甘肃省天水市第一中学2019届高三下学期最后一模考前练数学(文)试题

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文档介绍

甘肃省天水市第一中学2019届高三下学期最后一模考前练数学(文)试题

天水市一中2019届高三考前练 数学试题(文科)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合M={y|y=,x>0},N={x|y=lg(2x-)},则M∩N为( )‎ A. (1,+∞) B. (1,2) C. [2,+∞) D. [1,+∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴.‎ 故选.‎ ‎2.i是虚数单位,若,则乘积的值是( )‎ A. -15 B. -‎3 ‎C. 3 D. 15‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,∴,选B.‎ ‎3.已知向量,且,则m=( )‎ A. −8 B. −6‎ C. 6 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知向量的坐标求出的坐标,再由向量垂直的坐标运算得答案.‎ ‎【详解】∵,又,‎ ‎∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=8.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,考查向量垂直的坐标运算,属于基础题.‎ ‎4.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中间四人未到者,亦依次更给,问各得金几何?”则在该问题中,等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金( )‎ A. 多1斤 B. 少1斤 C. 多斤 D. 少斤 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设这十等人所得黄金重量从大到小依次组成等差数列 则 由等差数列的性质得 ,‎ 故选C ‎5.设,均为非零的平面向量,则“存在负数,使得”是“”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论.‎ ‎【详解】因为,均为非零的平面向量,存在负数,使得,‎ 所以向量,共线且方向相反,‎ 所以,即充分性成立;‎ 反之,当向量,的夹角为钝角时,满足,但此时,不共线且反向,所以必要性不成立.‎ 所以“存在负数,使得”是“”的充分不必要条件.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件p能否推得条件q;二是由条件q能否推得条件p,定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法,解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确.‎ ‎6.一个四棱锥的三视图如图所示(其中主视图也叫正视图,左视图也叫侧视图),则这个四棱锥中最最长棱的长度是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出其直观图,然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.‎ ‎【详解】‎ 根据三视图作出该四棱锥的直观图,如图所示,其中底面是直角梯形,且,,‎ 平面,且,‎ ‎∴,,,‎ ‎,‎ ‎∴这个四棱锥中最长棱的长度是.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算,正确还原直观图是解题关键,属于基础题.‎ ‎7.当输入实数时,执行如图所示的程序框图,则输出的不小于103的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据循环结构的运行,直至不满足条件退出循环体,求出的范围,利用几何概型概率公式,即可求出结论.‎ ‎【详解】程序框图共运行3次,输出的的范围是,‎ 所以输出的不小于103的概率为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率,模拟程序运行是解题的关键,属于基础题.‎ ‎8.已知定义在上的奇函数满足:(其中),且在区间上是减函数,令,,,则,,的大小关系(用不等号连接)为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为,所以,即周期为4,因为为奇函数,所以可作一个周期[-2e,2e]示意图,如图在(0,1)单调递增,因为,因此,选A.‎ 点睛:函数对称性代数表示 ‎(1)函数为奇函数 ,函数为偶函数(定义域关于原点对称);‎ ‎(2)函数关于点对称,函数关于直线对称,‎ ‎(3)函数周期为T,则 ‎9.数列满足:,则数列前项的和为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析:通过对an﹣an+1=2anan+1变形可知,进而可知,利用裂项相消法求和即可.‎ 详解:∵,∴,‎ 又∵=5,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴,‎ ‎∴数列前项的和为,‎ 故选A.‎ 点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2) ; (3);(4) ;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.‎ ‎10.已知函数(其中,,)的图象关于点成中心对称,且与点相邻的一个最低点为,则对于下列判断:‎ ‎①直线是函数图象的一条对称轴;‎ ‎②点是函数的一个对称中心;‎ ‎③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.‎ 其中正确的判断是( )‎ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析:根据最低点,判断A=3,根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T,再代入最低点可求得解析式为,依次判断各选项的正确与否.‎ 详解:因为为对称中心,且最低点为,‎ 所以A=3,且 ‎ 由 ‎ 所以,将带入得 ‎ ,‎ 所以 由此可得①错误,②正确,③当时,,所以与 有6个交点,设各个交点坐标依次为 ,则,所以③正确 所以选C 点睛:本题考查了根据条件求三角函数的解析式,通过求得的解析式进一步研究函数的性质,属于中档题.‎ ‎11.是双曲线的左、右焦点,在双曲线的右支上存在一点,满足,,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意可知|OF1|=|OF2|=|OP|判断出∠F1PF2=90°,设出|PF2|=t,则|F1P|=t,进而利用双曲线定义可用t表示出a,根据勾股定理求得t和c关系,最后可求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】解:∵|OF1|=|OF2|=|OP|‎ ‎∴∠F1PF2=90°‎ 设出|PF2|=t,则|F1P|=t, |F‎1 F2|=‎2c=2t ‎|F1P|-|PF2|=‎2a= ‎ ‎∴e= ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用.‎ ‎12.已知函数在上有两个零点,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 对函数求导,对a分类讨论,分别求得函数的单调性及极值,结合端点处的函数值进行判断求解.‎ ‎【详解】∵ ,.‎ 当时,,在上单调递增,不合题意.‎ 当时,,在上单调递减,也不合题意.‎ 当时,则时,,在上单调递减,时,,在上单调递增,又,所以在上有两个零点,只需即可,解得.‎ 综上,的取值范围是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题,考查了函数的单调性及极值问题,属于中档题.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣14=0的最大距离是_____.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先写出圆的标准方程,得圆心和半径,由几何法即可求出圆上的点到直线的最大距离.‎ ‎【详解】解:把圆的方程化为:(x﹣2)2+(y﹣2)2=18,‎ ‎∴圆心A坐标为(2,2),半径,‎ 由几何知识知过A与直线x+y﹣14=0垂直的直线与圆的交点到直线的距离最大或最小,‎ ‎∴最大距离,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系,考查数形结合思想,属于基础题.‎ ‎14.若,则 ______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用角的关系,建立函数值的关系求解.‎ ‎【详解】已知,且,则,故.‎ ‎【点睛】给值求值的关键是找准角与角之间的关系,再利用已知的函数求解未知的函数值.‎ ‎15.若实数满足不等式组则目标函数的最大值为__________.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件的可行域,求出最优解,即可求解目标函数的最大值.‎ ‎【详解】根据约束条件画出可行域,如下图,由,解得 目标函数,当过点时,有最大值,且最大值为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划简单应用,属于基础题.‎ ‎16.已知四棱锥的三视图如图所示,若该四棱锥的各个顶点都在球的球面上,则球的表面积等于_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先还原几何体,再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O,即为球心,利用正弦定理求得外接圆的半径,利用垂径定理求得球的半径,即可求得表面积.‎ ‎【详解】由该四棱锥的三视图知,该四棱锥直观图如图,‎ 因为平面平面,连接AC,BD交于E,过E作面ABCD的垂线与过三角形ABS的外心作面ABS的垂线交于O,即为球心,连接AO即为半径,‎ 令为外接圆半径,在三角形SAB中,SA=SB=3,AB=4,则cos, ‎ ‎∴sin,∴,∴,又OF=,‎ 可得,‎ 计算得, ,‎ 所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题,考查了四棱锥的外接球的问题,关键是找到球心,属于较难题.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎17.已知在中,角的对边分别为,且. ‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求的值,所以可以考虑到根据余弦定理将分别用边表示,再根据正弦定理可以将转化为,于是可以求出的值;(2)首先根据求出角的值,根据第(1)问得到的值,可以运用正弦定理求出外接圆半径,于是可以将转化为 ‎,又因为角的值已经得到,所以将转化为关于的正弦型函数表达式,这样就可求出取值范围;另外本问也可以在求出角的值后,应用余弦定理及重要不等式,求出的最大值,当然,此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件. ‎ 试题解析:(1)由,‎ 应用余弦定理,可得 ‎ ‎ 化简得则 ‎ ‎(2) ‎ 即 ‎ ‎ 所以 ‎ 法一. ,‎ 则 ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ = ‎ 又 ‎ 法二 因为 由余弦定理 得,‎ 又因为,当且仅当时“”成立.‎ 所以 ‎ 又由三边关系定理可知 综上 ‎18.如图,在四棱锥中,底面, , ,为上一点,且.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)若,,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)法一:过作交于点,连接,由,推出,结合与,即可推出四边形为平行四边形,即可证明结论;法二:过点作于点,为垂足,连接,由题意,,则,即可推出四边形为平行四边形,再由平面,可推出,即可得证平面平面,从而得证结论;(2)过作的垂线,垂足为,结合平面,可推出平面,由平面,可得到平面的距离等于到平面的距离,即,再根据 ‎,,即可求出三棱锥的体积.‎ 试题解析:(1)法一:过作交于点,连接.‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ 又∵,且,‎ ‎∴,∴四边形为平行四边形,‎ ‎∴.‎ 又∵平面,平面,‎ ‎∴平面.‎ 法二:过点作于点,为垂足,连接.‎ 由题意,,则,‎ 又∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴四边形为平行四边形 ‎∴.‎ ‎∵平面,平面 ‎∴.‎ 又 ‎∴.‎ 又∵平面,平面;‎ ‎∵平面,平面,;‎ ‎∴平面平面.‎ ‎∵平面 ‎∴平面.‎ ‎(2)过作的垂线,垂足为.‎ ‎∵平面,平面 ‎∴.‎ 又∵平面,平面,;‎ ‎∴平面 由(1)知,平面,‎ 所以到平面的距离等于到平面的距离,即.‎ 在中,,‎ ‎∴.‎ ‎ .‎ ‎19.某学校为调查高三年级学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取100名学生,得到男生身高情况的频率分布直方图(图(1))和女生身高情况的频率分布直方图(图(2)).已知图(1)中身高在的男生人数有16人.‎ ‎(1)试问在抽取的学生中,男,女生各有多少人?‎ ‎(2)根据频率分布直方图,完成下列的列联表,并判断能有多大(百分之几)的把握认为“身高与性别有关”?‎ 总计 男生身高 女生身高 总计 ‎(3)在上述100名学生中,从身高在之间的男生和身高在之间的女生中间按男、女性别分层抽样的方法,抽出6人,从这6人中选派2人当旗手,求2人中恰好有一名女生的概率.‎ 参考公式:‎ 参考数据:‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1)40,60;(2)列联表见解析,有的把握认为身高与性别有关;(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据直方图求出男生的人数为40,再求女生的人数;(2)完成列联表,再利用独立性检验求出有的把握认为身高与性别有关;(3)利用古典概型的概率公式求出2人中恰好有一名女生的概率.‎ ‎【详解】(1)直方图中,因为身高在的男生的频率为0.4,‎ 设男生数为,则,得.‎ 由男生的人数为40,得女生的人数为.‎ ‎(2)男生身高的人数,‎ 女生身高的人数,‎ 所以可得到下列列联表:‎ 总计 男生身高 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 女生身高 ‎6‎ ‎54‎ ‎60‎ 总计 ‎36‎ ‎64‎ ‎100‎ ‎,‎ 所以能有的把握认为身高与性别有关;‎ ‎(3)在之间的男生有12人,在之间的女生人数有6人.‎ 按分层抽样的方法抽出6人,则男生占4人,女生占2人.‎ 设男生为,,,,女生为,.‎ 从6人任选2名有:,,,,,,,,,,,,,,共15种可能,‎ ‎2人中恰好有一名女生:,,,,,,,共8种可能,‎ 故所求概率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算,考查独立性检验解决实际问题,考查古典概型的概率的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为,直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点).‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)已知直线,为椭圆的右顶点. 若直线交于点,直线交于点,试判断是否为定值,若是,求出定值;若不是,说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)定值为0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据直线方程求焦点坐标,即得c,再根据离心率得,(2)先设直线方程以及各点坐标,化简,再联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理代入化简得结果.‎ ‎【详解】(1)因为直线过椭圆的右焦点,所以,‎ 因为离心率为,所以,‎ ‎(2),设直线,‎ 则 因此 由得,‎ 所以,‎ 因此 即 ‎【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系,考查综合分析求解能力,属中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对a分三种情况讨论求出函数的单调性;(2)对a分三种情况,先求出每一种情况下函数f(x)的最小值,再解不等式得解.‎ ‎【详解】(1),‎ 当时,,在上单调递增;‎ 当时,,,,,‎ ‎∴在上单调递减,在上单调递增;‎ 当时,,,,,‎ ‎∴在上单调递减,在上单调递增.‎ 综上:当时,在上单调递增;‎ 当时,在上单调递减,在上单调递增;‎ 当时,在上单调递减,在上单调递增.‎ ‎(2)由(1)可知:‎ 当时,,∴成立.‎ 当时,,‎ ‎,∴.‎ 当时,‎ ‎,‎ ‎,∴,即.‎ 综上.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ+).‎ ‎(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于M,N两点,求△MON的面积.‎ ‎【答案】(1) 直线l的普通方程为x+y-4=0. 曲线C的直角坐标方程是圆:(x-)2+(y-1)2=4. (2)4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将直线l参数方程中的消去,即可得直线l的普通方程,对曲线C 的极坐标方程两边同时乘以,利用可得曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)求出点到直线的距离,再求出的弦长,从而得出△MON的面积.‎ ‎【详解】解:(1)由题意有,‎ 得,‎ x+y=4,‎ 直线l的普通方程为x+y-4=0.‎ 因为ρ=4sin 所以ρ=2sinθ+2cosθ,‎ 两边同时乘以得,‎ ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,‎ 因为,‎ 所以x2+y2=2y+2x,即(x-)2+(y-1)2=4,‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程是圆:(x-)2+(y-1)2=4. ‎ ‎(2)∵原点O到直线l的距离 ‎ 直线l过圆C的圆心(,1),‎ ‎∴|MN|=2r=4,‎ 所以△MON的面积S= |MN|×d=4.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识,解题的关键是正确使用这一转化公式,还考查了直线与圆的位置关系等知识.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)设,求不等式的解集;‎ ‎(2)已知,且的最小值等于,求实数的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)把f(x)去绝对值写成分段函数的形式,分类讨论,分别求得解集,综合可得结论.‎ ‎(2)把f(x)去绝对值写成分段函数,画出f(x)的图像,找出利用条件求得a的值.‎ ‎【详解】(1)时,.‎ 当时,即为,解得.‎ 当时, ,解得.‎ 当时, ,解得.‎ 综上,的解集为.‎ ‎(2).,‎ 由的图象知,‎ ‎,.‎ ‎【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法及含绝对值的函数的最值问题,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题
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