2020-2021学年高二数学上册同步练习:两点式方程

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2020-2021学年高二数学上册同步练习:两点式方程

2020-2021 学年高二数学上册同步练习:两条直线平行与垂直的判定 一、单选题 1.过点 6(5 )A , 和点 ()12B - , 的直线的两点式方程是( ) A. 51 62 yy xx  B. 65 2 6 1 5 yx   C. 2 6 1 5 65yx    D. 65 2 6 1 5 xy   【答案】B 【解析】因为所求直线过点 和点 ,根据直线的两点式方程可得: 所求直线方程为 . 故选 B. 2.过两点 ( 2 ,0 ) , (0 ,1) 的直线方程为( ) A. 2 2 0xy- + = B. 2 1 0xy   C. 20xy D. 2 1 0xy   【答案】A 【解析】 根据直线方程的两点式  11 12 2121 yyxx xxyyxx  将两点 , 代入可得: 02 1002 yx 整理可得: 过两点 , 的直线方程为: 故选 A. 3.△ABC 的三个顶点为 (2,8),(4,0),(6,0)ABC  ,则 AC 边上的中线所在直线的方程为( ) A. 40xy B. 2 4 0xy   C. 2 4 0xy   D. 2 4 0xy   【答案】D 【解析】 26 42   , 80 42   ,∴ AC 边中点为 (4,4)D , ∴中线 BD 方程为 4 4 4 4 xy  ,即 . 故选 D. 4.直线 l 过点 A(-4,-6),B(2,6)两点,点 C(1006,b)在直线 l 上,则 b 的值为( ) A.2012 B.2013 C.2014 D.2016 【答案】C 【解析】因为直线 l 过 A(-4,-6),B(2,6)两点, 所以直线 l 的方程为 y6 66   = x4 24   ,即 y=2x+2. 又点 C(1006,b)在直线 l 上, 所以 b=2×1006+2=2014. 故选 C 5.已知 A、B 两点分别在两条互相垂直的直线 y=2x 和 x+ay=0 上,且线段 AB 的中点为 P(0,10 a ),则直 线 AB 的方程为( ) A.y=- 3 4 x+5 B.y= x-5 C.y= x+5 D.y=- x-5 【答案】C 【解析】由直线 2x﹣y=0 和 x+ay=0 垂直可得 a=2, 则 P(0,5), 设   2 112A2B 2 xxxx  , , , , 于是有 12 2 1 0 210 2 xx xx   ,解得 1 2 4 4 x x    . 于是 A(4,8),B(﹣4,2), ∴AB 所在的直线方程为 24 8 2 4 4 yx ,即 y= x+5. 故选 C 6.已知直线 1110a x b y   和直线 2210a xb y 都过点  2,1A ,则过点  1 1 1,P a b 和点  2 2 2,P a b 的直 线方程是( ) A. 2 1 0xy   B. 2 1 0xy   C. 2 1 0xy   D. 2 1 0xy   【答案】B 【解析】把  2,1A 坐标代入两条直线 1110a x b y   和 2210a x b y   ,得 112 1 0ab   , 222 1 0ab   ,  12212 aabb , 过点  1 1 1 ,P a b ,  222 ,P a b 的直线的方程是: 11 2121 y b x a b b a a ,  112ybxa ,则  11220xyab , 112 1 0ab   , 1121ab    ,  所求直线方程为: 2 1 0xy   . 故选 B 7.一条光线从 1( ,0 )2A  处射到点 ( 0 ,1)B 后被 y 轴反射,则反射光线所在直线的方程为( ) A. 2 1 0xy   B. 2 1 0xy   C. 2 1 0xy   D. 2 1 0xy   【答案】B 【解析】由反射定律可得点 关于 轴的对称点 1(,0)2M 在反射光线所在的直线上, 再根据点 也在反射光线所在的直线上,用两点式求得反射光线所在的直线方程为 . 故选 B. 8.设 △ABC 的一个顶点是 A(3,-1),∠B,∠C 的平分线方程分别是 x=0,y=x,则直线 BC 的方程是( ) A. 25yx B. 23yx C. 35yx D. 5 22 xy  【答案】A 【解析】∵∠B、∠C 的平分线分别是 x=0,y=x, ∴AB 与 BC 对于 x=0 对称,AC 与 BC 对于 y=x 对称. 因为点 A(3,-1)关于 x=0 的对称点 A'(-3,-1)在直线 BC 上, 点 A 关于 y=x 的对称点 A''(-1,3)也在直线 BC 上. 由两点式得 3 3 1 ,1 1 3 y x    所求直线 BC 的方程:y=2x+5. 故选 A. 9.下列命题中正确的是( ) A.经过点  0 0 0,P x y 的直线都可以用方程  00y y k x x   表示 B.经过定点  0,Ab的直线都可以用方程 y k x b表示 C.经过任意两个不同点    111222,,,PxyPxy 的直线都可用方程    211x x y y   211yyxx 表示 D.不经过原点的直线都可以用方程 1xy ab表示 【答案】C 【解析】因为直线与 x 轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示,所以选项 ,AB不正确; 因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示,所以选项 D 不正确; 故选 C. 10.已知  ()2,3,6,2MN ,点 P 在 轴上,且使得 P M P N 取最小值,则点 的坐标为( ) A. ( 2 ,0 ) B. 12 ,05   C. 14 ,05   D.  6 ,0 【答案】C 【解析】如图, M 关于 x 轴对称点是  ' 2,3M  ,M’和 N 在 x 轴两侧,则当 M’N 成一直线,此时,M’N 与 x 轴交于 P 点,有 取最小值,此时, 'PMPNMN ,而直线 M’N 的方程为 26 3 2 2 6 yx    ,化 简得,58140xy ,则直线 M’N 交 x 轴于 P 点,所以,P 点坐标为 故选 C 11.A、B 两点的坐标分别为 3,1 和 1,3 ,则线段 AB 的垂直平分线方程为( ) A. yx B. yx C. 40xy   D. 40xy 【答案】A 【解析】由题,直线 AB 的两点式方程为: 13 3 1 1 3 yx,即 , 设直线 的垂线为 0x y D   ,中点为  2 ,2 , 将点代入可得 2 2 0 D   ,则 0D  ,所以 0xy, 所以线段 AB 的垂直平分线方程为: , 故选 A 12.在平面直角坐标系中,下列四个结论: ①每一条直线都有点斜式和斜截式方程; ②倾斜角是钝角的直线,斜率为负数; ③方程 1 2 yk x   与方程  12y k x   可表示一条直线; ④直线 l 过点  00,Pxy ,倾斜角为 90 ,则其方程为 0xx . 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】对于①,斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程,故错;对于②,倾斜角是钝角的直线, 其倾斜角的正切值为负数,直线斜率为负数,正确;对于③,方程 表示直线 去掉点 2, 1 与方程 不表示同一直线,故错;对于④,直线 过点 ,倾斜 角为 90 ,则其方程为 ,正确,正确的个数为 2 , 故选 B. 二、填空题 13.已知点  1,2A ,  1,2B  ,则直线 的方程是________. 【答案】 20xy 【解析】 直线的两点式方程为 11 2 1 2 1 x x y y x x y y  , 代入  1, 2A ,  1, 2B  ,得 12 1 2 12 xy    , 整理得直线 AB 的方程是 20xy. 故填 . 14.若三点 A(1,1),B(a,0),C(0,2)共线,则 a=____. 【答案】2 【解析】由题意得过点 A,C 的直线方程为 11 2 1 0 1 yx , 整理得 20xy   . 又点 ( ,0 )Ba 在直线上, ∴ 20a , 解得 2a  . 故填 2. 15.已知△ABC 三顶点 A(1,2)、B(3,6)、C(5,2),M 为 AB 中点,N 为 AC 中点,则中位线 MN 所在直线方 程为______ 【答案】 280xy 【解析】由中点坐标公式可求得中点坐标:  2,4M ,  3 , 2N , 代入两点式公式可得: 24 3224 xy ,化简得: . 故填 16.一条光线从点 ( 6 ,4 )P 射出,与 x 轴相较于点 (2 ,0 )Q ,经 x 轴反射,则反射光线所在的直线方程为______ 【答案】 2yx   【解析】由光学知识可得反射光线所在的直线过点  2,0Q 和  6,4P 关于 x 轴的对称点 (6,4)M  ,其 直线方程为 0 4 0 2 6 2 y x    ,即 . 故填 17.若 112 3 4ab, 222 3 4ab,则过点  11,A a b ,  22,B a b 的直线方程为________. 【答案】 2 3 4xy 【解析】因为点  11,A a b ,  22,B a b 的坐标满足方程 2 3 4xy, 故过点 , 的直线方程为 . 故填 18.以点 ( 5 ,8 )P 和 ( 3, 4 )Q  为端点的线段的方程是_________. 【答案】6220(35)xyx „ . 【解析】过两点 , 的线段的方程是 85(35)4835 yx x 剟 即 6 22 0(3 5)x y x   剟 . 故填 三、解答题 19.已知 ABC 的顶点 ( 2 ,1 )A  、 (4,3)B 、 (2, 2)C  ,试求: (1)求 AB 边的中线所在直线方程; (2)求 AC 边上的高所在直线的方程. 【解析】(1)线段 的中点坐标为 (1,2 ) 所以 边上的中线所在直线的方程是: 21 2221 yx , 即 460xy ; (2)由已知 1(2) 22 3 4ACk      ,则 边上高的斜率是 4 3 , 边上的高所在直线方程是 3 43(4)yx , 即 4370xy . 20.已知点  2, 3A 和点  4,5B  , 直线 l 过点  1,2P  (1)求直线 的方程 (2)若直线 到点 和点  4, 5B  的距离相等,求直线 的方程. 【解析】(1)由题意直线 方程为 32 5 3 4 2 yx   ,即 3 11 0xy   (2)当直线 l 与 AB 平行时,设直线 的方程为 30x y m   , ∵直线过 ( 1,2 )P  ,∴ 1 3 2 0 m     , 5m  , 直线方程为 3 5 0xy   , 线段 的中点为 ( 1,4 )N  ,直线 过 ,PN两点,方程为 1x  . ∴所求直线方程为 或 . 21.已知点 ( 5,1)A 关于 x 轴的对称点为 11( , )B x y ,关于原点的对称点为 22( , )C x y . (1)求 ABC 中过 , BC 边上中点的直线方程; (2)求 的面积. 【解析】(1)∵点 关于 轴的对称点为 ,∴ ( 5 , 1)B  . 又∵点 关于原点的对称点为 , ∴ (5,1)C  , ∴ 的中点坐标是 ( 5 ,0 ) , 的中点坐标是 ( 0 , 1) . 过 , 的直线方程是 05 1 0 0 5 yx   , 整理得 550xy . (2)易知 112AB  , 5510BC  , ABBC , ∴ 的面积 112 10 1022S AB BC      . 22.已知 的三个顶点分别为      1,1,5,4,3,8ABC , (1)求 AB 的垂直平分线所在的直线方程; (2)过点 A 作直线 ,它把 的面积分成 1:3 两部分,求直线 的方程. 【解析】(1) 的三个顶点分别为 4 1 3 5 1 4ABk  ,则 4 3k  , 中点为 1 5 1 4( , )22 即 5(3,)2 则垂直平分线方程为: 45(3)32yx  整理得到 394 3 02xy   (2)过点 A 作直线 ,它把 的面积分成 1:3 两部分 则直线 l 过 BC 的四等分点 ( , )D x y ,即 1 4B D B C 或 3 4B D B C 当 时: 1(5,4)(2,4) 4xy 解得 9 ,52xy 此时的 AD 直线方程为: 9 11 2 1 5 1 y x   整理得到 8 7 1 0xy   当 时: 3(5,4)(2,4) 4xy 解得 7 ,72xy 此时的 直线方程为: 7 11 2 1 7 1 y x   整理得到 1 2 5 7 0xy   综上所述:直线方程为 或 .
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