高中数学（人教a版）选修4-5课时提升卷：第1讲 1 三个正数的算术-几何平均不等式3含解析

高中数学（人教a版）选修4-5课时提升卷：第1讲 1 三个正数的算术-几何平均不等式3含解析

课时提升卷(三) 三个正数的算术-几何平均不等式 （45 分钟 100 分） 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.设 x,y,z∈R+且 x+y+z=6,则 lgx+lgy+lgz 的取值范围是 ( ) A.(-∞,lg6] B.(-∞,3lg2] C.[lg6,+∞) D.[3lg2,+∞) 2.若实数 x,y 满足 xy>0,且 x2y=2,则 xy+x2 的最小值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.若 a,b,c 为正数,且 a+b+c=1,则 + + 的最小值为 ( ) A.9 B.8 C.3 D. 4.已知 x+2y+3z=6,则 2x+4y+8z 的最小值为 ( ) A.3 B.2 C.12 D.12 5.当 0≤x≤ 时,函数 y=x2(1-5x)的最大值为 ( ) A. B. C. D.无最大值 6.设 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,若 M= · · ,则必有 ( ) A.0≤M< B. ≤M<1 C.1≤M<8 D.M≥8 二、填空题(每小题 8 分,共 24 分) 7.若 x>0,y>0 且 xy2=4,则 x+2y 的最小值为 . 8.若记号“*”表示求两个实数 a 与 b 的算术平均的运算,即 a*b= ,则两边均 含有运算“*”和“+”,且对任意 3 个实数 a,b,c 都能成立的一个等式可以 是 . 9.( 2013·扬州高二检测)设正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,则 + + 的最小 值为 . 三、解答题(10～11 题各 14 分,12 题 18 分) 10.求函数 f(x)=x(5-2x)2 的最大值. 11.(2013·常州高二检测)已知 x,y 均为正数,且 x>y, 求证:2x+ ≥2y+3. 12.(能力挑战题)如图(1)所示,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个 全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求 这个正六棱柱容器容积的最大值. 答案解析 1.【解析】选 B.因为 x,y,z∈R+, 所以 6=x+y+z≥3 ,即 xyz≤8, 所以 lgx+lgy+lgz=lgxyz≤lg8=3lg2. 2.【解析】选 C.xy+x2= xy+ xy+x2≥ 3 =3 =3, 当且仅当 xy=x2 时,等号成立. 3.【解析】选 A.因为 a,b,c 为正数,且 a+b+c=1, 所以 a+b+c≥3 ,所以 00,4y>0,8z>0, 所以 2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3 =3 =3×4=12. 当且仅当 2x=22y=23z, 即 x=2y=3z,即 x=2,y=1,z= 时取等号. 5.【解析】选 C.y=x2(1-5x)= x2 = x·x· .因为 0≤x≤ ,所以 -2x ≥0, 所以 y≤ = , 当且仅当 x= -2x,即 x= 时,ymax= . 6.【解析】选 D.M= = ≥ =8, 当且仅当 a=b=c 时等号成立. 7.【解析】由 xy2=4,得 x+2y=x+y+y≥3 =3 =3 ,当且仅当 x=y= 时 等号成立. 答案:3 8.【解析】由题意知 a+(b*c)=a+ = , (a+b)*(a+c)= = , 所以 a+(b*c)=(a+b)*(a+c). 答案: a+(b*c)=(a+b)*(a+c) 9.【解析】因为 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1, 所以(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=9. 于是 [(3a+2)+(3b+2)+ (3c+2)]≥3 · 3 =9, 当且仅当 a=b=c= 时等号成立, 即 + + ≥1,故 + + 的最小值为 1. 答案:1 10.【解析】f(x)=x(5-2x)2= ×4x(5-2x)(5-2x) ≤ = . 当且仅当 4x=5-2x,即 x= 时,等号成立. 所以函数的最大值是 . 【拓展提升】用平均不等式求最值 利用平均不等式求函数的最值必须同时具备“一正、二定、三相等”这三个条 件才能应用,否则会求出错误结果,在具体问题中,“正数”这个条件一般由已知 条件容易获得,“相等”条件也容易验证确定,而获得“定值”条件往往被设计 为一个难点,它需要一定的灵活性和变形能力,因此,“定值”条件是运用不等式 求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项,创造应用平均不等式 的情境及能使等号成立的条件. 当连续应用不等式时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,否则也不能求出 最值. 11.【证明】因为 x>0,y>0,x-y>0, 2x+ -2y=2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+ ≥3 =3, 所以 2x+ ≥2y+3. 12.【解题指南】设出变量表示出容器的容积,利用三个正数的平均不等式求解. 【解析】设正六棱柱容器底面边长为 x(x>0),高为 h, 由图(3)可有 2h+ x= , 所以 h= (1-x),V=S 底·h=6× x2·h= x2· ·(1-x)=2 × × × ×(1-x) ≤9× = . 当且仅当 =1-x,即 x= 时,等号成立. 所以当底面边长为 时,正六棱柱容器容积最大,为 . 关闭 Word 文档返回原板块。