2019-2020学年甘肃省兰州市第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)

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2019-2020学年甘肃省兰州市第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)

‎2019-2020学年甘肃省兰州市第一中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1.设集合,则满足的集合的个数是( )‎ ‎(A)1个 (B)2个 (C)4个 (D)8个 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析:根据题意,分析可得,该问题可转化为求集合A={1,2}的子集个数问题,再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案.则集合B中必含有元素3,即此题可转化为求集合A={1,2}的子集个数问题,所以满足题目条件的集合B共有个.‎ ‎【考点】并集及其运算.‎ ‎2.对于映射,且,则与中的元素对应的中的元素为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据已知中的映射,得到,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意,,且映射,‎ 令,解得,‎ 所以与中的元素对应的中的元素为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了映射的定义及应用,其中解答中熟记映射的概念与对应关系,列出方程组是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎3.下列函数中表示同一函数的是( )‎ A. ‎ B.‎ C. ‎ D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析:的定义域为R,的定义域是,故A不正确;的定义是R,的定义域是,故B不正确;的定义域是,解得,的定义域是,解得,所以两个函数的定义域不同,故C不正确;和的定义域都是,并且化简后就是,故D正确.‎ ‎【考点】函数的定义 ‎【方法点睛】考察了函数的表示以及函数的三个要素,属于基础题型,函数的三个要素包含定义域,对应关系和值域,只有两个函数的定义域相同,对应法则也相同,才是同一函数,当两个函数的定义域相同时,再看两个函数能否变形为同一个函数解析式.‎ ‎4.函数的定义域是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析:要使函数有意义,需满足,即,解得,所以函数的定义域是,应选D.‎ ‎【考点】求函数的定义域.‎ ‎【方法点睛】本题看似是求函数的定义域,实质上是将根式、对数式、交集等知识联系在一起,重点考查学生思维能力的全面性和缜密性,凸显了知识之间的联系性、综合性,能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性,特别是解对数不等式时,注意真数一定大于0,这时易错点,解决此类问题应从以下几个方面入手1、真数大于0;2、分母不为0;3、被开方数有意义;4、有意义.‎ ‎5.已知是定义在上的奇函数,对任意,都有,若,则等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据,求得函数的周期,再利用函数的周期性和奇偶性,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意,函数满足,所以函数是以4为周期的周期函数,‎ 则,‎ 又由函数上在上的奇函数,且,‎ 所以,即,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性和函数的周期性的应用,其中解答中熟记函数的奇偶性和周期性,合理利用奇偶性和周期性转化求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.‎ ‎6.已知函数(是常数,且)在区间上有最大值3,最小值,则的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】通过换元令,然后由单调递减,结合的范围可列方程解得.‎ ‎【详解】‎ 令,最大值为0,最小值为.‎ 则 当时,单调递减.‎ 所以,解得,有,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数型复合函数的最值问题,通常的解题的方法为换元,解题时注意新变元的范围,属于常考题型.‎ ‎7.若,当>1时,的大小关系是 A . B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】解:因为,那么当x>1时,则利用指数函数和对数函数的值域可知,01,c<0,因此选B ‎8.已知函数,且,则(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据分段函数的解析式,求得,进而可求解的值,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,函数,‎ 当时,令,即,此时不成立;‎ 当时,令,解得,‎ 所以.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的应用,其中解答涉及到对数的运算性质和指数幂的运算性质,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.‎ ‎9.若函数的大致图象如图,其中为常数,则函数的大致图像是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数的图象为减函数可知,,且,可得函数的图象递减,且,从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由函数的图象为减函数可知,,‎ 再由图象的平移知,的图象由向左平移可知,‎ 故函数的图象递减,且,故选B.‎ ‎【点睛】‎ 函数图象的辨识可从以下方面入手:‎ ‎(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.‎ ‎(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;‎ ‎(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; ‎ ‎(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.‎ ‎10.若函数在上的最大值为,最小值,且函数在上是增函数,则(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用在上的最大值为,先确定的值,再利用函数在区间上是增函数,即可求得实数的值,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,当时,函数在为单调递增函数,‎ 所以,即,解得,此时最小值;‎ 当时,函数在为单调递减函数,‎ 所以,即,解得,此时最小值,‎ 又由函数在上是增函数,则,解答,‎ 综上可得,.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数函数的图象与性质,以及幂函数的图象与性质的应用,其中解答中熟记指数函数和幂函数的性质,合理分类讨论是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及计算能力,属于基础题.‎ ‎11.函数=且),在上是增函数,则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为在上是增函数,即当时,=单增,即,解得;当时,单增,即且,解得 ‎;所以,即实数的取值范围是.选C.‎ 点睛:已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:(1)若函数在区间上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值;(3)复合函数的单调性,不仅要注意内外函数单调性对应关系,而且要注意内外函数对应自变量取值范围.‎ ‎12.若对于定义在上的函数,其图象是连续不断的,且存在常数使得对任意实数都成立,则称是一个“特征函数”.下列结论中正确的个数为(  )‎ ‎①是常数函数中唯一的“特征函数”;‎ ‎②不是“特征函数”;‎ ‎③“特征函数”至少有一个零点;‎ ‎④是一个“特征函数”.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用新定义“特征函数”,对选项逐个进行判定,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 对于①中,设,当时,函数是一个“特征函数”,‎ 所以不是唯一的一个常值的“特征函数”,所以①不正确;‎ 对于②中,函数,‎ 则,即,‎ 当时,,‎ 当时,方程由唯一的解,‎ 所以不存在常数使得对任意实数都成立,‎ 所以函数不是“特征函数”,所以②正确.‎ 对于③中,令,可得,所以,‎ 若,显然有实数根,若,,‎ 又因为的函数图象是连续的,所以在上必由实数根,‎ 因此任意的“特征函数”必有实根,即任意“特征函数”至少有一个零点,‎ 所以③是正确;‎ 对于④中,假设是一个“特征函数”,则对任意的实数成立,‎ 则有,而此式有解,所以是“特征函数”,所以④正确的,‎ 所以正确命题共有②③④.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的基本概念及其应用,其中解答中熟记函数的零点,以及正确理解“特征函数”,合理判定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13.如果,则当且时,_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数,利用换元法,即可求得函数的解析式,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,令,则且,‎ 因为,所以,其中且,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的解析式的求解,其中解答中熟练应用换元法求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎14.若函数的零点为,满足且,则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意,得到函数为减函数,进而求得的值,利用零点的存在定理,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意,函数,分析可得函数为减函数,‎ 又由,,‎ 则,根据零点的存在定理,可得函数的零点在区间上,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的应用,其中解答中熟记函数零点的概念,以及熟练应用零点的存在定理进行判定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.‎ ‎15.设函数,,则函数的递减区间是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎,如图所示,其递减区间是.‎ ‎16.下列几个命题:‎ ‎①函数是偶函数,但不是奇函数;‎ ‎②方程的有一个正实根,一个负实根,;‎ ‎③是定义在上的奇函数,当时,,则 时,‎ ‎④函数的值域是.‎ 其中正确命题的序号是_____(把所有正确命题的序号都写上).‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】①中,函数既是奇函数又是偶函数,即可判定;②中,方程有一个正实根,一个负实根,得到,即可判定;③中,是定义在上的奇函数,则必有,即可判定;④中,令,原函数可化为,即可判定,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,对于①中,函数的定义域为,即,‎ 所以函数既是奇函数又是偶函数,所以不正确;‎ 对于②中,方程的有一个正实根,一个负实根,‎ 则满足且,解得,所以是正确的;‎ 对于③中,是定义在上的奇函数,则必有,‎ 而当时,,所以不正确;‎ 对于④中,令,原函数可化为,‎ 因为,所以,即原函数的值域为,所以是正确的.‎ 综上,正确命题的序号为②④.‎ 故答案为:②④.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性的判定及应用,以及一元二次方程的性质,指数函数的性质和函数的值域的求解等知识点的综合应用,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17.计算下列各式的值:‎ ‎(1);‎ ‎(2)‎ ‎【答案】(1); (2).‎ ‎【解析】(1)由实数指数幂的运算性质,即可求解;‎ ‎(2)由对数的运算性质和对数的运算公式,即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意,根据实数指数幂的运算性质,‎ 可得:.‎ ‎(2)根据对数的运算性质,‎ 可得 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了实数指数幂的运算性质,以及对数的运算性质的化简、求值问题,其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.‎ ‎18.己知集合,‎ ‎(1)若为非空集合,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】【详解】试题分析:(1)若,那么,求解;‎ ‎(2)若,分,或是两种情况讨论.当时,即,当时,即或,求解.‎ 试题解析:解:(1)作出数轴可知若则有 ‎,解得:‎ 可得实数的取值范围为 ‎(2)则有如下三种情况:‎ ‎1),即,解得:;‎ ‎2),时,则有解得:无解;‎ ‎3),时,则有解得:.‎ 综上可得时实数的取值范围为 ‎【考点】集合的关系运算 ‎【易错点睛】‎ 本题主要考查了两个集合的关系,属于基础题型,第一问容易出错在有等号函数没等号上面,这就要求我们做题时要细心,第二问当时,易忽略的情况,以及时,或是一种或的关系,而不是且的关系,做题时切记或是求并集,且求交集.‎ ‎19.已知幂函数在(0,+∞)上是增函数 ‎(1)求的解析式 ‎(2)若,求的取值范围 ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】(1)由幂函数的性质可得,,再由在上为增函数,则2m+1>0,然后,根据以上条件,求解即可.‎ ‎(2)由为R上的增函数,可得,求出a的范围,然后根据单调递增的特性,即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为是幂函数,所以 即或 ‎ 因为在上是增函数,所以2m+1>0,即m>-,则m=1‎ 故=.‎ ‎(2)因为为R上的增函数. ‎ 所以, 解得. 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的性质和单调性,注意幂函数的系数为1,难点在于利用函数的单调性转化成不等式求解,属于中等题.‎ ‎20.函数f(x)=是定义在R上的奇函数,且f(1)=1.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)判断并用定义证明f(x)在(+∞)的单调性.‎ ‎【答案】(1)a=5,b=0; (2)见解析.‎ ‎【解析】(1)根据函数为奇函数,可利用f(1)=1和f(-1)=-1,解方程组可得a、b值,然后进行验证即可;(2)根据函数单调性定义利用作差法进行证明.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)根据题意,f(x)=是定义在R上的奇函数,且f(1)=1,‎ 则f(-1)=-f(1)=-1,‎ 则有,解可得a=5,b=0;经检验,满足题意.‎ ‎(2)由(1)的结论,f(x)=,‎ 设<x1<x2,‎ f(x1)-f(x2)=-=,‎ 又由<x1<x2,则(1-4x1x2)<0,(x1-x2)<0,‎ 则f(x1)-f(x2)>0,‎ 则函数f(x)在(,+∞)上单调递减.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,属于基础题.‎ ‎21.已知函数 .‎ ‎(1)当时,函数恒有意义,求实数的取值范围;‎ ‎(2)是否存在这样的实数,使得函数f(x)在区间上为减函数,并且最大值为?如果存在,试求出的值;如果不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1); (2)不存在.‎ ‎【解析】(1)结合题意得到关于实数的不等式组,求解不等式,即可求解,得到答案;‎ ‎(2)由题意结合对数函数的图象与性质,即可求得是否存在满足题意的实数的值,得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意,函数且,设,‎ 因为当时,函数恒有意义,即对任意时恒成立,‎ 又由,可得函数在上为单调递减函数,‎ 则满足,解得,‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎(2)不存在,理由如下:‎ 假设存在这样的实数,使得函数f(x)在区间上为减函数,并且最大值为,‎ 可得,即,即,解得,即,‎ 又由当时,,此时函数为意义,‎ 所以这样的实数不存在.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用,以及复数函数的单调性的判定及应用,其中解答中熟记对数函数的图象与性质,合理求解函数的最值,列出方程求解是解答的关键,着重考查了对基础概念的理解和计算能力,属于中档试题.‎ ‎22.已知指数函数满足,定义域为的函数是奇函数.‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)若函数在上有零点,求的取值范围;‎ ‎(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)(3,+∞);(Ⅲ) [9,+∞).‎ ‎【解析】试题分析:(1)根据指数函数利用待定系数法求,利用奇函数用特值法求m,n,可得到解析式;(2)根据函数零点的存在性定理求k的取值范围;(3)分析函数的单调性,转化为关于t恒成立问题,利用分离参数法求k的取值范围.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)设,则,‎ a=3, , ‎ ‎,‎ 因为是奇函数,所以,即 , ‎ ‎∴,又,‎ ‎;‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知:,又因在(0,1)上有零点,‎ 从而,即, ‎ ‎∴, ∴,‎ ‎∴k的取值范围为.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知,‎ ‎∴在R上为减函数(不证明不扣分). ‎ 又因是奇函数,‎ 所以=, ‎ 因为减函数,由上式得:,‎ 即对一切,有恒成立,‎ 令m(x)=,,易知m(x)在上递增,所以,‎ ‎∴,即实数的取值范围为. ‎ 点睛:本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法,属于难题.解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时,注意特殊值的使用,可以使问题简单迅速求解,但要注意检验,在处理恒成立问题时,注意利用分离参数求参数的取值范围,注意分离参数后转化为求函数最值问题.‎
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