2021高考数学一轮复习课后限时集训24函数y=Asinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用理北师大版

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2021高考数学一轮复习课后限时集训24函数y=Asinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用理北师大版

课后限时集训24‎ 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.函数y=sin在区间上的简图是(  )‎ A         B C         D A [令x=0,得y=sin=-,排除B、D.‎ 由f=0,f=0,排除C,故选A.]‎ ‎2.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y=2所得线段长为,则f的值是(  )‎ A.- B. ‎ C.1 D. D [由题意可知该函数的周期为,‎ ‎∴=,ω=2,f(x)=tan 2x.∴f=tan =.]‎ ‎3.(2019·潍坊模拟)函数y=sin 2x-cos 2x的图像向右平移φ个单位长度后,得到函数g(x)的图像,若函数g(x)为偶函数,则φ的值为(  )‎ A. B. ‎ C. D. 9‎ B [由题意知y=sin 2x-cos 2x=2sin,其图像向右平移φ个单位长度后,得到函数g(x)=2sin的图像,因为g(x)为偶函数,所以2φ+=+kπ,k∈Z,所以φ=+,k∈Z,又因为φ∈,所以φ=.]‎ ‎4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则φ的值为(  )‎ A.- B. C.- D. B [由题意,得=-=,所以T=π,由T=,得ω=2,由图可知A=1,所以f(x)=sin(2x+φ).又因为f=sin=0,-<φ<,所以φ=.]‎ ‎5.(2019·武汉调研)函数f(x)=Acos(ωx+φ)(ω>0)的部分图像如图所示,给出以下结论:‎ ‎①f(x)的最小正周期为2;‎ ‎②f(x)图像的一条对称轴为直线x=-;‎ ‎③f(x)在,k∈Z上是减函数;‎ ‎④f(x)的最大值为A.‎ 则正确结论的个数为(  )‎ A.1 B.2 ‎ C.3 D.4‎ B [由题图可知,函数f(x)的最小正周期T=2×=2,故①正确;因为函数f(x)的图像过点和,所以函数f(x)图像的对称轴为直线x=+=+k(k∈Z),故直线x=-不是函数f(x)图像的对称轴,故②不正确;由图可知,当-+kT≤x≤++kT(k∈Z),即2k-≤x≤2k+(k∈Z)时,f(x)是减函数,故③正确;若A>0,则最大值是A,若A<0,则最大值是-A,故④不正确.综上知正确结论的个数为2.]‎ 9‎ 二、填空题 ‎6.将函数f(x)=2sin的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为f(x)=________.‎ ‎2sin [函数y=2sin的周期为π,将函数y=2sin的图像向右平移个周期即个单位长度,所得函数为y=2sin=2sin.]‎ ‎7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为________.‎  [根据所给图像,周期T=4×=π,故π=,∴ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ),另外图像经过点,代入有2×+φ=π+2kπ(k∈Z),‎ 再由|φ|<,得φ=-,∴f(x)=sin,‎ ‎∴f=sin,‎ 当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f取得最小值.]‎ ‎8.已知f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω=________.‎  [依题意,x==时,y有最小值,‎ ‎∴sin=-1,∴ω+=2kπ+(k∈Z).‎ ‎∴ω=8k+(k∈Z),因为f(x)在区间上有最小值,无最大值,所以-≤,即ω≤12,令k=0,得ω=.]‎ 三、解答题 9‎ ‎9.设函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f=.‎ ‎(1)求ω和φ的值;‎ ‎(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图像.‎ ‎[解] (1)因为T==π,所以ω=2,‎ 又因为f=cos=cos ‎=-sin φ=且-<φ<0,所以φ=-.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=cos.‎ 列表:‎ ‎2x- ‎- ‎0‎ π x ‎0‎ π f(x)‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎-1‎ ‎0‎ 描点,连线,可得函数f(x)在[0,π]上的图像如图所示.‎ ‎10.(2019·北京市东城区二模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示.‎ 9‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)若对于任意的x∈[0,m],f(x)≥1恒成立,求m的最大值.‎ ‎[解] (1)由图像可知,A=2.‎ 因为=(T为最小正周期),所以T=π.‎ 由π=,解得ω=2.‎ 又函数f(x)的图像经过点,所以2sin=2,解得φ=+2kπ(k∈Z).‎ 又|φ|<,所以φ=.‎ 所以f(x)=2sin.‎ ‎(2)法一:因为x∈[0,m],所以2x+∈.‎ 当2x+∈,即x∈时,f(x)单调递增;‎ 所以此时f(x)≥f(0)=1,符合题意;‎ 当2x+∈,即x∈时,f(x)单调递减,‎ 所以f(x)≥f=1,符合题意;‎ 当2x+∈时,即x∈时,f(x)单调递减,‎ 所以f(x)<f=1,不符合题意.‎ 综上,若对于任意的x∈[0,m],f(x)≥1恒成立,则必有0<m≤,所以m的最大值是.‎ 法二:画出函数f(x)=2sin的图像,如图所示,由图可知,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,且f(0)=f=1,所以0<m≤.所以m的最大值为.‎ 9‎ ‎1.将函数f(x)=tan(0<ω<10)的图像向右平移个单位长度后与函数f(x)的图像重合,则ω=(  )‎ A.9 B.6 ‎ C.4 D.8‎ B [函数f(x)=tan的图像向右平移个单位长度后所得图像对应的函数解析式为y=tan=tan,∵平移后的图像与函数f(x)的图像重合,∴-+=+kπ,k∈Z,‎ 解得ω=-6k,k∈Z.又∵0<ω<10,∴ω=6.]‎ ‎2.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ).则下列叙述错误的是(  )‎ A.R=6,ω=,φ=- B.当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6‎ C.当t∈[10,25]时,函数y=f(t)递减 D.当t=20时,|PA|=6 C [由题意,R==6,T=60=,所以ω=,‎ t=0时,点A(3,-3)代入可得-3=6sin φ,因为|φ|<,所以φ=-,故A正确;‎ f(t)=6sin,当t∈[35,55]时,t-∈,‎ 9‎ 所以点P到x轴的距离的最大值为6,B正确;‎ 当t∈[10,25]时,t-∈,函数y=f(t)先增后减,C不正确;‎ 当t=20时,t-=,P的纵坐标为6,|PA|==6,D正确.故选C.]‎ ‎3.(2019·长春模拟)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图像关于直线x=ω对称,则ω的值为________.‎  [f(x)=sin ωx+cos ωx=sin,‎ 因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图像关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤,则ω2≤,即ω2=,‎ 所以ω=.]‎ ‎4.已知函数f(x)=2sin(ω>0).‎ ‎(1)若点是函数f(x)图像的一个对称中心,且ω∈(0,1),求函数f(x)在上的值域;‎ ‎(2)若函数f(x)在上单调递增,求实数ω的取值范围.‎ ‎[解] (1)由点是函数f(x)图像的一个对称中心,‎ 得ω·+=kπ,k∈Z,∴ω=,k∈Z.‎ ‎∵ω∈(0,1),∴ω=,‎ ‎∴f(x)=2sin=2sin.‎ ‎∵x∈,∴x+∈,‎ ‎∴sin∈.‎ 故函数f(x)在上的值域为[-1,2].‎ 9‎ ‎(2)令-+2kπ≤2ωx+≤+2kπ,k∈Z,解得-≤x≤+,k∈Z.∵函数f(x)在上单调递增,‎ ‎∴存在k0∈Z,使⊆,‎ ‎∴即又-≤·,‎ ‎∴0<ω≤,∴即-<k0≤,∴k0=0.‎ ‎∴0<ω≤,即实数ω的取值范围为.‎ 已知函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx+b+1.‎ ‎(1)若函数f(x)的图像关于直线x=对称,且ω∈[0,3],求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)在(1)的条件下,当x∈时,函数f(x)有且只有一个零点,求实数b的取值范围.‎ ‎[解] (1)函数f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx+b+1‎ ‎=sin 2ωx++b+1=sin++b.‎ 因为函数f(x)的图像关于直线x=对称,所以2ω·+=kπ+,k∈Z,且ω∈[0,3],所以ω=1.‎ 由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).‎ ‎(2)由(1)知f(x)=sin++b.‎ 因为x∈,所以2x+∈.‎ 当2x+∈,即x∈时,函数f(x)单调递增;当2x+∈,即x∈时,函数f(x)单调递减.‎ 9‎ 又f(0)=f,所以当f>0≥f或f=0时,函数f(x)有且只有一个零点,即sin ≤-b-<sin 或1++b=0,所以b∈∪.‎ 9‎
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