高中数学讲义微专题79 利用点的坐标解决圆锥曲线问题

高中数学讲义微专题79 利用点的坐标解决圆锥曲线问题

微专题 79 利用点的坐标处理解析几何问题 有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体 代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心 去处理问题。 一、基础知识： 1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将 其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理” 的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解 经常与 相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几 个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具， 只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣： （1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受 形式的约束 （2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点的坐标也变得 复杂导致运算繁琐。那么此类问题则要考虑看能否有机会进行整体的代入 3、求点坐标的几种类型： （1）在联立方程消元后，如果发现交点的坐标并不复杂（不是求根公式的形式），则可考虑 把点的坐标解出来（用核心变量进行表示） （2）直线与曲线相交，若其中一个交点的坐标已知，则另一交点必然可求（可用韦达定理或 因式分解求解） 4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件紧密联系，若能 够整体代入，也要考虑整体代入以简化运算。（整体代入是解析几何运算简化的精髓） 二、典型例题： 例 1：已知椭圆 上的点到它的两个焦点的距离之和为 4，以椭圆 的短轴为直径的圆 经过这两个焦点，点 分别是椭圆 的左右顶点 1 2 1 2 1 2 1 2, , ,x x x x y y y y  1 2 1 2 1 2 1 2, , ,x x x x y y y y    2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    C O ,A B C （1）求圆 和椭圆 的方程 （2）已知 分别是椭圆和圆上的动点（ 位于 轴的 两侧），且直线 与 轴平行，直线 分别与 轴交于 点 ，求证： 为定值 解：（1）依题意可得 ， 过焦点，且 ，再由 可得 椭圆方程为 ，圆方程为 （2）思路：条件主要围绕着 点展开，所以以 为核心，设 ，由 与 轴平行， 可得 。若要证明 为定值，可从 的三角函数值下手，在解析中角的 余 弦 值 可 以 与 向 量 的 数 量 积 找 到 联 系 ， 从 而 能 够 转 化 为 坐 标 运 算 。 所 以 考 虑 ，模长并不利于计算，所以先算 ，考虑利用条件设出 方程，进而 坐标可用核心变量 表示，再进行数量积的坐标运算可得 ，从而 ，即为定值 解：设 与 轴平行， 设 ，由 所在椭圆和圆方程可得： 由椭圆可知： 令 ，可得： 同理： 可得 O C ,P Q ,P Q y PQ x ,AP BP y ,M N MQN 2 4 2a a   O r b b c  2 2 2 4b c a   2b c   2 2 14 2 x y  2 2 2x y  P P  0 0,P x y PQ x  1 0,Q x y MQN MQN cos QM QNMQN QM QN       QM QN  ,AP BP ,M N 0 0,x y 0QM QN   2MQN    0 0,P x y  PQ x   1 0,Q x y ,P Q 2 2 2 20 0 0 0 2 2 2 2 1 0 1 0 4 214 2 22 x y x y x yx y               2,0 , 2,0A B 0 0 2AP yk x    0 0 : 22 yAP y xx   0x  0 0 20, 2 yM x       0 0 : 22 yBP y xx  0 0 20, 2 yN x      ，代入 可得： ，即 为定值 思路二：本题还可以以 其中一条直线为入手点（例如 ），以斜率 作为核心变量， 直线 与椭圆交于 两点，已知 点坐标利用韦达定理可解出 点坐标（用 表示），从 而可进一步将涉及的点的坐标都用 来进行表示，再计算 也可以，计算步骤如 下： 解：设 ，由椭圆方程可得： 所以设直线 ，联立方程： ，代入到直线方程可得： ，由 ，令 可得： 设 ，则 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 2 2, , , , ,2 2 2 2 y x y y x yQM x y x QN x y xx x x x                                         2 2 2 20 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 02 2 4 x y x y x yQM QN x xx x x                2 2 0 0 2 2 1 0 4 2 2 x y x y          2 2 0 02 2 2 0 0 02 0 4 2 2 2 2 04 2 4 y y QM QN y y yy              QM QN  2MQN   ,AP BP AP k AP ,A P A P k k 0QM QN    0 0,P x y    2,0 , 2,0A B  : 2AP y k x      2 2 2 2 2 21 2 1 8 8 4 04 2 2 x y k x k x k y k x             2 2 0 02 2 8 4 4 2 2 1 2 1A k kx x xk k        0 2 4 2 1 ky k  2 2 2 4 2 4,2 1 2 1 k kP k k       2 2 2 4 12 1 4 2 222 1 BP k kk k k k       1: 22BP y xk     : 2AP y k x  0x    10,2 , 0,M k N k       1 0,Q x y  1 0 1 0 1,2 , ,QM x k y QN x yk            由 在圆上可得： ，再由 代入可得： ，即 为定值 例 2：设椭圆 的左右焦点分别为 ，右顶点为 ，上顶点为 ， 已知 （1）求椭圆的离心率 （2）设 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 为直径的圆经过点 ，经过原点 的直线 与该圆相切，求直线 的斜率 解：（1）由椭圆方程可知： ， 即 （2）由（1）可得 椭圆方程为 设 以线段 为直径的圆经过点 联立方程： ，整理可得：   2 2 2 2 1 0 0 1 0 0 1 2 12 2 kQM QN x k y y x y yk k                Q 2 2 1 0 2x y  0 2 4 2 1 ky k  2 2 2 1 42 2 02 1 k kQM QN k k         QM QN  2MQN     2 2 2 2 1 0x y a ba b    1 2,F F A B 1 2 3 2AB F F P PB 1F O l l    ,0 , 0,A a B b    1 2,0 , ,0F c F c 2 2 1 2, 2AB a b F F c    2 2 2 2 23 2 32a b c a b c       2 2 2 2 23 2 ca a c c e a      : : 2 :1:1a b c   2 2 2 2 12 x y c c     0 0, , 0,P x y B c    1 0 0 1, , ,F P x c y F B c c      PB 1F    1 1 0 0 0 00F P F B c x c cy y x c            22 2 2 2 2 2 2 2 2 y x c x x c c x y c          ，解得： ，代入直线方程： 可知 的中点为 ， 圆方程为 设直线 ： ，整理可得： ，解得： 直线 的斜率为 或 例 3：（2014，重庆）如图所示，设椭圆 的左右焦点分别为 ， 点 在椭圆上， ， 的面积为 （1）求椭圆的标准方程 （2）设圆心在 轴上的圆与椭圆在 轴的上方有两个交点，且圆在 这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径 解：（1）设 ，由 可得： ，解得 23 4 0x cx  0 4 3 cx   0 3 cy  4 1,3 3P c c      0,B c PB 2 2,3 3T c c    2 21 1 4 1 502 2 3 3 3r PB c c c c                 2 2 22 2 5 3 3 9 cx c y c             l y kx 2 2 2 53 3 31T l kc c d c k         2 2 22 2 5 1 8 1 03 3 9k k k k          4 15k    l 4 15 4 15   2 2 2 2 1 0x y a ba b    1 2,F F D 1 2 1 1 2 1 , 2 2F FDF F F DF  1 2DF F 2 2 y x    1 2,0 , ,0F c F c 1 2 1 2 2F F DF  1 2 1 2 22 2 F FDF c  1 2 1 2 1 1 1 2 222 2 2 2DF FS F F DF c c       2 1 1c c   1 2 1 22, 2F F DF   在 中， 椭圆方程为： （ 2 ） 如 图 ： 设 圆 与 椭 圆 相 交 ， 是两个交点 ， 是圆的切线，且 ，则 由 对 称性可得： 由（1）可得 ， 联立方程 ，解得 （舍）或 过 且分别与 垂直的直线的交点即为圆心 由 是圆的切线，且 ，可得： 因为 为等腰直角三角形 例 4：已知椭圆 的焦距为 ，设右焦点为 ，离心率为 （1）若 ，求椭圆的方程 （2）设 为椭圆上关于原点对称的两点， 的中点为 ， 的中点为 ，若原点 1 2DF F 2 2 2 2 1 1 2 2 9 3 2 2 2DF DF F F DF     1 22 2 2 2a DF DF a      1b   2 2 12 x y  2 2 12 x y     1 1 1 2 2 2, , ,P x y P x y 1 20, 0y y  1 1 2 2,F P F P 1 1 2 2F P F P 2 1 1 2,x x y y   1 2 12PP x     1 21,0 , 1,0F F      1 1 1 1 2 2 2 2 1 11, , 1, 1,F P x y F P x y x y          2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 10 1 0F P F P F P F P x y            2 2 1 1 22 1 121 1 1 0 3 4 0 12 x y x xx y          1 0x  1 4 3x    1 2,P P 1 1 2 2,F P F P C 1 1 2 2,F P F P 1 1 2 2F P F P 1 2CP CP 1 2CP CP r  1 2CPP 1 1 2 1 2 4 222 3r CP PP x       2 2 2 2 1 0x y a ba b    4 1F e 2 2e  ,A B 1AF M 1BF N O 在以线段 为直径的圆上 ① 证明：点 在定圆上 ② 设直线 的斜率为 ，若 ，求 的取值范围 解：（1）依题意可得： 所以椭圆方程为： （2）①思路：设 ，则 ，由此可得 坐标（用 进行表示）， 而 在以 为直径的圆上可得： ，所以得到关于 的方程，由方程便可 判定出 点的轨迹 解：设 ，则 。因为 ，且 为 的中点 所以有 在以 为直径的圆上 点在定圆 上 ② 消去 可得： （*） 而 ， 代入（*）可得： 所以解得： MN A AB k 3k  e 2c  2 2ca e   2 2 2 4b a c    2 2 18 4 x y   0 0,A x y  0 0,B x y  ,M N 0 0,x y O MN 0OM ON   0 0,x y A  0 0,A x y  0 0,B x y   1 2,0F  ,M N 1 1,AF BF 0 0 0 02 2, , ,2 2 2 2 x y x yM N             O MN OM ON  0 0 0 02 20 02 2 2 2 x x y yOM ON                  2 2 2 20 0 0 0 4 0 44 4 x y x y      A 2 2 4x y      22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 11 44 y kx kxxx y a ba b x kxx y               x  2 2 2 2 1 1= 14 k ka b  2 2 2 2 2 4, 4ce b a ca a e       2 2 4a e 4 2 2 2 2 1 32 1 e ek e    4 2 2 8 4 02 1 e e e    0 1e  21 4 2 32 e   例 5：已知椭圆 的上顶点为 ，左焦点为 ，离心率为 （1）求直线 的斜率 （2）设直线 与椭圆交于点 （ 异于点 ），过点 且垂直于 的直线与椭圆交于点 （ 异于点 ），直线 与 轴交于点 ， ① 求 的值 ② 若 ，求椭圆方程 解：（1）由 可知 设 ， （2）① 设 椭圆方程为： 联立方程： ，整理后可得： 可解得： 因为 设 联立方程： ，整理后可得： 2 3 12 e      2 2 2 2 1 0x y a ba b    B F 5 5 BF BF P P B B BP Q Q B PQ y M PM MQ  7 5sin 9PM BQP  5 5 ce a  : : 5 : 2 :1a b c   ,0F c    0, 0,2B b c   2 0 20BF ck c        1 1 2 2, , ,P x y Q x y : 2 2BP y x c   : : 5 : 2 :1a b c   2 2 2 2 15 4 x y c c    2 2 2 22 24 5 20 4 5 2 2 20 2 2 x y c x x c c y x c          224 40 0x cx  1 5 3 cx   5 4,3 3 c cP      BQ BP 1 2BQk   1: 22BQ y x c   2 2 2 2 2 2 4 5 20 14 5 2 201 222 x y c x x c c y x c                ，解得 ，即 设 ， 斜率为 ，由弦长公式可知： ② 由①可得： 由 可得： 椭圆方程为 例 6：已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，点 在椭圆 上且位于第一象限，直线 被圆 截得的线段的长为 ， （1）求直线 的斜率 （2）求椭圆的方程 （3）设动点 在椭圆上，若直线 的斜率大于 ，求直线 （ 为原点）斜率的取值 范围 解：（1）由已知可得 221 40 0x cx  2 40 21 cx  40 22,21 21 c cQ      00,M y PQ k 2 25 51 0 13 3 c cPM k k      2 240 401 0 121 21 c cQM k k     2 2 5 1 73 40 8121 c kPM cQM k       7 8 PM MQ  7 7 15 15 PM PM PQPQ    7 5sin 9PM BQP  15 5sin sin 57 3BP PQ BQP PM BQP      5 40,2 , ,3 3 c cB c P     2 25 4 5 50 23 3 3BP c c c c                             5 5 5 5 13 3c c     2 2 15 4 x y    2 2 2 2 1 0x y a ba b     ,0F c 3 3 M FM 2 2 2 4 bx y  c 4 3 3FM  FM P FP 2 OP O 3 3 ce a  : : 3 : 2 :1a b c  椭圆方程为 设直线 ，其中 由 可得： 解得： （2）由（1）可得： 解得： 或 在第一象限 ，即 可得： 椭圆方程为： （3）由（2）可知 ，设 ，设 的斜率为 联立方程：  3 , 2a c b c   2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 63 2 x y x y cc c      : 0FM y k x c kx y kc      0k  2 1O FM kcd k    2 2 21 2O FMd c r      2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 4 4 1 4 41 kc b k c c cc kk           3 3k   3: 3FM y x c     22 2 2 2 2 3 12 3 63 32 3 6 y x c x x c c x y c            2 23 2 5 0x cx c    5 3x c  x c M 2 3 3 x c y c   2 3, 3M c c        2 3 4 4 31 3 33 cFM c c           1c   2 2 13 2 x y   1,0F   ,P x y FP k  : 1PF y k x     22 2 2 2 1 2 3 1 6 3 2 6 y k x x k x x y          可解得： 设直线 的斜率为 ，即 当 时， 可知 ，由 可得： 当 时，可知 ，由 可得： 综上所述： 例 7：已知椭圆 的离心率为 ，其短轴的两端点分别为 . （1）求椭圆 的方程； （2）若 是椭圆 上关于 轴对称的两个不同点，直线 与 轴分别交于点 . 试判断以 为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由. 解：（1） 由短轴顶点 可得： 椭圆方程为 （2）设 ，则对称点 从而直线 的方程为：   2 2 6 2 2 3 1 xk x      3 , 1 1,02x         OP m ym y mxx   2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 33 2 1 3 2 1 2 2 2 xx y x m x m x x          3 , 12x        1 0y k x   0ym x   2 2 2 3m x   3 , 12x       2 2 3,3 3m       1,0x   1 0y k x   0ym x   2 2 2 3m x     1,0x  2 3, 3m        2 3 2 2 3, ,3 3 3m                G 2 2    0,1 , 0, 1A B  G ,C D G y ,AC BD x ,M N MN 2 2 ce a  : : 2 :1:1a b c     0,1 , 0, 1A B  1b  2a   2 2 12 x y   0 0,C x y  0 0,D x y 0 0 0 0 1 1,AC BD y yk kx x      ,AC BD ，令 解得： ，设 中点为 则 半径 以 为直径的圆方程为： 代入 可得： ，代入 可得： 即 ① 时，无论 为何值 等式①均成立 圆 恒过 例 8：如图，设抛物线 的准线与 轴交于 ，焦点为 ，以 为 焦点，离心率 的椭圆 与抛物线 在 轴上方的交点为 ，延长 交抛物线于点 ， 是抛物线 上一动点，且 在 之间运动 （1）当 时，求椭圆 的方程 （2）当 的边长恰好是三个连续的自然数时，求 面积的最大值 0 0 0 0 1 1: 1, : 1y yAC y x BD y xx x       0y  0 0 0 0 ,0 , ,01 1 x xM Ny y             MN E 0 0 0 0 2 0 0 0 1 2 1 1 1E x x x yx y y y         00 0 2 0 0 0 1 2 2 1 1 1 MN xx xr y y y        MN   2 2 20 0 0 22 20 0 1 1 x y xx yy y        2 2 2 20 0 0 01 12 2 x xy y     2 2 2 2 20 0 0 2 2 0 0 0 0 2 4 4 4 4 0y y yx y x y xx x x x              2 20 012 x y  2 2 0 0 4 2 0yx y xx    0, 2x y    0 0,x y  E  0, 2  2 1 : 4 0C y mx m  x 1F 2F 1 2,F F 1 2e  2C 1C x P 2PF Q M 1C M ,P Q 1m  2C 1 2PF F MPQ 解：（1） 时， ，焦点坐标 椭圆 的方程为： （2）由 可得： ，即 椭圆方程为： 代入 解得： 边长为 3 个连续的自然数 抛物线方程为 ， 即 ，代入抛物线方程可得： 解得 1m  2 1 : 4C y x  2 1,0F 1c  1 2 ce a  2a  2 2 2 3b a c     2C 2 2 14 3 x y   2 1 : 4 0C y mx m   2 ,0F m c m 1 2 ce a  2 2 2 22 , 3a m b a c m      2 2 2 2 14 3 x y m m  2 2 2 2 2 2 3 4 12 3 16 12 0 4 x y m x mx m y mx            26 3 2 0 3 mx m x m x      2 4y mx 2 6 3 my  2 2 6,3 3P m m      2 2 5 2 3 3 p m mPF x m      1 2 5 72 4 3 3 m mPF a PF m     1 2 62 2 3 mF F c m   1 2PF F 3m   2 12y x    22,2 6 , 3,0P F 2 2 6 0 2 62 3PFk     : 2 6 3PQ y x    2 224 3 12 2 13 18 0x x x x      9 2Qx  92 6 3 3 62Qy           9 , 3 62Q     设 ， 由 可得： 例 9 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 为 动 点 ， 分 别 为 椭 圆 的左，右焦点，已知 为等腰三角形 （1）求椭圆的离心率 （2）设直线 与椭圆相交于 两点， 是直线 上的点，满足 ，求 点 的轨迹方程 解：（1）设 ，由图可知， 为等腰三角形即 ,代入可得： ，解得： （舍）或 （2）思路：由（1）可将椭圆方程化简为： ，与直线 的方程联立，即 消元后发现方程形式为 ，形式极其简单，所以直接求出点 2 ,12 tM t      3 6,2 6t   2 2 2 6 6 66 6 6 6 756 3630 30 2 224 1M PQ t t d t t t                3 6,2 6t   2 6 75 75,02 2 2t              2 max max 6 6 75 6 75 5 630 2 2 30 2 4M PQd t              92,2 6 , , 3 62P Q    251 24 2P QPQ x x       max max 1 1 25 5 125 662 2 2 4 16MPQ M PQS PQ d        xOy   , 0P a b a b  1 2,F F 2 2 2 2 1x y a b  1 2F PF e 2PF ,A B M 2PF 2AM BM    M    1 2,0 , ,0F c F c 1 2F PF 2 1 2PF F F  2 2 2 1 2, 2PF a c b F F c       2 22 2 22 =4a c b c a c b c      2 2 22 2 4 0 2 1 0a ac c e e        1e   1 2e  2 2 23 4 12x y c  2PF   2 2 23 4 12 3 x y c y x c      25 8 0x cx  的坐标可得： ，进而设所求点 。将 坐标化后， 再 利 用 即 可 得 到 关 于 的 方 程 ： ， 方 程 中 含 有 ， 所 以 考 虑 利 用 直 线 方 程 将 消掉： ，代入即可得到轨迹方程 解： 椭圆方程转化为： 即 即 的方程为： ，设 ，联立方程可得： ，消去 ，方程转化为： 解得： 设 ，则 由 可得： ，化简可得： ① 因为 ，所以 ，代入①式化简可得：  8 3 3, , 0, 35 5A c c B c       ,M x y ,AM BM  2AM BM    ,x y  8 3 3 3 25 5x x c y c y c             c  3y x c  c 3 3c x y  1 2 ce a  2 22 , 3a c b a c c      2 2 2 2 14 3 x y c c  2 2 23 4 12x y c   ,P a b  2 , 3P c c 2 0 3 32PF ck c c    2PF  3y x c     1 1 2 2, , ,A x y B x y   2 2 23 4 12 3 x y c y x c      y  22 2 23 4 3 12 5 8 0x x c c x cx       1 2 8 , 05x c x   8 3 3, , 0, 35 5A c c B c       ,M x y  8 3 3, , , 35 5AM x c y c BM x y c           2AM BM     8 3 3 3 25 5x x c y c y c             2 2 28 2 3 9 2 05 5 5x cx y cy c       3y x c  3 yc x  218 16 3 15 0x xy   将 代入 ，可得： 的轨迹方程为： 例 10：如图， 分别为椭圆 的左右焦点，椭圆 上的点到 距离的最大值为 5，离心率为 ， 是椭圆 上位于 轴上方的两点，且直线 与 平行。 （1）求椭圆 的方程 （2）设 与 的交点为 ，求证： 为 定值 解：（1） ，依椭圆性质可得：椭圆上的点到焦点的距离最大值为 所以椭圆方程为 （2） 解：由（1）可得： ，设 设直线 ，与椭圆联立方程： ，整理可得： 由 可得： ① 218 15 16 3 xy x  3 yc x  210 5 0 016 xc xx     M  218 16 3 15 0 0x xy x    1 2,F F   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    C 1F 2 3 ,A B C x 1AF 2BF C 2AF 1BF P 1 2PF PF 2 3 ce a  5a c  3, 2a c   2 2 2 5b a c   2 2 19 5 x y     1 22,0 , 2,0F F    1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 : 2AF x my   2 2 2 2 2 5 2 9 45 5 9 45 x my my y x y          2 29 5 20 25 0m y my          2 2 2 1 22 20 20 100 9 5 10 15 1 9 52 9 5 m m m m my mm         1 0y  2 1 2 10 15 1 5 9 m my m    2 2 2 1 1 2 10 15 11 0 1 5 9 m mAF m y m m          同理，设直线 ，与椭圆联立方程： 整理可得： 由 可得： ② 同理 ③ 由①②可得： 2 : 2BF x my   2 2 2 2 2 5 2 9 45 5 9 45 x my my y x y          2 29 5 20 25 0m y my          2 2 2 2 22 20 20 100 9 5 10 15 1 9 52 9 5 m m m m my mm           2 0y  2 2 2 10 15 1 5 9 m my m     2 2 2 2 2 2 10 15 11 0 1 5 9 m mBF m y m m           1 2AF BF ∥ 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 PF AF PF AF PF AF PB BF PB PF BF AF BF BF AF         1 21 1 1 2 1 2 1 2AF a BFAF BFPF BF AF BF AF      2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 PF BF PF BF PF BF PA AF PA PF AF BF AF BF AF        2 12 2 2 2 1 2 1 2BF a AFAF BFPF BF AF BF AF         1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2AF a BF BF a AFPF PF BF AF BF AF          1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 22a AF BF AF BF AF BFaBF AF BF AF        1 2 2 1 26 AF BF BF AF    代入到③可得： 为定值 2 2 2 2 1 2 2 2 10 15 1 10 15 11 15 9 5 9 m m m mAF BF m mm m              2 2 30 1 5 9 m m    2 2 2 2 1 2 2 2 10 15 1 10 15 11 15 9 5 9 m m m mAF BF m mm m                    2 2 2 22 15 1 10 15 1 10 1 5 9 m m m m m m                    2 2 2 2 2 2 22 2 225 1 100 25 5 9 1 1 5 9 5 9 m m m m m m m                2 2 25 1 5 9 m m          2 2 1 2 2 2 25 1 2 5 9 5 136 6 3 330 1 5 9 m m PF PF m m            1 2PF PF 