辽宁省沈阳市铁路实验中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

辽宁省沈阳市铁路实验中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

‎2019-2020学年度上学期高二年级10月月考数学卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数满足为虚数单位），则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算可求得；根据共轭复数的定义可得到结果.‎ ‎【详解】由题意得： ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查共轭复数的求解，关键是能够利用复数的除法运算求得，属于基础题.‎ ‎2.等差数列中，，则( ).‎ A. 110 B. 120 C. 130 D. 140‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接运用等差数列的下标关系即可求出的值.‎ ‎【详解】因为数列是等差数列，所以，‎ 因此，故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列下标性质，考查了数学运算能力.‎ ‎3.已知，，的实部与虚部相等，则（）‎ A. -2 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用待定系数法设复数z，再运用复数的相等求得b.‎ ‎【详解】设 （），则 即 ‎ ‎ .故选C.‎ ‎【点睛】本题考查用待定系数法，借助复数相等建立等量关系，是基础题.‎ ‎4.已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则（）‎ A. 31 B. 32 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与的等差中项为，可得到一个等式，和，组成一个方程组，结合等比数列的性质，这个方程组转化为关于和公比的方程组，解这个方程组，求出和公比的值，再利用等比数列前项和公式，求出的值.‎ ‎【详解】因为与的等差中项为，所以，‎ 因此有，故本题选A.‎ ‎【点睛】本题考查了等差中项性质，等比数列的通项公式以及前项和公式，‎ ‎5.等比数列的各项均为正数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由对数的运算性质可得，又由对数的运算性质可得，计算可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，等比数列的各项均为正数，且，‎ 则有，‎ 则；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的性质以及对数的运算，属于基础题．‎ ‎6.已知是等比数列， 则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵是等比数列，，，∴q3=，则q=，‎ ‎∵=q2=‎ ‎∴数列{anan+1}是以8为首项，为公比的等比数列 ‎∴a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1=．‎ 故选：B 点睛：本题重点考查了等差数列的通项公式及前n项和知识，解题关键是把新数列的和理解为新等比数列的前n项和,整体换元的思想同学们要牢固把握.‎ ‎7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则=（　　）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】∵等差数列{an}中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选B．‎ ‎8.已知数列满足：，，则 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原式子变形为结合等差数列的通项公式的求法得到结果.‎ ‎【详解】数列满足：，,‎ ‎ ‎ 是以为首项为公差的等差数列，‎ ‎ ‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】本题考查了数列通项公式的求法，以及等差数列的通项的求法，求数列通项，常见的方法有：构造新数列，列举找规律法，根据等差等比公式求解等.‎ ‎9.已知在等差数列中，则项数为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质和题意可得a5＝2，故a5+an﹣4＝32，而Sn240，代入可得答案．‎ ‎【详解】由等差数列的性质可得S918，‎ 解得a5＝2，故a5+an﹣4＝32，‎ 而Sn16n＝240，解得n＝15，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，利用性质整体代入是解决问题的关键，属于基础题．‎ ‎10.已知是等差数列的前项和，为数列的公差，且，有下列四个命题：①；②；③；④数列中的最大项为，其中正确命题的序号是( )‎ A. ②③ B. ①② C. ③④ D. ①④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的前项和的性质可得正确的选项．‎ ‎【详解】由得，，则，， ‎ 所以，所以，①正确；‎ ‎ ，故②正确；，故③错误；‎ 因为，，故数列中最大项为，故④错误．‎ 综上，选B.‎ ‎【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2） 且 ；‎ ‎（3）且为等差数列；‎ ‎（4） 为等差数列.‎ ‎11.如图所示，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则（ ）‎ A. 220 B. 216 C. 212 D. 208‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意，在函数的图象上，若点坐标为的纵坐标为的横坐标为，所以矩形 的一条边长为，另一条边长为，所以矩形的周长为，，故选B.‎ ‎12.数列为1,1，2,1，1，2,3,1,1，2,1,1,2,3,4，，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1,1,2，再添加2的后继数3，于是，，， ,接下来再复制前面所有的项1,1,2,1,1,2,3，再添加4，,如此继续，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据数列的构成，结合归纳推理的方法，得到，进而可得出结果.‎ ‎【详解】由数列的构造方法可知，可得，即，‎ 故.‎ 故选A ‎【点睛】本题考查数列的综合问题，考查运算求解和推理论证能力，属于常考题型.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.在数列中，，，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用递推公式可验证出数列为周期为的周期数列，从而可得.‎ ‎【详解】令，则 令，则 令，则 令，则 令，则 令，则 数列为周期为的周期数列 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据递推公式判断数列的性质的问题，关键是能够通过递推公式确定数列为周期数列，从而利用周期将所求值进行化简.‎ ‎14.在数列中，，，则是这个数列的第______________项．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在等式两边取倒数，可得出数列为等差数列，求出数列的通项公式，再令，解出的值即为所求结果.‎ ‎【详解】在等式两边取倒数得，‎ 所以且，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，‎ 所以，，，令，得，‎ 因此，是这个数列的第项，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数列通项的求法，解题的关键就是利用倒数法求解，另外要熟悉等差数列定义的应用，考查分析问题和求解问题的能力，属于中等题.‎ ‎15.设等差数列的前项和为，，，则取得最小值的值为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出数列的首项和公差，求出的表达式，然后利用基本不等式求出的最小值并求出等号成立时的值，于此可得出答案。‎ ‎【详解】设等等差数列的公差为，则，解得，‎ 所以，，‎ 所以，，‎ 等号成立，当且仅当时，等号成立，但，‎ 由双勾函数的单调性可知，当或时，取最小值，‎ 当时，；当时，，‎ ‎，因此，当时，取最小值，故答案为：。‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的求和公式，考查基本不等式与双勾函数求最值，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”这三个条件，在等号不成立时，则应考查双勾函数的单调性求解，考查分析能力与计算能力，属于中等题。‎ ‎16.如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则__________．‎ ‎【答案】361‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将按照奇偶分别计算：当 为偶数时，；当为奇数时，，‎ 计算得到答案.‎ ‎【详解】解法一：根据杨辉三角形的生成过程，‎ 当为偶数时，，‎ 当为奇数时，，，，‎ ‎，，，，‎ 解法二：当时，，‎ 当时，，‎ ‎【点睛】本题考查了数列的前N项和，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.‎ ‎17.已知等差数列满足，，公比为正数的等比数列满足，.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1 ）利用等差数列、等比数列的通项公式即可求得；‎ ‎（2）由（1）知，，利用错位相减法即可得到数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ 因为，所以，解得.‎ 所以.‎ 由及等比中项的性质，得，‎ 又显然必与同号，所以.‎ 所以.又公比为正数，解得.‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 则 ①.‎ ‎ ②.‎ ‎①-②，得 ‎.‎ 所以.‎ ‎【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎18.已知，，动点满足.设动点的轨迹为.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；‎ ‎（2）求动点与定点连线的斜率的最小值；‎ ‎（3）设直线交轨迹于两点，是否存在以线段为直径的圆经过？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）动点M的轨迹方程为，轨迹是以为圆心，2为半径的圆；‎ ‎（2）；（3）存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，化简可得：，即轨迹是以为圆心，2为半经的圆；(2)设过点的直线为，利用圆心到直线的距离不大于半径即可解得的取值范围，从而得出动点与定点连线的斜率的最小值；（3）假设存在以线段为直径的圆经过，联立方程，得，再利用，求出的的值，验证是否成立即可.‎ ‎【详解】（1），化简可得：，‎ 所以动点M的轨迹方程为.‎ 轨迹是以为圆心，2为半径的圆.‎ ‎（2）设过点的直线为，圆心到直线的距离为.‎ ‎∴，即.‎ ‎（3）假设存在，联立方程得，得，‎ 即.‎ 设，则，，‎ 由题意知，‎ ‎∴.‎ ‎∴，得，且满足，‎ ‎∴存在以线段PQ为直径的圆经过A，此时.‎ ‎【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.‎ ‎19.已知递增的等差数列前项和为，若 ，.‎ ‎（1）求数列的通项公式.‎ ‎（2）若，且数列前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意求出等差数列的首项和公差，进而可得通项公式；（2）由（1）并结合题意可得，然后分为奇数和偶数两种情况可求得数列的前项和为．‎ ‎【详解】（1）由，且解得，‎ ‎∴公差，‎ ‎∴数列的通项公式为． ‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴．‎ 当为偶数时，‎ ‎；‎ 当为奇数时，‎ ‎．‎ 综上可得．‎ ‎【点睛】解答本题时注意两点：一是对于等差数列的计算问题，可转化为基本量（首项、公差）的问题来处理；二是在求和时，对于通项中含有或或的情形，在解题时要注意分为是奇数和偶数两种情况求解．‎ ‎20.已知函数，，数列满足，，.‎ ‎（1）求证；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）若，求中的最大项.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将化简后可得要求证的递推关系.‎ ‎（2）将（1）中的递推关系化简后得到，从而可求的通项公式.‎ ‎（3）结合（2）的结果化简，换元后利用二次函数的性质可求最大值.‎ ‎【详解】（1）证明： 由，，‎ ‎，得 ‎ 又，∴‎ ‎（2）∵，即，‎ ‎∴ 是公比为 的等比数列.‎ 又 ，∴.‎ ‎（3）由（2）知，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 令 ，则，又因为 且，所以 所以中最大项为.‎ ‎【点睛】数列最大项、最小项的求法，一般是利用数列的单调性去讨论，但是也可以根据通项的特点，利用函数的单调性来讨论，要注意函数的单调性与数列的单调性的区别与联系.‎ ‎21.已知数列中，，当时，其前项满足 ‎（1）证明：是等差数列，求的表达式；‎ ‎（2）设，求的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用可将已知等式整理为，结合可证得结论；根据等差数列通项公式求得，进而得到；（2）由（1）得到，采用裂项相消法求得结果.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ ‎，即：‎ ‎，又 数列是以为首项，为公差的等差数列 ‎ ‎（2）由（1）知：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的证明、等差数列通项公式的应用、裂项相消法求解数列的前项和等知识；关键是能够将通项进行准确的裂项，属于常考题型.‎ ‎22.正项数列的前项和满足.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）证明：当，且时，；‎ ‎（III）若对于任意的正整数，都有成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（I）；（II）见解析；（III）的最大值为1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）直接令中的n=1即得的值；（II）由题得时，，化简即得证；（III）用累加法可得：，再利用项和公式求得，再求的范围得解.‎ ‎【详解】（I）‎ ‎（II）因为，‎ 所以时，，‎ 化简得：；‎ ‎（III）因为，‎ 用累加法可得：，‎ 由，得，‎ 当时，上式也成立,因为，‎ 则，所以是单调递减数列，‎ 所以，又因为，所以，即，的最大值为1.‎ ‎【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查数列的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎