，…，n﹣1），则ck=±1，于是由a1=0，‎ 得a2=c1，‎ a3=a2+c2=c1+c2，‎ a4=a3+c3=c1+c2+c3，‎ ‎…‎ an=an﹣1+cn﹣1=c1+c2+…+cn﹣1，‎ 故S（An）=a1+a2+a3+…+an，‎ ‎=（n﹣1）c1+（n﹣2）c2+（n﹣3）c3+…+2cn﹣2+cn﹣1，‎ ‎=[（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+…+2+1]+（n﹣1）（c1﹣1）‎ ‎+（n﹣2）（c2﹣1）+（n﹣3）（c3﹣1）+…+2（cn﹣2﹣1）+（cn﹣1﹣1），‎ ‎=﹣[（n﹣1）（1﹣c1）+（n﹣2）（1﹣c2）+（n﹣3）（1﹣c3）+…+2（1﹣cn﹣2）+（1﹣cn﹣1）]．‎ 因ck=±1，故1﹣ck（k=1，2，…，n﹣1）为偶数，‎ 所以（n﹣1）（1﹣c1）+（n﹣2）（1﹣c2）+（n﹣3）（1﹣c3）+…+2（1﹣cn﹣2）+（1﹣cn﹣1）为偶数．‎ 于是要使S（An）=0，必须为偶数，‎ 即n（n﹣1）为4的倍数，亦即n=4m，或n=4m+1（m∈N*）．‎ ‎（ i）当n=4m（m∈N*）时，G数列An的项存在满足：a4k﹣1=a4k﹣3=0，a4k﹣2=1，a4k=﹣1（k=1，2，…，m）时，S（An）=0．‎ ‎（ ii）当n=4m+1（m∈N*）时，G数列An的项存在满足：a4k﹣1=a4k﹣3=0，a4k﹣2=1，a4k=﹣1（k=1，2，…，m），a4m+1=0时S（An）=0．‎ ‎23.（1）；（2），.‎ ‎（2）由（1）可知，∴，‎ ‎∵是奇函数，则，又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 令，，‎ 则， ‎∴单调递减区间是，‎ 又∵，‎ ‎∴当时，递减区间为；‎ 当时，递减区间为.‎ ‎∴函数在上的单调递减区间是，.‎ ‎24.【解答】（Ⅰ）证明：由已知，PA⊥CD，‎ 又∠ADC=90°，即CD⊥AD，且PA∩AD=A，‎ ‎∴CD⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）解：∵CD⊥平面PAD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，从而∠PDA=45°．‎ 如图所示，在平面ABCD内，作Ay⊥AD，以A为原点，分别以AD，AP所在直线为x轴，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，‎ 设BC=1，则A（0，0，0），P（0，0，2），E（1，0，0），‎ C（2，1，0），‎ ‎∴，，．‎ 设平面PCE的一个法向量，‎ 则，取x=2，则．‎ 设直线PA与平面PCE所成角为α，‎ 则．‎ ‎∴直线PA与平面PCE所成角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的判定，考查利用空间向量求解线面角，是中档题．‎ ‎25.‎ ‎【解答】解：（1）a=2，不等式f（x）≥1即为，化简为（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）≥0且x≠1，所以不等式的解集为：（1，2]∪[3，+∞）；‎ ‎（2）当a＜0时所以f（x）==x﹣3+，此函数为增函数，所以x∈（1，3]的值域为（﹣∞，]．‎ ‎26.【解答】解：（I）设椭圆M的半焦距为c，即c=1，‎ 又离心率e=，即=‎ ‎∴a=2，b2=a2﹣c2=3‎ ‎∴椭圆M的方程为 ‎（II）设直线l的方程为x=my﹣1，C（x1，y2），D（x2，y2），联立方程组 ‎，消去x得，（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0‎ ‎∴y1+y2=，y1y2=﹣＜0‎ S1=S△ABC=|AB|•|y1|，S2=S△ABD=|AB|•|y2|，且y1，y2异号 ‎∴|S1﹣S2|=|AB|•|y1+y2|=×4×|y1+y2|==‎ ‎∵3|m|+≥4，‎ 当且仅当3|m|=，即m=±时，等号成立 ‎∴|S1﹣S2|的最大值为=‎ 此时l的方程为x±2y+=0‎ ‎27.（1）依据题设运用二项分布公式求解；（2）借助题设求出随机变量的分布列，再依据数学期望公式解答：（1）由题意，，，‎ 则表中分6期付款购车的顾客频率，‎ 所以.‎ ‎（2）按分层抽样的方式抽取的5人中，有1位分3期付款，有3位分6期或9期付款，有1位分12期付款.‎ 随机变量可能取的值是5，6，7，‎ 则，，，‎ 所以随机变量的分布列为 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎∴（万元）即为所求.‎ 说明：本题考查事件的独立性，抽样方法以及随机变量的分布列与期望.‎ ‎28.【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣2x﹣alnx，‎ y′=x﹣2﹣==，‎ 令m（x）=（x﹣1）2﹣a﹣1，‎ ‎①﹣a﹣1≥0即a≤﹣1时，‎ y′＞0，函数在（0，+∞）递增，‎ ‎②﹣a﹣1＜0，即a＞﹣1时，‎ 令m′（x）＞0，解得：x＞1+＞1，或x＜1﹣＜0，（舍），‎ 令m′（x）＜0，解得：0＜x＜1+，‎ 故函数y=f（x）﹣g（x）在（0，1+）递减，在（1+，+∞）递增；‎ ‎（2）由（1）得：h′（x）=＞2，‎ 故x2﹣2x﹣a＞2x在（0，+∞）恒成立，‎ 即a＜x2﹣4x在（0，+∞）恒成立，‎ 令m（x）=x2﹣4x，（x＞0），‎ 则m（x）=（x﹣2）2﹣4≥﹣4，‎ 故a＜﹣4．‎