河北省张家口第一中学2019-2020学年高二（衔接班）9月月考数学试题

河北省张家口第一中学2019-2020学年高二（衔接班）9月月考数学试题

‎2019第一学期9月月考高二衔接班数学试卷 一：选择题。‎ ‎1.为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由已知 ,选C.‎ ‎【名师点睛】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．‎ ‎2.如图茎叶图记录了在一次数学模拟考试中甲、乙两组各五名学生的成绩单位：分已知甲组数据的中位数为106,乙组数据的平均数为,则x,y的值分别为（ ）‎ A. 5,7 B. 6,‎8 ‎C. 6,9 D. 8,8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，即可求出x、y的值．‎ ‎【详解】根据茎叶图中的数据，得；‎ ‎∵甲组数据的中位数为106，∴x＝6；‎ 又∵乙组数据的平均数为105.4，‎ ‎∴105.4，‎ 解得y＝8；‎ 综上，x、y的值分别为6、8．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．‎ ‎3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（ ）‎ A. “至少1名男生”与“至少有1名是女生”‎ B. 恰好有1名男生”与“恰好2名女生”‎ C. “至少1名男生”与“全是男生”‎ D. “至少1名男生”与“全是女生”‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛，‎ ‎“至少1名男生”与“至少有1名是女生”不互斥；‎ ‎“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件；‎ ‎“至少1名男生”与“全是男生”不互斥；‎ ‎“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件；‎ 故选：D ‎4.已知，则（　　）‎ A. 2015 B. ﹣‎2015 ‎C. 2016 D. ﹣2016‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数求导后，令代入导函数，可求得所求的结果.‎ ‎【详解】对函数求导得，令代入得，解得，故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查导数的运算公式，考查运算求解能力.属于基础题.主要考点是.‎ ‎5.(2017·宝鸡二检)已知p：k＝；q：直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1相切．则是的(　　)‎ A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 直线y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1相切，所以，解得k＝，即q：k＝.因为p：k＝，所以p：k≠，q：k≠，所以p是q的必要不充分条件．‎ ‎6.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，‎ 由古典概型公式，满足题意的概率值为.‎ 本题选择C选项.‎ 考点：古典概型 名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.‎ ‎7.直线倾斜角的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．‎ ‎【详解】直线xsinα+y+2＝0的斜率为k＝﹣sinα，‎ ‎∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k≤1‎ ‎∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π）‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．‎ ‎8.已知函数，则的图象大致为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特殊值，对函数图像进行排除，由此得出正确选项.‎ 详解】由于，排除B选项.由于，，函数单调递减，排除C选项.由于，排除D选项.故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图像，属于基础题.‎ ‎9.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，则抽到的32人中，编号落入区间的人数为 A. 7 B. ‎9 ‎C. 10 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系统抽样的定义，可知抽到的号码数可组成一个以为通项公式的等差数列，令，解不等式可得结果。‎ ‎【详解】每组人数=人，即抽到号码数的间隔为30，因为第一组抽到的号码为29，根据系统抽样的定义，抽到的号码数可组成一个等差数列，且，令，得，可得n的取值可以从7取到16，共10个，故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查系统抽样的定义及应用，转化为等差数列是解决本题的关键。‎ ‎10.若函数在上是单调函数，则a的取值范围是　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求导公式和法则求出，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围．‎ ‎【详解】由题意得，，‎ 因为在上是单调函数，‎ 所以或在上恒成立，‎ 当时，则在上恒成立，‎ 即，‎ 设，‎ 因为，所以，‎ 当时，取到最大值为0，‎ 所以；‎ 当时，则在上恒成立，‎ 即，‎ 设，‎ 因为，所以，‎ 当时，取到最小值为，‎ 所以，‎ 综上可得，或，‎ 所以数a的取值范围是．‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数研究函数的的单调性，恒成立问题的处理方法，二次函数求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11.给出如下四个命题：①若“且”为假命题，则均为假命题；②命题“若，则”的否命题为“若，则”； ③“，则”的否定是“，则”；④在中，“”是“”的充要条件．其中正确的命题的个数是（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合命题真假的判定即可判断①；根据否命题可判断②；根据含有量词的否定可判断③；根据正弦定理及充分必要条件可判断④。‎ ‎【详解】根据复合命题真假的判断，若“且”为假命题，则或至少有一个为假命题，所以①错误；‎ 根据否命题定义，命题“若，则”的否命题为“若，则”为真命题，所以②正确；‎ 根据含有量词的否定，“”的否定是“”，所以③正确；‎ 根据正弦定理，“”“”且“”“”，所以④正确。‎ 综上，正确的有②③④‎ 所以选C ‎【点睛】本题考查了复合命题真假的判断、否命题及含有量词的否定，正弦定理和充分必要条件的应用，属于基础题。‎ ‎12.已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，在不等式两边同时乘以化为，即，然后利用函数在上的单调性进行求解即可.‎ ‎【详解】构造函数，其中，则，‎ 所以，函数在定义域上为增函数，‎ 在不等式两边同时乘以得，即，‎ 所以，解得，‎ 因此，不等式的解集为，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：‎ ‎（1）根据导数不等式的结构构造新函数；‎ ‎（2）利用导数分析函数的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；‎ ‎（3）将不等式变形为，利用函数的单调性与奇偶性求解.‎ 二、填空题。‎ ‎13.若命题“∃t∈R，t2-2t-a＜‎0”‎是假命题，则实数a的取值范围是 ______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 命题“∃t∈R，t2-2t-a＜‎0”‎是假命题，则∀t∈R，t2-2t-a≥0是真命题， ∴△=4+‎4a≤0，解得a≤-1．∴实数a的取值范围是（-∞，-1]． 故答案为（-∞，-1]．‎ ‎14.设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，则的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为在抛物线的内部，且抛物线的准线为，设点到准线的距离为，则．‎ 考点：抛物线的性质．‎ ‎15.已知分别为双曲线（）的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设过F2与双曲线的一条渐近线y=平行的直线交双曲线于点P，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=‎2a，由|PF1|=3|PF2|，可得|PF1|=‎3a，|PF2|=a，|F‎1F2|=‎2c，由tan∠F‎1F2P=,可得cos∠F‎1F2P=,在三角形PF‎1F2中，由余弦定理可得：|PF1|2=|PF2|2+|F‎1F2|2-2|PF2|•|F‎1F2|cos∠F‎1F2P，即有‎9a2=a2+‎4c2‎-2a•‎2c•化简可得，c2=‎3a2， 则双曲线的离心率e=‎ 故答案为 点睛：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和定义法，以及余弦定理，注意计算准确性.‎ ‎16.一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短距离是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如图，由光的反射原理可知，光线从点出发经轴反射到圆上的最短距离为点关于横轴的对称点到圆的最短距离，且反射光线必经过圆心，对称点到圆心的距离为，则点到圆的最小距离为.‎ 考点：两点间距离，轴对称的运用，‎ ‎【思路点睛】根据物理知识光的反射，可将光的反射直接看作光沿直线传播的，所以可做一个对称光源，这样便可将光反射的最短路程转化为光沿直线传播的最短距离，而平面中定点到圆的最短距离等于该定点到圆心的距离与半径的差，由两点间距离公式便可求得点到圆心的距离，进而可求得可求得光传播的最短距离．‎ 三、解答题。‎ ‎17.已知命题p：方程有两个不相等的实数根；‎ 命题q：．‎ 若p为真命题，求实数m的取值范围；‎ 若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）若为真命题，则应有，解得实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，则，应一真一假，进而实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）若为真命题，则应有，解得； ‎ ‎（2）若为真命题，则有，即，因为为真命题，为假命题， 则，应一真一假，①当真假时，有，得；②当假真时，有，无解，综上，的取值范围是． ‎ ‎18.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求直方图的的值；‎ ‎（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由.‎ ‎（3）估计居民月用水量的中位数.‎ ‎【答案】(1) (2)36000（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（Ⅰ）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（Ⅱ）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（Ⅲ）问，将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x<2.5，再估计月均用水量的中位数.‎ 试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.‎ 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.‎ 由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，‎ 解得a=0.30.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.‎ 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12="36" 000.‎ ‎（Ⅲ）设中位数为x吨.‎ 因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，‎ 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5‎ 所以2≤x<2.5.‎ 由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.‎ 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.‎ ‎【考点】频率分布直方图 ‎【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎19.已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据离心率为，即，OAB的面积为1，即 ‎，椭圆中列方程组进行求解；（Ⅱ）根据已知条件分别求出的值，求其乘积为定值.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意得解得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 设，则.‎ 当时，直线的方程为.‎ 令，得，从而.‎ 直线的方程为.‎ 令，得，从而.‎ 所以 ‎.‎ 当时，，‎ 所以.‎ 综上，为定值.‎ ‎【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力 ‎【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎20.设有关于x的一元二次方程．‎ 若a是从0,1,2三个数中任取的一个数,b是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率；‎ 若a是从区间任取的一个数,b是从区间任取的一个数,求上述方程有实数的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b ‎（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．‎ ‎（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．‎ ‎【详解】设事件A为“方程有实根”．‎ 当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b ‎（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：‎ ‎（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）（1，0）（1，1）（1，2）（1，3）（2，0）（2，1）（2，2）（2，3）‎ 其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．‎ 事件A中包含6个基本事件，‎ ‎∴事件A发生的概率为P；‎ ‎（2）由题意知本题是一个几何概型，‎ 试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}‎ 满足条件构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≥b}‎ ‎∴所求的概率是．‎ ‎【点睛】本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．‎ ‎21.已知函数 ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）讨论单调性；‎ ‎【答案】(1) (2) 若， 在上递增；若，在上递增； ， 在上递减．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据导数的几何意义得到，进而得到切线方程；（2）对函数求导，研究导函数的正负，得到函数的单调性。‎ 解析：‎ ‎（1）当 时，，， ‎ ‎ ， ‎ 曲线在处的切线方程为：；‎ ‎（2）‎ 若， ， 在上递增；‎ 若，当时， ， 单调递增； ‎ 当时， ， 单调递减．‎ 点睛：这个题目考查的是导数的几何意义，切线方程的求法；考查了导数在研究函数的单调性中的应用；一般在研究函数的单调性中，常见的方法有：图像法，通过图像得到函数的单调区间；通过研究函数的导函数的正负得到单调性。‎ ‎22.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）.‎ ‎（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为；‎ ‎②求p的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）①详见解析，②‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证，②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：，解出p的取值范围.‎ 试题解析：解：（1）抛物线的焦点为 由点在直线上，得，即 所以抛物线C的方程为 ‎（2）设，线段PQ中点 因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ，‎ 于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为 ‎①由消去得 因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以 从而，化简得.‎ 方程（*）的两根为，从而 因为在直线上，所以 因此，线段PQ的中点坐标为 ‎②因为在直线上 所以，即 由①知，于是，所以 因此的取值范围为 ‎【考点】直线与抛物线位置关系 ‎【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎