四川省宜宾市叙州区一中2019-2020学年高二下学期月考数学（文）试题

四川省宜宾市叙州区一中2019-2020学年高二下学期月考数学（文）试题

‎2020年春四川省叙州区第一中学高二第二学月考试 文科数学试题 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．复数的虚部为 ‎ A．2 B． C． D．‎ ‎2．以下不等式在时不成立的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，则 A． B． C． D．‎ ‎4．双曲线的渐近线方程是 A． B． C． D．‎ ‎5．“”是“直线与圆”相切的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．若在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的概率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．A(0，1)是椭圆x2＋4y2＝4上一定点，P为椭圆上异于A的一动点，则|AP|的最大值为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．已知函数是上的增函数，则的取值范围（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知椭圆的左、右焦点为,离心率为,过的直线交于两点，若的周长为,则的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．若过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点（不重合），则 (为坐标原点）的值是 ‎ A. B. C.3 D.‎ ‎12．已知函数的导函数为，且满足，，若恒成立，则实数的取值范围为 ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．在处的切线方程为__________．‎ ‎14．在正方体中，点分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为___________.‎ ‎15．函数，若，则实数的取值范围 ‎ ‎16．已知点，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是 ．‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：‎ ‎（I）求，；‎ ‎（II）能否有的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？‎ 附：‎ ‎.‎ ‎18．（12分）已知函数，a为实数.‎ ‎（I）当时，讨论的单调性；‎ ‎（II）若在区间上是减函数，求a的取值范围.‎ ‎19．（12分）在四棱锥中，，，，都是边长为1的正三角形.‎ ‎（I）证明：平面平面；‎ ‎（II）求点到平面的距离.‎ ‎20．（12分）设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值．‎ ‎21．（12分）已知函数，其中.‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）当时，证明:；‎ ‎（III）试比较与 ，并证明你的结论。‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 ‎(I)写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(II)若射线平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．‎ ‎（I）解不等式；‎ ‎（II）若对于，，有，，求证：．‎ ‎2020年春四川省叙州区第一中学高二第二学月考试 文科数学试题参考答案 ‎1-5:DCBCB 6-10:BCCCC 11-12:DD ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．（1）由已知可得该校有女生400人，‎ 根据题意可得，解得， 所以.‎ ‎（2）由题意得列联表如下：‎ 超过1小时的人数 不超过1小时的人数 合计 男 ‎20‎ ‎8‎ ‎28‎ 女 ‎12‎ ‎8‎ ‎20‎ 合计 ‎32‎ ‎16‎ ‎48‎ 根据表中的数据得，‎ 所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关．‎ ‎18．（1），‎ 当即时，，在R上单调递增；‎ 当即时，由得或，由得.‎ 分别在与单调递增，在单调递减.‎ 综上所述，当时，在R上单调递增；‎ 当时，分别在与单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）由已知得在区间上恒成立.‎ 在区间上恒成立.‎ 当时，.当时，.‎ 而在上单调递增，时，，则.综上.‎ ‎19．（1）详解：（1）证明：如图，‎ 连接∵，都是正三角形，‎ ‎∴，‎ 设为的中点，∴，，‎ 在Rt中，，∴，‎ ‎∵为的中点，∴，‎ 在等腰中，，，∴，‎ 在中，，，，∵，∴，‎ 又∵，‎ ‎∴平面，又∵平面，∴平面平面． ‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，‎ 设点到平面的距离为，则，‎ 即，∴，∴点到平面的距离为．‎ ‎20．（1）依题意，，‎ 因为，所以，所以椭圆方程为；‎ ‎（2）设 ，则由，可得，‎ 即，，，‎ 又因为，所以四边形是平行四边形，‎ 设平面四边形的面积为，则设，则，所以，因为， 所以，所以，所以四边形面积的最大值为.‎ ‎21．（1）函数的定义域为：， ‎ ‎①当时，，所以在上单调递增 ‎ ‎②当时，令，解得 ．‎ 当时，，所以， 所以在上单调递减； ‎ 当时，，所以，所以在上单调递增． ‎ 综上，当时，函数在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）当 时，，要证明，‎ 即证，即证：. ‎ 设，则 ，令得，.‎ 当时，，当时，.‎ 所以为极大值点，且在处取得最大值。‎ 所以，即。故.‎ ‎（3）证明：（当且仅当时等号成立），即,‎ 则有+‎ ‎,‎ 故：+‎ ‎22．解：（1）曲线的直角坐标方程是，即 化成极坐标方程为：‎ 曲线的直角坐标方程是；‎ ‎（2）曲线是圆，射线过圆心，所以方程是 代入，得 又，将，代入，得 因此 ‎23．（1）由得，‎ 则或或 解得，或，或，即，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2）证明：由，，‎ 所以.‎