2018届二轮复习椭圆、双曲线、抛物线学案

2018届二轮复习椭圆、双曲线、抛物线学案

第 2 讲　椭圆、双曲线、抛物线 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率)． 2．以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)． 热点一　圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M. 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数 法求出方程中的 a2，b2，p 的值． 例 1　(1)(2016·天津)已知双曲线 x2 4－y2 b2＝1 (b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径 长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲 线的方程为(　　) A.x2 4－3y2 4 ＝1 B.x2 4－4y2 3 ＝1 C.x2 4－y2 4＝1 D.x2 4－y2 12＝1 答案　D 解析　由题意知双曲线的渐近线方程为 y＝±b 2x， 圆的方程为 x2＋y2＝4， 联立Error! 解得Error! 或Error! 即第一象限的交点为( 4 4＋b2 ， 2b 4＋b2). 由双曲线和圆的对称性，得四边形 ABCD 为矩形，其相邻两边长为 8 4＋b2， 4b 4＋b2，故 8 × 4b 4＋b2 ＝2b，得 b2＝12. 故双曲线的方程为x2 4－y2 12＝1.故选 D. (2)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A， B，交其准线于点 C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为 (　　) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝ 3x 答案　C 解析　如图分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D， 设|BF |＝a，则由已知得 |BC |＝2a，由抛物线定义，得 |BD | ＝a，故∠BCD＝30°，在 Rt△ACE 中， ∵|AE |＝|AF|＝3， |AC |＝3＋3a，∴2|AE |＝|AC |，即 3＋3a＝6，从而得 a＝1， |FC |＝3a＝3. ∴p＝|FG |＝1 2|FC |＝3 2，因此抛物线方程为 y2＝3x，故选 C. 思维升华　(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐 标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式． (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定． 跟踪演练 1　(1)已知双曲线过点(2，3 )，其中一条渐近线方程为 y＝ 3x，则双曲线的标准 方程是(　　) A.7x2 16－y2 12＝1 B.y2 3－x2 2＝1 C．x2－y2 3＝1 D.3y2 23－x2 23＝1 答案　C 解析　根据题意，双曲线的渐近线方程为 y＝± 3x，则可设其方程为y2 3－x2＝λ(λ ≠ 0).又由 其过点(2，3 )，则有32 3 －22＝λ，解得 λ＝－1，则双曲线的标准方程为 x2－y2 3＝1，故选 C. (2)△ABC 的两个顶点为 A(－4,0)，B(4,0)，△ABC 的周长为 18，则 C 点轨迹方程为(　　) A.x2 16＋y2 9＝1(y≠0) B.y2 25＋x2 9＝1(y≠0) C.y2 16＋x2 9＝1(y≠0) D.x2 25＋y2 9＝1(y≠0) 答案　D 解析　∵△ABC 的两顶点 A(－4,0)，B(4,0)，周长为 18，∴|AB|＝8，|BC|＋|AC|＝10.∵10>8， ∴点 C 到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点 的椭圆．∴2a＝10,2c＝8，即 a＝5，c＝4，∴b＝3.∴C 点的轨迹方程为x2 25＋y2 9＝1(y≠0)．故 选 D. 热点二　圆锥曲线的几何性质 1．椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为 e＝c a＝ 1－(b a )2. (2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为 e＝c a＝ 1＋(b a )2. 2．双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝± b ax.注意离心率 e 与渐近线的斜率的关 系． 例 2　(1)(2017 届河北省衡水中学押题卷)已知双曲线 C1: x2 2－y2＝1 与双曲线 C2: x2 2－y2＝－1， 给出下列说法，其中错误的是(　　) A．它们的焦距相等 B．它们的焦点在同一个圆上 C．它们的渐近线方程相同 D．它们的离心率相等 答案　D 解析　由题意知 C2：y2－x2 2＝1，则两双曲线的焦距相等且 2c＝2 3，焦点都在圆 x2＋y2＝3 上，其实为圆与坐标轴的交点．渐近线方程都为 y＝± 2 2 x.由于实轴长度不同，故离心率 e＝ c a不同．故选 D. (2)已知双曲线 M：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，|F1F2 |＝2c.若双曲线 M 的右支上存在点 P，使 a sin∠PF1F2＝ 3c sin∠PF2F1，则双曲线 M 的离心率的取值范围为(　　) A.(1，2＋ 7 3 ) B.(1，2＋ 7 3 ] C.(1，2 ) D.(1，2 ] 答案　A 解析　根据正弦定理可知，sin∠PF1F2 sin∠PF2F1＝|PF2| |PF1|， 所以|PF2| |PF1|＝ a 3c，即|PF2|＝ a 3c|PF1|, |PF1|－ |PF2|＝2a， 所以(1－ a 3c)|PF1 |＝2a ，解得|PF1 |＝ 6ac 3c－a ， 而|PF1 |>a＋c ，即 6ac 3c－a>a＋c ， 整理得 3e2－4e－1<0 ，解得2－ 7 3 1，所以 1b>0)，F1 为左焦点，A 为右顶点， B1，B2 分别为上、下顶点，若 F1，A，B1，B2 四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为(　　) A. 3－1 2 B. 5－1 2 C. 2 2 D. 3 2 答案　B 解析　由题设圆的半径 r＝a＋c 2 ，则 b2＋(a－a＋c 2 )2＝(a＋c 2 )2，即 a2－c2＝ac⇒e2＋e－1＝0， 解得 e＝ －1＋ 5 2 ，故选 B. (2)已知双曲线 C: x2 a2－y2 b2＝1(a>0, b>0)的焦距为 2c，直线 l 过点(2 3a，0)且与双曲线 C 的一条 渐近线垂直，以双曲线 C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线 l 交于 M, N 两点，若 |MN |＝4 2 3 c，则双曲线 C 的渐近线方程为(　　) A．y＝± 2x B．y＝± 3x C．y＝±2x D．y＝±4x 答案　B 解析　由题意可设渐近线方程为 y＝ b ax，则直线 l 的斜率 kl＝－a b，直线方程为 y＝－ a b (x－2 3a)， 整理可得 ax＋by－2 3a2＝0. 焦点(c，0 )到直线的距离 d＝|ac－2 3a2| a2＋b2＝|ac－2 3a2| c ， 则弦长为 2 c2－d2＝2 c2－(ac－2 3a2)2 c2 ＝4 2 3 c， 整理可得 c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0， 即 e4－9e2＋12e－4＝0， 分解因式得(e－1 )(e－2 )(e2＋3e－2)＝0. 又双曲线的离心率 e>1，则 e＝c a＝2， 所以b a＝ c2－a2 a2 ＝ (c a )2－1＝ 3， 所以双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 3x. 故选 B. 热点三　直线与圆锥曲线 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 (1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x，y 的方程组，消去 y(或 x)得一元二 次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． 例 3　如图，已知 P ( 6 2 ，1)为椭圆 E：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)上的点，且 a2＋b2＝5.过点 P 的动直线与圆 F：x2＋y2＝a2＋1 相交于 A，B 两点，过点 P 作直线 AB 的垂 线与椭圆 E 相交于点 Q. (1)求椭圆 E 的离心率； (2)若|AB|＝2 3，求|PQ|. 解　(1)由题意知， 6 4a2＋ 1 b2＝1，a2＋b2＝5，a>b>0， 解得 a2＝3，b2＝2， 所以椭圆 E 的离心率 e＝ a2－b2 a2 ＝ 3－2 3 ＝ 3 3 . (2)依题知圆 F 的圆心为原点，半径 r＝2，|AB |＝2 3， 所以原点到直线 AB 的距离为 d＝ r2－(|AB| 2 )2＝ 22－(2 3 2 )2＝1， 因为点 P 的坐标为( 6 2 ，1)，所以直线 AB 的斜率存在，设为 k. 所以直线 AB 的方程为 y－1＝k(x－ 6 2 )， 即 kx－y－ 6 2 k＋1＝0， 所以 d＝|1－ 6 2 k| 1＋k2 ＝1，解得 k＝0 或 k＝2 6. ①当 k＝0 时，此时直线 PQ 的方程为 x＝ 6 2 ， 所以|PQ |的值为点 P 的纵坐标的两倍， 即|PQ |＝2×1＝2； ②当 k＝2 6时，直线 PQ 的方程为 y－1＝－ 1 2 6(x－ 6 2 )， 将它代入椭圆 E 的方程x2 3＋y2 2＝1， 消去 y 并整理，得 34x2－10 6x－21＝0， 设 Q 点坐标为(x1，y1)，所以 6 2 ＋x1＝10 6 34 ， 解得 x1＝－7 6 34 ， 所以|PQ |＝ 1＋(－ 1 2 6)2|x1－ 6 2 |＝30 17. 思维升华　解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思 想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解． 跟踪演练 3　(2017 届百校大联考全国名校联盟联考)已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右 焦点分别为 F1，F2，点 P (－1，2 3 3 )在椭圆 C 上， |PF2 |＝4 3 3 ，过点 F1 的直线 l 与椭圆 C 分别交于 M，N 两点． (1)求椭圆 C 的方程及离心率； (2)若△OMN 的面积为12 11，O 为坐标原点，求直线 l 的方程． 解　(1)由题意得Error! 解得 a＝ 3，b＝ 2，c＝1， 故所求椭圆的方程为x2 3＋y2 2＝1，离心率为 e＝c a＝ 3 3 . (2)当直线 MN 与 x 轴垂直时， |MN |＝4 3 3 ， 此时 S△MON＝2 3 3 不符合题意，舍去； 当直线 MN 与 x 轴不垂直时， 设直线 MN 的方程为 y＝k(x＋1 )，由Error! 消去 y 得 (2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1＋x2＝ －6k2 2＋3k2，x1x2＝3k2－6 2＋3k2， 所以|MN |＝ (1＋k2 )[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝ (1＋k2 )[( －6k2 2＋3k2)2－4 × 3k2－6 2＋3k2] ＝ 48(k2＋1)2 (2＋3k2)2 ＝4 3(k2＋1) 2＋3k2 ， 原点 O 到直线 MN 的距离为 d＝ |k | 1＋k2， 所以三角形的面积 S△OMN＝1 2|MN |d ＝1 2× |k | 1＋k2×4 3(k2＋1) 2＋3k2 ， 由 S△OMN＝12 11，得 k2＝3，故 k＝± 3， 所以直线 l 的方程为 y＝ 3(x＋1 )或 y＝－ 3(x＋1 ). 真题体验 1．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线 C： x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4 所 截得的弦长为 2，则双曲线 C 的离心率为________． 答案　2 解析　设双曲线的一条渐近线方程为 y＝b ax， 圆的圆心为(2,0)，半径为 2， 由弦长为 2，得圆心到渐近线的距离为 22－12＝ 3. 由点到直线的距离公式，得 |2b| a2＋b2＝ 3，解得 b2＝3a2.所以双曲线 C 的离心率 e＝c a＝ c2 a2 ＝ 1＋b2 a2＝2. 2．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F，且斜率为 3的直线交 C 于点 M(M 在 x 轴上方)，l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN⊥l，则 M 到直线 NF 的距离为________． 答案　2 3 解析　抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.由直线方程的点斜 式可得直线 MF 的方程为 y＝ 3(x－1)． 联立方程组Error! 解得Error!或Error! ∵点 M 在 x 轴的上方，∴M(3,2 3)． ∵MN⊥l，∴N(－1,2 3)． ∴|NF|＝ (1＋1)2＋(0－2 3)2＝4， |MF|＝|MN|＝3－(－1)＝4. ∴△MNF 是边长为 4 的等边三角形． ∴点 M 到直线 NF 的距离为 2 3. 3．(2017·北京)若双曲线 x2－y2 m＝1 的离心率为 3，则实数 m＝________. 答案　2 解析　由双曲线的标准方程知， a＝1，b2＝m，c＝ 1＋m， 故双曲线的离心率 e＝c a＝ 1＋m＝ 3， ∴1＋m＝3，解得 m＝2. 4．(2017·山东)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2＝2py (p＞0)交于 A，B 两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 ________． 答案　y＝± 2 2 x 解析　设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由Error!得 a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， ∴y1＋y2＝2pb2 a2 . 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|， ∴y1＋p 2＋y2＋p 2＝4×p 2，即 y1＋y2＝p， ∴2pb2 a2 ＝p，即b2 a2＝1 2，∴b a＝ 2 2 ， ∴双曲线的渐近线方程为 y＝± 2 2 x. 押题预测 1．(2017 届江西师范大学附属中学模拟)已知 F1，F2 是双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左、右 焦点，过 F2 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点 A，交另一条渐近线于点 B，且AF2→ ＝1 3 F2B → ，则该双曲线的离心率为(　　) A. 6 2 B. 5 2 C. 3 D．2 押题依据　圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热 点． 答案　A 解析　由 F2 (c，0 )到渐近线 y＝b ax 的距离为 d＝ bc a2＋b2＝b，即|AF2→ |＝b，则|BF2→ |＝3b. 在△AF2O 中， |OA → |＝a，|OF2→ |＝c，tan∠F2OA＝b a， tan∠AOB＝4b a ＝ 2 × b a 1－(b a )2 ，化简可得 a2＝2b2，即 c2＝a2＋b2＝3 2a2，即 e＝c a＝ 6 2 ，故选 A. 2．已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为1 2，且点(1，3 2 )在该椭圆上． (1)求椭圆 C 的方程； (2)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若△AOB 的面积为6 2 7 ，求 圆心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程． 押题依据　椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识 应给予充分关注． 解　(1)由题意可得 e＝c a＝1 2， 又 a2＝b2＋c2， 所以 b2＝3 4a2. 因为椭圆 C 经过点(1，3 2 )， 所以 1 a2＋ 9 4 3 4a2 ＝1， 解得 a＝2，所以 b2＝3， 故椭圆 C 的方程为x2 4＋y2 3＝1. (2)由(1)知 F1(－1,0)，设直线 l 的方程为 x＝ty－1， 由Error!消去 x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0， 显然 Δ>0 恒成立，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1＋y2＝ 6t 4＋3t2，y1y2＝－ 9 4＋3t2， 所以|y1－y2|＝ (y1＋y2)2－4y1y2 ＝ 36t2 (4＋3t2)2 ＋ 36 4＋3t2＝12 t2＋1 4＋3t2 ， 所以 S△AOB＝1 2·|F1O|·|y1－y2|＝6 t2＋1 4＋3t2 ＝6 2 7 ， 化简得 18t4－t2－17＝0， 即(18t2＋17)(t2－1)＝0， 解得 t21＝1，t22＝－17 18(舍去)． 又圆 O 的半径 r＝|0－t × 0＋1| 1＋t2 ＝ 1 1＋t2， 所以 r＝ 2 2 ，故圆 O 的方程为 x2＋y2＝1 2. A 组　专题通关 1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 y＝ 5 2 x，且与椭 圆x2 12＋y2 3＝1 有公共焦点，则 C 的方程为(　　) A.x2 8－y2 10＝1 B.x2 4－y2 5＝1 C.x2 5－y2 4＝1 D.x2 4－y2 3＝1 答案　B 解析　由 y＝ 5 2 x，可得b a＝ 5 2 .① 由椭圆x2 12＋y2 3＝1 的焦点为(3,0)，(－3,0)， 可得 a2＋b2＝9.② 由①②可得 a2＝4，b2＝5. 所以 C 的方程为x2 4－y2 5＝1. 故选 B. 2．(2017 届汕头模拟)若椭圆x2 36＋y2 16＝1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1，F2 的连线互相垂直， 则△PF1F2 的面积为(　　) A．36 B．16 C．20 D．24 答案　B 解析　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则 m2＋n2＝4(36－16)＝80，即 (m＋n )2－2mn＝80.又 m＋n＝ 2×6＝12，∴mn＝32，S△PF1F2＝1 2mn＝16，故选 B. 3. (2017 届常德一模)已知抛物线 C: y2＝4x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两 点，弦 AB 的中点 M 到抛物线 C 的准线的距离为 5，则直线 l 的斜率为(　　) A．± 2 2 B．±1 C．± 6 3 D．± 6 2 答案　C 解析　由题意知直线 l 的斜率存在且不为零，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1 )，点 A(x1，y1)，B (x2，y2)， 线段 AB 的中点为 M(x0，y0). 由Error!得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 所以 x1＋x2＝2k2＋4 k2 . 又因为弦 AB 的中点 M 到抛物线 C 的准线的距离为 5，所以x1＋x2 2 ＋p 2＝x1＋x2 2 ＋1＝5， 所以 x1＋x2＝2k2＋4 k2 ＝8，解得 k2＝2 3， 所以 k＝± 6 3 ，故选 C. 4.(2017·河南省豫北重点中学联考)如图， F1，F2 是双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝ 1(a>0，b>0)的左、右焦点，过 F2 的直线与双曲线 C 交于 A，B 两点， 若|AB |∶|BF1|∶|AF1|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为(　　) A. 13 B．3 C. 5 D．2 答案　A 解析　设|AB |＝3x，|BF1|＝4x，|AF1|＝5x，所以△ABF1 是直角三角形．因为|BF2|－ |BF1| ＝2a，所以|BF2|＝ |BF1|＋2a＝4x＋2a, |AF2 |＝x＋2a.又|AF1|－ |AF2|＝2a，即 5x－x－2a ＝2a，解得 x＝a，又 |BF2 |2＋|BF1 |2＝4c2，即 (4x＋2a)2＋(4x )2＝4c2，即 (4a＋2a)2＋ (4a )2＝4c2，解得c2 a2＝13，即 e＝ 13，故选 A. 5．(2017·全国Ⅱ)已知 F 是抛物线 C：y2＝8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于 点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|＝________. 答案　6 解析　如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物线 C 的准线交 x 轴 于点 A，过点 M 作准线的垂线，垂足为点 B，交 y 轴于点 P， ∴PM∥OF. 由题意知，F(2,0)， |FO|＝|AO|＝2. ∵点 M 为 FN 的中点，PM∥OF， ∴|MP|＝1 2|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3， 故|FN|＝2|MF|＝6. 6．(2017·全国Ⅰ)已知双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径 作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点．若∠MAN＝60°，则 C 的离心率为 ________． 答案　2 3 3 解析　如图，由题意知点 A(a,0)，双曲线的一条渐近线 l 的方程为 y＝b a x，即 bx－ay＝0， ∴点 A 到直线 l 的距离 d＝ ab a2＋b2 . 又∠MAN＝60°，|MA|＝|NA|＝b， ∴△MAN 为等边三角形， ∴d＝ 3 2 |MA|＝ 3 2 b，即 ab a2＋b2＝ 3 2 b，∴a2＝3b2， ∴e＝c a＝ a2＋b2 a2 ＝2 3 3 . 7．(2017·泉州质检)椭圆 C：x2 a2＋y2＝1(a>1)的离心率为 3 2 ， F1，F2 是 C 的两个焦点，过 F1 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，则|AF2|＋ |BF2|的最大值为______． 答案　7 解析　因为离心率为 3 2 ，所以 a2－1 a ＝ 3 2 ⇒a＝2， 由椭圆定义得|AF2 |＋|BF2 |＋|AB |＝4a＝8， 即|AF2 |＋|BF2 |＝8－|AB |. 而由焦点弦性质知，当 AB⊥x 轴时，|AB |取最小值 2×b2 a ＝1，因此|AF2|＋ |BF2|的最大 值为 8－1＝7. 8．一动圆与圆 O1：(x＋3)2＋y2＝1 外切，与圆 O2：(x－3)2＋y2＝81 内切，则动圆圆心的轨 迹方程为________________． 答案　x2 25＋y2 16＝1 解析　两定圆的圆心和半径分别是 O1(－3,0)，r1＝1； O2(3,0)，r2＝9. 设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，则由题设条件， 可得|MO1|＝R＋1，|O2M|＝9－R. ∴|MO1|＋|MO2|＝10>|O1O2|＝6. 由椭圆的定义知，点 M 在以 O1，O2 为焦点的椭圆上， 且 2a＝10,2c＝6，∴b2＝16. ∴动圆圆心的轨迹方程为x2 25＋y2 16＝1. 9．(2017 届唐山模拟)已知椭圆 Γ：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)经过点 M( 3，1 2)，且离心率为 3 2 . (1)求椭圆 Γ 的方程； (2)设点 M 在 x 轴上的射影为点 N，过点 N 的直线 l 与椭圆 Γ 相交于 A, B 两点，且NB → ＋3NA → ＝ 0，求直线 l 的方程． 解　(1)由已知可得 3 a2＋ 1 4b2＝1, a2－b2 a ＝ 3 2 ， 解得 a＝2, b＝1， 所以椭圆 Γ 的方程为x2 4＋y2＝1. (2)由已知 N 的坐标为( 3，0)， 当直线 l 斜率为 0 时，直线 l 为 x 轴，易知NB → ＋3NA → ＝0 不成立． 当直线 l 斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 x＝my＋ 3， 代入x2 4＋y2＝1，整理得 (4＋m2)y2＋2 3my－1＝0， 设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则 y1＋y2＝ －2 3m 4＋m2 ， ① y1y2＝ －1 4＋m2， ② 由NB → ＋3NA → ＝0，得 y2＝－3y1， ③ 由①②③解得 m＝± 2 2 . 所以直线 l 的方程为 x＝± 2 2 y＋ 3， 即 y＝± 2(x－ 3). 10.如图所示，抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，动点 T(－1，m)，过 F 作 TF 的垂线交抛物线于 P，Q 两点，弦 PQ 的中点为 N. (1)证明：线段 NT 平行于 x 轴(或在 x 轴上)； (2)若 m＞0 且|NF|＝|TF|，求 m 的值及点 N 的坐标． (1)证明　易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1，动点 T(－1，m)在准线上，则 kTF ＝－m 2. 当 m＝0 时，T 为抛物线准线与 x 轴的交点，这时 PQ 为抛物线的通径，点 N 与焦点 F 重合， 显然线段 NT 在 x 轴上． 当 m≠0 时，由条件知 kPQ＝2 m， 所以直线 PQ 的方程为 y＝2 m(x－1)， 联立Error! 得 x2－(2＋m2)x＋1＝0， Δ＝[－(2＋m2)]2－4＝m2(4＋m2)＞0， 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 可知 x1＋x2＝2＋m2，y1＋y2＝2 m(x1＋x2－2)＝2m. 所以弦 PQ 的中点 N(2＋m2 2 ，m)，又 T(－1，m)， 所以 kNT＝0，则 NT 平行于 x 轴． 综上可知，线段 NT 平行于 x 轴(或在 x 轴上)． (2)解　已知|NF|＝|TF|， 在△TFN 中，tan∠NTF＝|NF| |TF|＝1⇒∠NTF＝45°， 设 A 是准线与 x 轴的交点，则△TFA 是等腰直角三角形，所以|TA|＝|AF|＝2， 又动点 T(－1，m)，其中 m＞0，则 m＝2. 因为∠NTF＝45°，所以 kPQ＝tan 45°＝1， 又焦点 F(1,0)，可得直线 PQ 的方程为 y＝x－1. 由 m＝2，得 T(－1,2)， 由(1)知线段 NT 平行于 x 轴， 设 N(x0，y0)，则 y0＝2，代入 y＝x－1，得 x0＝3， 所以 N(3,2)． B 组　能力提高 11.(2017·长沙市长郡中学模拟)2000 多年前，古希腊大数学家阿波罗尼 奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高 为 PH, AB 为地面直径，顶角为 2θ，那么不过顶点 P 的平面与 PH 夹角π 2>a>θ 时，截口曲线为 椭圆；与 PH 夹角 a＝θ 时，截口曲线为抛物线；与 PH 夹角 θ>a>0 时，截口曲线为双曲 线．如图，底面内的直线 AM⊥AB，过 AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与 PB 的交 点为 C，可知 AC 为长轴．那么当 C 在线段 PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为 (　　) A．圆的部分 B．椭圆的部分 C．双曲线的部分 D．抛物线的部分 答案　D 解析　如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点 Q 到焦点 F 的 距离等于半长轴 a，但短轴的端点 Q 到直线 AM 的距离也是 a，即说 明短轴的端点 Q 到定点 F 的距离等于到定直线 AM 的距离，所以 由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选 D. 12．已知椭圆 M：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的一个焦点为 F(1，0 )，离心率为 2 2 ，过点 F 的动直线 交 M 于 A, B 两点，若 x 轴上的点 P (t，0 )使得∠APO＝∠BPO 总成立(O 为坐标原点)，则 t 等于(　　) A．－2 B．2 C．－ 2 D. 2 答案　B 解析　在椭圆中 c＝1, e＝c a＝ 2 2 ，得 a＝ 2，b＝1，故椭圆的方程为x2 2＋y2＝1.设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，由题意可知，当直线斜率不存在时， t 可以为任意实数；当直线斜率存在时，可 设直线方程为 y＝k(x－1 )，联立方程组Error! 得 (1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0， ∴x1＋x2＝ 4k2 1＋2k2， x1x2＝2k2－2 1＋2k2， 使得∠APO＝∠BPO 总成立，即使得 PF 为∠APB 的角平分线， 即直线 PA 和 PB 的斜率之和为 0， 即 y1 x1－t＋ y2 x2－t＝0， ① 由 y1＝k(x1－1), y2＝k(x2－1)， 代入①整理得 2x1x2－(t＋1 )(x1＋x2)＋2t＝0， 由根与系数的关系，可得4k2－4 1＋2k2－(t＋1 ) 4k2 1＋2k2＋2t＝0， 化简可得 t＝2，故选 B. 13．(2017·武汉调研)已知直线 MN 过椭圆x2 2＋y2＝1 的左焦点 F，与椭圆交于 M，N 两点，直 线 PQ 过原点 O 与 MN 平行，且与椭圆交于 P，Q 两点，则 |PQ|2 |MN | ＝________. 答案　2 2 解析　方法一　特殊化，设 MN⊥x 轴， 则|MN |＝2b2 a ＝ 2 2 ＝ 2，|PQ |2＝4, |PQ |2 |MN | ＝ 4 2 ＝2 2. 方法二　由题意知 F(－1,0)，当直线 MN 的斜率不存在时，|MN|＝2b2 a ＝ 2，|PQ|＝2b＝2， 则|PQ|2 |MN|＝2 2；当直线 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的斜率为 k， 则 MN 方程为 y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立方程Error! 整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0. 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－ 4k2 2k2＋1，x1x2＝2k2－2 2k2＋1， 则|MN|＝ 1＋k2· (x1＋x2)2－4x1x2 ＝2 2(k2＋1) 2k2＋1 . 直线 PQ 的方程为 y＝kx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 则Error!解得 x2＝ 2 1＋2k2，y2＝ 2k2 1＋2k2， 则|OP|2＝x2＋y2＝2(1＋k2) 1＋2k2 ，又|PQ|＝2|OP|， 所以|PQ|2＝4|OP|2＝8(1＋k2) 1＋2k2 ，∴|PQ|2 |MN|＝2 2. 14．(2017·天津)已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F(－c,0)，右顶点为 A，点 E 的坐标为 (0，c)，△EFA 的面积为b2 2 . (1)求椭圆的离心率； (2)设点 Q 在线段 AE 上，|FQ|＝3c 2 ，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 M，N 在 x 轴上，PM∥QN， 且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c，四边形 PQNM 的面积为 3c. ①求直线 FP 的斜率； ②求椭圆的方程． 解　(1)设椭圆的离心率为 e. 由已知可得1 2(c＋a)c＝b2 2 . 又由 b2＝a2－c2，可得 2c2＋ac－a2＝0， 即 2e2＋e－1＝0，解得 e＝－1 或 e＝1 2. 又因为 00)，则直线 FP 的斜率为1 m. 由(1)知 a＝2c，可得直线 AE 的方程为 x 2c＋y c＝1， 即 x＋2y－2c＝0，与直线 FP 的方程联立， 可得 x＝ (2m－2)c m＋2 ，y＝ 3c m＋2， 即点 Q 的坐标为( (2m－2)c m＋2 ， 3c m＋2). 由已知|FQ|＝3c 2 ， 有 [ (2m－2)c m＋2 ＋c]2＋( 3c m＋2 )2＝(3c 2 )2， 整理得 3m2－4m＝0，所以 m＝4 3(m＝0 舍去)， 即直线 FP 的斜率为3 4. ②由 a＝2c，可得 b＝ 3c， 故椭圆方程可以表示为 x2 4c2＋ y2 3c2＝1. 由①得直线 FP 的方程为 3x－4y＋3c＝0，与椭圆方程联立得Error! 消去 y，整理得 7x2＋6cx－13c2＝0， 解得 x＝－13c 7 (舍去)或 x＝c.因此可得点 P(c，3c 2 )， 进而可得|FP|＝ (c＋c)2＋(3c 2 )2＝5c 2 ， 所以|PQ|＝|FP|－|FQ|＝5c 2 －3c 2 ＝c. 由已知，线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离，故直线 PM 和 QN 都垂直于 直线 FP. 因为 QN⊥FP， 所以|QN|＝|FQ|·tan∠QFN＝3c 2 ×3 4＝9c 8 ， 所以△FQN 的面积为1 2|FQ||QN|＝27c2 32 . 同理△FPM 的面积等于75c2 32 . 由四边形 PQNM 的面积为 3c，得75c2 32 －27c2 32 ＝3c， 整理得 c2＝2c.又由 c>0，得 c＝2. 所以椭圆的方程为x2 16＋y2 12＝1.