数学理卷·2018届四川省成都市树德中学高三上学期阶段性考试（2017

数学理卷·2018届四川省成都市树德中学高三上学期阶段性考试（2017

高2015级高三上期12月阶段性测试数学试题(理)‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.‎ ‎1.已知集合, 则=( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知为虚数单位，为复数的共轭复数，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.命题“若，则”的否命题是（ ）‎ A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 ‎4. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的值分别为.则输出的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.的展开式中的系数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．12 ‎ ‎6.已知中，，则为（ ）‎ A．等腰三角形 B．的三角形 C．等腰三角形或的三角形 D．等腰直角三角形 ‎7.是双曲线右支上一点,直线是双曲线的一条渐近线.在上的射影为, ‎ 是双曲线的左焦点,则的最小值为( )‎ ‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A．B．C． D．‎ ‎9. 已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 设，若关于，的不等式组表示的可行域与圆存在公共点，则的最大值的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 高斯是德国著名数学家,享有“数学王子”之称. 以他名字“高斯”命名的成果达110个.设，‎ 用表示不超过的最大整数,并用, 表示的非负纯小数,则称为高斯函数.‎ 已知数学满足, , 则（ ）‎ A. B. 3024+ C. 3034+ D 3024+‎ ‎12.已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分）‎ ‎13. 已知，且，则向量与向量的夹角是. ‎ ‎14.甲，乙，丙，丁四人站成一排，则甲乙相邻，甲丙不相邻有___________种排法.‎ ‎15.过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为_____________[.‎ ‎16.函数图象上不同两点，处切线的斜率分别是，，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与之间的“弯曲度”，给出以下命题：‎ ‎①函数图象上两点与的横坐标分别为1和2，则；‎ ‎②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；‎ ‎③设点，是抛物线上不同的两点，则；‎ ‎④设曲线（是自然对数的底数）上不同两点，，且，若恒成立，则实数的取值范围是．‎ 其中真命题的序号为（将所有真命题的序号都填上）‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.（12分）如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，．‎ ‎（1）求的长； （2）若，求的值．‎ ‎18.（12分）如图所示,的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADG；（Ⅱ）求直线GB与平面AEFG所成角的正弦值．‎ ‎19．（12分）团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务，市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如图所示.[来源:学科网]‎ ‎（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；‎ ‎（2）从所调查的50家商家中任取两家，用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎20.（12分）已知动圆经过点，并且与圆相切.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；（2）设为轨迹内的一个动点，过点且斜率为的直线交轨迹于两点，当为何值时？是与无关的定值，并求出该值定值.‎ ‎21. （12分）设函数.‎ ‎ (1)若当时,函数的图象恒在直线的上方,求实数的取值范围;‎ ‎ (2)求证:.‎ 选做题（10分）：请在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 21. ‎（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原点为极点，‎ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；‎ ‎（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.‎ 22. ‎（本小题满分10分）‎ 已知定义在上的函数，且恒成立.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，求证：.‎ 高2015级高三上期12月阶段性测试数学试题(理)‎ 试卷答案 一、选择题:BDADC CDBCD BA 二、填空题 ‎13．14. 15.16.②③.‎ ‎17.解：（1）因为，在中，由余弦定理得，所以，‎ 所以，所以．‎ ‎（2）在中，由正弦定理得，所以，所以．因为点在边上，所以，而，所以只能为钝角，所以，所以 ‎．‎ ‎18.（Ⅰ）证明：在△BAD中，∵AB=2AD=2，∠BAD=60°．‎ 由余弦定理BD2=AD2+AB2﹣2AB•ADcos60°，，∵AB2=AD2+DB2，∴AD⊥DB，‎ 在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，DB⊂平面ABCD，∴GD⊥DB，‎ 又AD∩GD=D，∴BD⊥平面ADG．‎ ‎（Ⅱ）解：如图以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz，‎ ‎∵∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，‎ ‎∴A（1，0，0），，，G（0，0，1），，，，‎ 设平面AEFG的法向量，令x=1，得，z=1，‎ ‎∴，设直线GB和平面AEFG的夹角为θ，‎ ‎∴，‎ 所以直线GB与平面AEFG所成角的正弦值为．‎ ‎19.‎ ‎（2）由题，知的可能取值分别为0，1，2[‎ ‎，，‎ 从而的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎.‎ ‎20.‎ ‎.‎ ‎.‎ 的值与无关，，解得.‎ ‎21:‎ 解：（1）令 ‎①当时，由于，有 于是在上单调递增，从而 ‎②时，令，当时，，于是在上单调递减，‎ 在上单减，，且仅有，故舍去 ‎③时，，。在上单减，则，‎ ‎（2）原不等式等价于 不等式等价于 由（1）在上单减，，令 则成立，令得证 ‎22. 解：(1)由，得，化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，依题意，设，则 到直线的距离，当，即时，，故点到直线的距离的最大值为.‎ ‎(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方，，恒成立，即（其中）恒成立，，又，解得，故取值范围为.‎ ‎23. 解：（1）,要使恒成立，则，解得.又，.‎ ‎（2），即，当且仅当，即时取等号，故.‎