2020版高考数学（新课改省份专用）一轮复习课时跟踪检测十九难点自选—函数与导数压轴大题的3大难点及破解策略
课时跟踪检测（十九） 难点自选——函数与导数压轴大题的 3大难点及破解策略
1．定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝ln x－ax＋1，若f(x)有5个零点，求实数a的取值范围．
解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0；所以要使f(x)在R上有5个零点，只需f(x)在(0，＋∞)上有2个零点．所以等价于方程a＝在(0，＋∞)上有2个根．所以等价于y＝a与g(x)＝(x>0)的图象有2个交点．g′(x)＝，
x
(0,1)
(1，＋∞)
g(x)
＋
－
所以g(x)的最大值为g(1)＝1.
因为x→0时，g(x)→－∞；x→＋∞时，由洛必达法则可知：
lig(x)＝li ＝li ＝0，
所以0
0.
解：(1)f′(x)＝ex－，由f′(0)＝0，得m＝1，
所以f′(x)＝ex－，f″(x)＝ex＋>0，
又由f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
所以函数f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)证明：依题意，f′(x)＝ex－.
令f′(x0)＝0，则ex0＝>0，且f″(x)＝ex＋>0，所以函数f′(x)在区间(－m，＋∞)上单调递增．
则当x∈(－m，x0)时，f′(x0)<0；
当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，故函数f(x)在(－m，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增．
所以f(x)min＝f(x0)＝ex0－ln(x0＋m)．
又x0满足方程ex0＝，
则f(x0)＝ex0－ln(x0＋m)＝－ln e－x0＝x0＋＝x0＋m＋－m2－m＝2－m0不等号①取等号的条件是不等号②取等号的条件是m＝2.
由于不等号①、②不能同时取等号，故f(x0)>0，即f(x)min>0，因此f(x)>0.
3．已知函数f(x)＝ax＋＋c(a>0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.
(1)试用a表示出b，c；
(2)若f(x)≥ln x在[1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
解：(1)b＝a－1，c＝1－2a.
(2)题设即“a≥(x>1)，或a≥(x>1) 恒成立”．
用导数可证函数g(x)＝(x－1)2＋(x－1)－xln x(x≥1)是增函数(只需证g′(x)＝x－ln x－1≥0(x≥1)恒成立，再用导数可证)，
所以g(x)≥g(1)＝0(x≥1)，
当且仅当x＝1时g(x)＝0，得<(x>1)，li ＝.
所以若a≥(x>1)恒成立，则a≥，
即a的取值范围是.
4．(2019·安徽二校联考)已知函数f(x)＝－m(a，m∈R)在x＝e(e为自然对数的底数)时取得极值，且有两个零点记为x1，x2.
(1)求实数a的值，以及实数m的取值范围；
(2)证明：ln x1＋ln x2>2.
解：(1)f′(x)＝＝，
由f′(x)＝0，得x＝ea＋1，且当00，
当x>ea＋1时，f′(x)<0，
所以f(x)在x＝ea＋1时取得极值，
所以ea＋1＝e，解得a＝0.
所以f(x)＝－m(x>0)，f′(x)＝，
函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，f(e)＝－m.
又x→0(x>0)时，f(x)→－∞；x→＋∞时，f(x)→－m，f(x)有两个零点x1，x2，
故解得02，只需证ln x1x2>2，
只需证m(x1＋x2)>2，即证ln>2.
即证ln>2，设t＝>1，
则只需证ln t>.
即证ln t－>0.
记u(t)＝ln t－(t>1)，
则u′(t)＝－＝>0.
所以u(t)在(1，＋∞)上单调递增，
所以u(t)>u(1)＝0，所以原不等式成立，
故ln x1＋ln x2>2.
5．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.
解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．
①设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点．
②设a>0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．
又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b<0且b(b－2)＋a(b－1)2＝a>0，
故f(x)存在两个零点．
③设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．
若a≥－，则ln(－2a)≤1，
故当x∈(1，＋∞)时，
f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)内单调递增．
又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．
若a<－，则ln(－2a)>1，
故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0；
当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0.
因此f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增．
又当x≤1时，f(x)<0，
所以f(x)不存在两个零点．
综上，a的取值范围为(0，＋∞)．
(2)证明：不妨设x1f(2－x2)，即f(2－x2)<0.
由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，
而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，
所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2.
设g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex，
则g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex)．
所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)＝0，
故当x>1时，g(x)<0.
从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.
